Дробный идеал

редактировать

В математике, в частности в коммутативной алгебре, используется концепция дробной Идеальный вводится в контексте целостных доменов и особенно полезен при исследовании дедекиндовских доменов. В некотором смысле дробные идеалы области целостности подобны идеалам, где разрешены знаменатели. В контекстах, где обсуждаются и дробные идеалы, и обычные кольцевые идеалы, последние иногда для ясности называют интегральными идеалами .

Содержание

1 Определение и основные результаты
2 Дедекиндовы домены
3 Числовые поля
4 Примеры
5 Делительный идеал
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки

Определение и основные результаты

Пусть R будет областью целостности, и пусть K будет ее полем дробей.

A дробный идеал R является R- подмодуль I модуля K такой, что существует ненулевое r ∈ R такое, что rI ⊆ R. Элемент r можно рассматривать как очищающий знаменатели в I.

главные дробные идеалы - это те R- подмодули в K, порожденные одним ненулевым элементом K. Дробный идеал I содержится в R тогда и только тогда, когда он является ( 'интегральный') идеал R.

Дробный идеал I называется обратимым, если существует другой дробный идеал J такой, что

IJ = R

(где IJ = {a 1b1+ a 2b2+... + a nbn: a i ∈ I, b i ∈ J, n ∈ Z>0} называется произведением двух дробных идеалов).

В этом ок. Таким образом, дробный идеал J определен однозначно и равен обобщенному идеальному частному

(R: I) = {x ∈ K: x I ⊆ R}. {\ displaystyle (R: I) = \ {x \ in K: xI \ substeq R \}.}

(R: I) = \ {x \ in K: xI \ substeq R \}.

Множество обратимых дробных идеалов образуют абелеву группу относительно указанного выше произведения, где тождество - это сам идеал единицы R. Эта группа называется группой дробных идеалов кольца R. Главные дробные идеалы образуют подгруппу. (Ненулевой) дробный идеал обратим тогда и только тогда, когда он проективен как R-модуль.

Каждый конечно порожденный R-подмодуль в K является дробным идеалом, и если R нётеров, то все это дробные идеалы R.

Дедекиндские домены

В Дедекиндских доменах ситуация намного проще. В частности, обратим всякий ненулевой дробный идеал. Фактически, это свойство характеризует области Дедекинда :

область целостности является областью Дедекинда тогда и только тогда, когда любой ненулевой дробный идеал обратим.

Набор дробных идеалов в области Дедекинда $R {\ displaystyle R}$ $R$ обозначается $Div (R) {\ displaystyle {\ text {Div}} (R)}$ ${\ displaystyle {\ text {Div}} (R)}$ .

Его фактор-группа дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов является важным инвариантом области Дедекинда, называемой группой классов идеалов.

Числовые поля

Напомним, что кольцо целых чисел $OK {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${ \ mathcal {O}} _ {K}$ из числовое поле $K {\ displaystyle K}$ $K$ - это домен Дедекинда.

Мы называем дробным идеалом, который является подмножеством $OK {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${ \ mathcal {O}} _ {K}$ интеграл.

Одна из важных структурных теорем для дробных идеалов числового поля утверждает, что каждый дробный идеал $I {\ displaystyle I}$ $I$ однозначно разлагается с точностью до упорядочения как

I = (p 1… pn) (q 1… qm) - 1 {\ displaystyle I = ({\ mathfrak {p}} _ {1} \ ldots {\ mathfrak {p}} _ {n})) ({\ mathfrak {q}} _ {1} \ ldots {\ mathfrak {q}} _ {m}) ^ {- 1}}

{\ displaystyle I = ({\ mathfrak {p}} _ {1} \ ldots {\ mathfrak {p}} _ {n}) ({\ mathfrak {q}} _ {1} \ ldots {\ mathfrak {q}} _ {m}) ^ {- 1}}

для простых идеалов

pi, qj ∈ Spec (ОК) {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}, {\ mathfrak {q}} _ {j} \ in {\ text {Spec}} ({\ mathcal {O}} _ {K})}

{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}, {\ mathfrak {q}} _ {j} \ in {\ text {Spec}} ({\ mathcal {O}} _ {K})}

. Например,

2 5 OQ (i) {\ displaystyle {\ frac {2} {5}} {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {Q} (i)}}

{\ displaystyle {\ frac {2} {5}} {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {Q} (я)}}

множители как

(1 + i) (1 - i) ((1 + 2 i) (1-2 i)) - 1 {\ displaystyle (1 + i) (1-i) ( (1 + 2i) (1-2i)) ^ {- 1}}

{\ displaystyle (1 + i) ( 1-i) ((1 + 2i) (1-2i)) ^ {- 1}}

. Кроме того, поскольку дробные идеалы над числовым полем конечно порождены, мы можем очистить знаменатели на умножение на $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , чтобы получить идеальный $J {\ displaystyle J}$ $J$ . Следовательно,

I = 1 α J {\ displaystyle I = {\ frac {1} {\ alpha}} J}

{\ displaystyle I = {\ frac {1} {\ alpha}} J}

. Другая полезная теорема о структуре состоит в том, что целые дробные идеалы порождаются максимум двумя элементами.

. Существует точная последовательность

0 → OK ∗ → K ∗ → Div (OK) → CK → 0 {\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} _ {K} ^ {* } \ to K ^ {*} \ to {\ text {Div}} ({\ mathcal {O}} _ {K}) \ to C_ {K} \ to 0}

{\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} _ {K} ^ {*} \ to K ^ {*} \ to {\ text {Div}} ({\ mathcal {O}} _ {K}) \ to C_ {K} \ to 0}

связанный с каждым числом поле,

, где

CK {\ displaystyle C_ {K}}

C_ {K}

- это группа идеальных классов из

OK {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}

{ \ mathcal {O}} _ {K}

Примеры

$5 4 Z {\ displaystyle {\ frac {5} {4}} \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle {\ frac {5} {4} } \ mathbb {Z}}$ - дробный идеал над $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$

В $Q ζ 3 {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {\ zeta _ {3}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {\ zeta _ {3}}}$ у нас есть факторизация $(3) = (2 ζ 3 + 1) 2 {\ displaystyle (3) = (2 \ zeta _ {3} +1) ^ {2}}$ ${\ displaystyle (3) = (2 \ zeta _ {3} +1) ^ {2}}$ .

Это потому, что если мы умножим это, мы получим

(2 ζ 3 + 1) 2 = 4 ζ 3 2 + 4 ζ 3 + 1 = 4 (ζ 3 2 + ζ 3) + 1 {\ displaystyle {\ begin {align} (2 \ zeta _ {3} +1) ^ {2} = 4 \ zeta _ {3} ^ {2} +4 \ zeta _ {3} +1 \\ = 4 (\ zeta _ {3} ^ {2} + \ zeta _ {3 }) + 1 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (2 \ zeta _ {3} +1) ^ {2} = 4 \ zeta _ {3} ^ {2} +4 \ zeta _ {3} +1 \\ = 4 (\ zeta _ {3} ^ {2} + \ zeta _ {3}) + 1 \ end {align}}}

Поскольку

ζ 3 {\ displaystyle \ zeta _ {3}}

\ zeta _ {3}

удовлетворяет

ζ 3 2 + ζ 3 = - 1 { \ d isplaystyle \ zeta _ {3} ^ {2} + \ zeta _ {3} = - 1}

{\ displaystyle \ zeta _ {3} ^ {2} + \ zeta _ {3} = - 1}

, наша факторизация имеет смысл.

В $Q (- 23) {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-23}})}$ $\ mathbb {Q} ({\ sqrt {-23}})$ мы можем умножить дробные идеалы

$I = (2, (1/2) - 23 - (1/2)) { \ Displaystyle I = (2, (1/2) {\ sqrt {-23}} - (1/2))}$ ${\ displaystyle I = (2, (1/2) {\ sqrt {-23}} - (1/2))}$ и
$J = (4, (1/2) - 23 + (3/2)) {\ displaystyle J = (4, (1/2) {\ sqrt {-23}} + (3/2))}$ ${\ displaystyle J = (4, (1/2) {\ sqrt {-23}} + (3/2))}$

чтобы получить идеал

IJ = (- (1/2) - 23 - (3/2)) {\ displaystyle IJ = (- (1/2) {\ sqrt {-23}} - (3/2))}

{\ displaystyle IJ = (- (1/2) {\ sqrt {-23}} - (3/2))}

Делительный идеал

Пусть $I ~ {\ displaystyle {\ tilde {I}}}$ ${\ tilde {I}}$ обозначает пересечение всех главных дробных идеалов, содержащих ненулевой дробный идеал I.

Эквивалентно,

I ~ = (R: (R: I)), {\ displaystyle {\ tilde {I}} = (R: (R: I)),}

{\ tilde I} = (R: (R: I)),

где, как указано выше,

(R: I) = {x ∈ K: x I ⊆ R}. {\ displaystyle (R: I) = \ {x \ in K: xI \ substeq R \}.}

(R: I) = \ {x \ in K: xI \ substeq R \}.

Если $I ~ = I {\ displaystyle {\ tilde {I}} = I}$ ${\ тильда I} = I$ то I называется дивизориальным .

. Другими словами, дивизориальный идеал - это ненулевое пересечение некоторого непустого множества дробных главных идеалов.

Если I дивизориален, а J - ненулевой дробный идеал, то (I: J) дивизориален.

Пусть R будет локальным доменом Крулля (например, нётерианский интегрально замкнутый локальный домен).

Тогда R является кольцом дискретной оценки тогда и только тогда, когда максимальный идеал кольца R является дивизориальным.

область целостности, который удовлетворяет условиям возрастающей цепочки на дивизориальных идеалах, называется доменом Мори.

См. Также

Дивизориальный пучок

Примечания

Ссылки

Stein, Уильям, Вычислительное введение в алгебраическую теорию чисел (PDF)
Глава 9 из Атья, Майкл Фрэнсис ; Macdonald, IG (1994), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
Глава VII.1 из Бурбаки, Николас (1998), Коммутативная алгебра (2-е изд.), Springer Verlag, ISBN 3-540-64239-0
Глава 11 из Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец, Кембриджские исследования по высшей математике, 8 (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, MR 1011461