Дополнение матрицы

В математике, матрица дополнение является операцией сложения двух матриц, добавив соответствующие записи вместе. Однако есть и другие операции, которые также можно рассматривать как сложение для матриц, такие как прямая сумма и сумма Кронекера.

• 1 Начальная сумма
• 2 Прямая сумма
• 3 сумма Кронекера
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Две матрицы должны иметь равное количество строк и столбцов для добавления. В таком случае, сумма двух матриц A и B будет матрица, которая имеет такое же число строк и столбцов, как A и B. Сумма A и B, обозначенная A + B, вычисляется путем сложения соответствующих элементов A и B:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} + \ mathbf {B} amp; = {\ begin {bmatrix} a_ {11} amp; a_ {12} amp; \ cdots amp; a_ {1n} \\ a_ {21} amp; a_ {22} amp; \ cdots amp; a_ {2n} \\\ vdots amp; \ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\ a_ {m1} amp; a_ {m2} amp; \ cdots amp; a_ {mn} \\\ end {bmatrix}} + { \ begin {bmatrix} b_ {11} amp; b_ {12} amp; \ cdots amp; b_ {1n} \\ b_ {21} amp; b_ {22} amp; \ cdots amp; b_ {2n} \\\ vdots amp; \ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\ b_ {m1} amp; b_ {m2} amp; \ cdots amp; b_ {mn} \\\ end {bmatrix}} \\ amp; = {\ begin {bmatrix} a_ {11} + b_ {11} amp; a_ {12} + b_ {12} amp; \ cdots amp; a_ {1n} + b_ {1n} \\ a_ {21} + b_ {21} amp; a_ {22} + b_ {22} amp; \ cdots amp; a_ {2n} + b_ {2n} \\\ vdots amp; \ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\ a_ {m1} + b_ {m1} amp; a_ {m2} + b_ {m2} amp; \ cdots amp; a_ {mn} + b_ {mn} \\\ end {bmatrix}} \\\ конец {выровнен}} \, \!}$

Или более кратко (при условии, что A + B = C):

${\ displaystyle c_ {ij} = a_ {ij} + b_ {ij}}$

Например:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 amp; 3 \\ 1 amp; 0 \\ 1 amp; 2 \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 0 amp; 0 \\ 7 amp; 5 \\ 2 amp; 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 + 0 amp; 3 + 0 \\ 1 + 7 amp; 0 + 5 \\ 1 + 2 amp; 2 + 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 3 \\ 8 amp; 5 \\ 3 amp; 3 \ end {bmatrix}}}$

Точно так же можно вычесть одну матрицу из другой, если они имеют одинаковые размеры. Разность A и B, обозначаемое A - B, вычисляется путем вычитания элементов B из соответствующих элементов А, и имеет те же размеры, что A и B. Например:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 amp; 3 \\ 1 amp; 0 \\ 1 amp; 2 \ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} 0 amp; 0 \\ 7 amp; 5 \\ 2 amp; 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 -0 amp; 3-0 \\ 1-7 amp; 0-5 \\ 1-2 amp; 2-1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 3 \\ - 6 amp; -5 \\ - 1 amp; 1 \ end {bmatrix}}}$

Другая операция, которая используется реже, - это прямая сумма (обозначается ⊕). Обратите внимание, что сумма Кронекера также обозначается ⊕; контекст должен прояснять использование. Прямая сумма любой пары матриц A размера m × n и B размера p × q является матрицей размера ( m + p) × ( n + q), определяемой как:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ oplus \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} amp; {\ boldsymbol {0}} \\ {\ boldsymbol {0}} amp; \ mathbf {B} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {11} amp; \ cdots amp; a_ {1n} amp; 0 amp; \ cdots amp; 0 \\\ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\ a_ {m1} amp; \ cdots amp; a_ {mn} amp; 0 amp; \ cdots amp; 0 \\ 0 amp; \ cdots amp; 0 amp; b_ {11} amp; \ cdots amp; b_ {1q} \\\ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \ \ 0 amp; \ cdots amp; 0 amp; b_ {p1} amp; \ cdots amp; b_ {pq} \ end {bmatrix}}}$

Например,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 amp; 3 amp; 2 \\ 2 amp; 3 amp; 1 \ end {bmatrix}} \ oplus {\ begin {bmatrix} 1 amp; 6 \\ 0 amp; 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 3 amp; 2 amp; 0 amp; 0 \\ 2 amp; 3 amp; 1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 amp; 6 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 \ end {bmatrix}}}$

Прямая сумма матриц - это особый тип блочной матрицы. В частности, прямая сумма квадратных матриц представляет собой блочно-диагональную матрицу.

Матрица смежности объединения непересекающихся графов (или мультиграфов ) есть прямая сумма их матрицы смежности. Любой элемент в прямой сумме двух векторных пространств матриц может быть представлен как прямая сумма двух матриц.

В общем, прямая сумма n матриц равна:

${\ displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {A} _ {i} = \ operatorname {diag} (\ mathbf {A} _ {1}, \ mathbf {A} _ {2}, \ mathbf {A} _ {3}, \ ldots, \ mathbf {A} _ {n}) = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {1} amp; {\ boldsymbol {0}} amp; \ cdots amp; {\ boldsymbol {0}} \\ {\ boldsymbol {0}} amp; \ mathbf {A} _ {2} amp; \ cdots amp; {\ boldsymbol {0}} \\\ vdots amp; \ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\ {\ boldsymbol {0}} amp; {\ boldsymbol {0}} amp; \ cdots amp; \ mathbf {A} _ {n} \\\ end {bmatrix}} \, \!}$

где нули на самом деле являются блоками нулей (т. е. нулевыми матрицами).

Сумма Кронекера отличается от прямой суммы, но также обозначается ⊕. Он определяется с помощью произведения Кронекера ⊗ и нормального матричного сложения. Если является п матрицы с размерностью п, В представляют м матрица с размерностью м и обозначает K матрица с размерностью K единичной матрица, то сумма Кронекера определяется по формуле: ${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {k}}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ oplus \ mathbf {B} = \ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {I} _ {m} + \ mathbf {I} _ {n} \ otimes \ mathbf {B}. }$

• Умножение матриц
• Сложение вектора

• Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (2017). Схема линейной алгебры Шаума (6 изд.). McGraw-Hill Education. ISBN   9781260011449.
• Райли, KF; Хобсон, депутат; Бенце, SJ (2006). Математические методы для физики и техники (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. DOI : 10.1017 / CBO9780511810763. ISBN   978-0-521-86153-3.

• Прямая сумма матриц в PlanetMath.
• Абстрактная чушь: прямая сумма линейных преобразований и прямая сумма матриц
• Исходная библиотека по математике: арифметические матричные операции
• Матричная алгебра и R