Контактное кольцо

В математике коммутативное кольцо R является контактным звеном, если оно есть пара простых идеалов

p, q,

любых двух строго возрастающих цепочек

p = p 0⊂p1... ⊂p n = q простых идеалов

содержатся в максимальных строго возрастающих цепях от p до q одинаковой (конечной) длины. В геометрической ситуации, в которой измерение алгебраического многообразия, связанного с простым идеалом, будет уменьшаться по мере того, как простой идеал становится больше, длина такой цепочки n обычно является разницей в измерениях.

Кольцо называется универсально цепной, если все конечно порожденные алгебры над ним являются цепными кольцами.

Слово «цепочка» происходит от латинского слова «катена», что означает «цепь».

Существует следующая цепочка включений.

Универсальные цепные кольца ⊃ кольца Коэна – Маколея ⊃ кольца Горенштейна ⊃ кольца полного пересечения ⊃ регулярные локальные кольца

• 1 Формула размерности
• 2 Примеры
  • 2.1 A кольцо, которое является цепным, но не универсальным
• 3 См. также
• 4 Ссылки

Предположим, что A - нётерова область, а B - область, содержащая A, которая конечно порождена над A. Если P простой идеал B и p его пересечение с A, то

$height\; (P)\; \le \; height\; (p)\; +\; tr.deg.\; A\; (B)\; -\; тр.\; Град.\; \kappa \; (p)\; (\kappa \; (P)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{height\}\}\; (P)\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; text\; \{height\}\}\; (p)\; +\; \{\backslash \; text\; \{tr.deg.\}\}\; \_\; \{A\}\; (B)\; -\; \{\backslash \; text\; \{tr.\; deg.\}\}\; \_\; \{\backslash \; kappa\; (p)\}\; (\backslash \; kappa\; (P)).\}$

Формула размерности для универсально цепных колец говорит, что равенство выполняется, если A универсально цепная. Здесь κ (P) - это поле вычетов матрицы P и tr.deg. означает степень трансцендентности (частных полей). Фактически, когда A не является универсальной цепной связью, но $B\; =\; A\; [x\; 1,\dots ,\; xn]\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; A\; [x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\}]\}$, то равенство также выполняется.

Почти все нётеровы кольца, встречающиеся в алгебраической геометрии, универсально связаны. В частности, следующие кольца являются универсальными цепными:

• полные нётеровы локальные кольца
• домены Дедекинда (и поля)
• кольца Коэна-Маколея (и регулярные локальные кольца )
• Любая локализация универсально цепного кольца
• Любая конечно порожденная алгебра над универсально цепным кольцом.

Кольцо, которое является цепным, но не универсально цепным

Оно очень сложно построить примеры нётерских колец, которые не являются универсальными цепными. Первый пример был обнаружен Масаёши Нагата (1956, 1962, стр. 203, пример 2), который обнаружил двумерную нётеровскую локальную область, которая является цепной, но не универсальной.

Пример Нагаты следующий. Выберите поле k и формальный степенной ряд z = Σ i>0 aix в кольце S формальных степенных рядов по x над k, таких что z и x алгебраически независимы.

Определим z 1 = z и z i + 1 =zi/ x – a i.

Пусть R - (нётерово) кольцо, порожденное x и всеми элементы z i.

Пусть m - идеал (x), а n - идеал, порожденный x – 1 и всеми элементами z i. Это оба максимальных идеала кольца R с полями вычетов, изоморфными k. Локальное кольцо R m является регулярным локальным кольцом размерности 1 (для доказательства этого используется тот факт, что z и x алгебраически независимы), а локальное кольцо R n является регулярным Нетерово локальное кольцо размерности 2.

Пусть B - локализация R относительно всех элементов, не входящих ни в m, ни в n. Тогда B - 2-мерное нётерово полулокальное кольцо с двумя максимальными идеалами: mB (высоты 1) и nB (высоты 2).

Пусть I - радикал Джекобсона группы B, и пусть A = k + I. Кольцо A является локальной областью размерности 2 с максимальным идеалом I, поэтому оно является цепным, поскольку все двумерные локальные области являются цепными. Кольцо A нётерово, поскольку B нётерово и является конечным A-модулем. Однако A не является универсально цепной связью, потому что тогда идеал mB кольца B имел бы ту же высоту, что и mB∩A по формуле размерности для универсально цепных колец, но последний идеал имеет высоту, равную dim (A) = 2.

Пример Нагаты также является квази-превосходным кольцом, поэтому дает пример квази-превосходного кольца, которое не является отличным кольцом.

• Формально цепное кольцо (то же самое, что и универсальное цепное кольцо).

• H. Мацумура, Коммутативная алгебра 1980 ISBN 0-8053-7026-9.
• Нагата, Масаёси (1956), «К проблеме цепочки простых идеалов», Нагоя Матх. J., 10 : 51–64, MR 0078974
• Нагата, Местные кольца Масаёши. Interscience Tractors in Pure and Applied Mathematics, No. 13 Interscience Publishers, подразделение John Wiley Sons, Нью-Йорк-Лондон, 1962 г., перепечатано издательством R. E. Krieger Pub. Co (1975) ISBN 0-88275-228-6