Войти
Основные элементарные арифметические символы. Элементарная арифметика - это упрощенная часть арифметики, которая включает в себя операции сложения, вычитания, умножения и деления. Его не следует путать с арифметикой элементарных функций.
Элементарная арифметика начинается с натуральных чисел и письменных символов (цифр ), которые их представляют. Процесс объединения пары этих чисел с четырьмя основными операциями традиционно основывается на запомненных результатах для небольших значений чисел, включая содержимое таблицы умножения, чтобы помочь с умножением и делением.
Элементарная арифметика также включает дроби и отрицательные числа, которые могут быть представлены на числовой строке.
Цифры - это полный набор символов, используемых для представления чисел. В конкретной системе счисления одна цифра представляет собой величину, отличную от любой другой цифры, хотя символы в одной и той же системе счисления могут различаться в разных культурах.
В современном обиходе арабские цифры являются наиболее распространенным набором символов, а наиболее часто используемой формой этих цифр является западный стиль. Каждая отдельная цифра, если используется как отдельное число, соответствует следующим числам:. 0, ноль. Используется при отсутствии объектов для подсчета. Например, можно по-другому сказать «здесь нет палочек», это сказать «количество палочек здесь 0».. 1, один. Применяется к отдельному предмету. Например, вот одна палка: I. 2, две. Применяется к паре предметов. Вот две палки: I I. 3, три. Применяется к трем предметам. Вот три палки: I I I. 4, четыре. Применяется к четырем предметам. Вот четыре палки: I I I I. 5, пять. Применяется к пяти предметам. Вот пять палочек: Я Я Я Я Я. 6, шесть. Применяется к шести предметам. Вот шесть палочек: Я Я Я Я Я Я. 7, семь. Применено к семи предметам. Вот семь палочек: Я Я Я Я Я Я Я. 8, восемь. Применено к восьми предметам. Вот восемь палочек: I I I I I I I I I. 9, девять. Применяется к девяти позициям. Вот девять палочек: I I I I I I I I I I
Любая система счисления определяет значение всех чисел, содержащих более одной цифры, чаще всего путем сложения значений для соседних цифр. Индусско-арабская система счисления включает позиционное обозначение для определения значения любой цифры. В системе этого типа увеличение значения дополнительной цифры включает в себя одно или несколько умножений на значение radix, и результат добавляется к значению соседней цифры. Для арабских цифр десятичное значение дает значение двадцать один (равное 2 × 10 + 1) для числа «21». Дополнительное умножение на значение системы счисления происходит для каждой дополнительной цифры, поэтому цифра «201» представляет значение двести один (равное 2 × 10 × 10 + 0 × 10 + 1).
Элементарный уровень обучения обычно включает понимание значения отдельных целых чисел с использованием арабских цифр максимум из семи цифр и выполнение четырех основных операций с использованием арабских цифр максимум из четырех цифры каждый.
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 6 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 7 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 8 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| 9 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
Когда два числа сложенные вместе, результат называется суммой. Два сложенных числа называются слагаемыми.
Предположим, у вас есть две сумки, одна из которых содержит пять яблок, а вторая - три яблока. Взяв третий пустой мешок, переместите все яблоки из первого и второго пакетов в третий. В третьем мешочке теперь восемь яблок. Это иллюстрирует сочетание трех яблок и пяти яблок - восемь яблок; или, в более общем смысле: «три плюс пять равно восьми», или «три плюс пять равно восьми», или «восемь - это сумма трех и пяти». Числа абстрактны, и добавление группы из трех вещей к группе из пяти даст группу из восьми вещей. Добавление - это перегруппировка: два набора объектов, которые были подсчитаны отдельно, помещаются в одну группу и считаются вместе: счет новой группы является «суммой» отдельных подсчетов двух исходных групп.
Эта операция объединения - только одно из нескольких возможных значений, которые может иметь математическая операция сложения. Другие значения для добавления включают:
Символически сложение представлено как знак «плюс »: +. Таким образом, выражение «три плюс пять равно восьми» можно символически записать как 3 + 5 = 8. Порядок, в котором складываются два числа, не имеет значения, поэтому 3 + 5 = 5 + 3 = 8. Это коммутативное свойство сложения.
Чтобы добавить пару цифр с помощью таблицы, найдите пересечение строки первой цифры со столбцом второй цифры: строка и столбец пересекаются в квадрате, содержащем сумму двух цифр.. Некоторые пары цифр в сумме дают двузначные числа, при этом цифра десятков всегда равна 1. В алгоритме сложения цифра десятков суммы пары цифр называется цифрой «переносит. ".
Для простоты учитывайте только числа, состоящие из трех или менее цифр. Чтобы сложить пару чисел (написанных арабскими цифрами), напишите второе число под первым так, чтобы цифры выстроились в столбцы: крайний правый столбец будет содержать однозначную цифру второго числа под единичной цифрой числа. первый номер. Этот крайний правый столбец является столбцом с единицами. Столбец слева от него - столбец с десятками. В столбце с десятками будет цифра десятков второго числа (если она есть) под цифрой десятков первого числа (если она есть). Столбец сразу слева от столбца десятков - это столбец сотен. Столбец с сотнями выровнял бы разряды сотен второго числа (если они есть) под разрядами сотен первого числа (если оно есть).
После того, как второе число будет записано под первым так, чтобы цифры выстроились в свои правильные столбцы, проведите линию под вторым (нижним) числом. Начните со столбца с единицами: столбец с единицами должен содержать пару цифр: единичную цифру первого числа и под ним единичную цифру второго числа. Найдите сумму этих двух цифр: запишите эту сумму под чертой и в столбце единиц. Если в сумме две цифры, запишите только однозначную цифру суммы. Напишите «цифру переноса» над верхней цифрой следующего столбца: в этом случае следующий столбец - это столбец с десятками, поэтому напишите 1 над цифрой десятков первого числа.
Если и первое, и второе число имеют только одну цифру, их сумма указана в таблице сложения, и алгоритм сложения не требуется.
Затем идет столбец с десятками. Столбец десятков может содержать две цифры: разряд десятков первого числа и разряд десятков второго числа. Если в одном из чисел отсутствует цифра десятков, то цифра десятков для этого числа может считаться равной нулю. Сложите цифры десятков двух чисел. Затем, если есть цифра переноса, добавьте ее к этой сумме. Если сумма была 18, то добавление к ней цифры переноса даст 19. Если сумма разрядов десятков (плюс цифра переноса, если она есть) меньше десяти, запишите ее в столбец десятков под линией. Если в сумме две цифры, запишите ее последнюю цифру в столбце десятков под строкой и перенесите первую цифру (которая должна быть 1) в следующий столбец: в данном случае столбец с сотнями.
Если ни одно из двух чисел не имеет разряда сотен, то если нет цифры переноса, то алгоритм сложения завершен. Если есть цифра переноса (перенесенная из столбца десятков), запишите ее в столбце сотен под строкой, и алгоритм будет завершен. Когда алгоритм завершится, число под линией будет суммой двух чисел.
Если хотя бы одно из чисел состоит из сотен цифр, тогда, если в одном из чисел пропущены сотни цифр, запишите вместо него цифру 0. Сложите две сотни цифр и к их сумме добавьте цифру переноса, если она есть. Затем запишите сумму в столбце сотен под линией, также в столбце сотен. Если сумма состоит из двух цифр, запишите последнюю цифру суммы в столбце сотен и запишите цифру переноса слева: в столбце тысяч.
Чтобы найти сумму чисел 653 и 274, напишите второе число под первым, выровняв цифры по столбцам, как показано ниже:
| 6 | 5 | 3 |
| 2 | 7 | 4 |
Затем нарисуйте линию под вторым числом и поставить знак плюса. Сложение начинается с единицы-столбца. Единичная цифра первого числа - 3, второго - 4. Сумма трех и четырех равна семи, поэтому напишите 7 в столбце единиц под строкой:
| 6 | 5 | 3 | |
| + | 2 | 7 | 4 |
| 7 |
Далее, столбец десятков. Разряд десятков первого числа равен 5, а цифра десятков второго числа - 7. 5 плюс 7 равно 12, которое состоит из двух цифр, поэтому запишите его последнюю цифру, 2, в столбце десятков под строкой., и напишите цифру переноса в столбце сотен над первым числом:
| 1 | |||
| 6 | 5 | 3 | |
| + | 2 | 7 | 4 |
| 2 | 7 |
Затем, в столбце сотен. Цифра сотен первого числа - 6, а разряда сотен второго числа - 2. Сумма шести и двух равна восьми, но есть цифра переноса, которая в сумме с восемью равна девяти. Напишите 9 под строкой в столбце с сотнями:
| 1 | |||
| 6 | 5 | 3 | |
| + | 2 | 7 | 4 |
| 9 | 2 | 7 |
Никакие цифры (и никакие столбцы) не были оставлены без добавления, поэтому алгоритм завершается, и в результате получается следующее уравнение:
Результат прибавления единицы к числу является преемником этого числа. Примеры:. преемник нуля равен единице,. преемник одного равен двум,. преемник двух равен трем,. преемник десяти равен одиннадцати.. Каждое натуральное число имеет преемник.
Предшественником последователя числа является само число. Например, пять является преемником четырех, поэтому четыре предшествует пяти. Каждое натуральное число, кроме нуля, имеет предшественника.
Если число является преемником другого числа, то считается, что первое число больше другого числа. Если число больше другого числа, и если другое число больше третьего числа, то первое число также больше третьего числа. Пример: пять больше четырех, а четыре больше трех, поэтому пять больше трех. Но шесть больше пяти, поэтому шесть также больше трех. Но семь больше шести, поэтому семь также больше трех... следовательно, восемь больше трех... поэтому девять больше трех и т. Д.
Если сложить два ненулевых натуральных числа вместе, то их сумма больше, чем у любого из них. Пример: три плюс пять равно восьми, поэтому восемь больше трех (8>3), а восемь больше пяти (8>5). Символ «больше» ->.
Если одно число больше другого, то второе меньше первого. Примеры: три меньше восьми (3 < 8) and five is less than eight (5 < 8). The symbol for "less than" is <. A number cannot be at the same time greater and less than another number. Neither can a number be at the same time greater than and equal to another number. Given a pair of natural numbers, one and only one of the following cases must be true:
Подсчет группы объектов означает присвоение натурального числа каждому из объектов, как если бы это была метка для этого объекта, так что натуральное число никогда не присваивается объекту, если его предшественник уже не был назначен другому объекту, за исключением того, что ноль не присваивается ни одному объекту: наименьшее натуральное число, которое должно быть присвоено, равно единице, а наибольшее назначенное натуральное число зависит от размера группы. Он называется счетчиком, и он равен количеству объектов в этой группе.
Процесс подсчета группы заключается в следующем:
Когда счет закончен, последнее значение счета будет окончательным. Это количество равно количеству объектов в группе.
Часто при подсчете объектов не отслеживают, какая числовая метка соответствует какому объекту: отслеживается только подгруппа объектов, которые уже были помечены, чтобы иметь возможность идентифицировать немаркированные объекты необходимо для Шага 2. Однако, если кто-то ведет подсчет людей, то можно попросить подсчитываемых лиц следить за номером, который был присвоен этому человеку. После завершения подсчета можно попросить группу людей выстроиться в линию в порядке увеличения числовой метки. То, что люди будут делать в процессе выстраивания, будет примерно таким: каждая пара людей, не уверенных в своем положении в очереди, спрашивает друг друга, каковы их числа: человек, чье число меньше, должен стоять с левой стороны. и тот, у которого номер больше, справа от другого человека. Таким образом, пары людей сравнивают свои числа и свои позиции и меняют свои позиции по мере необходимости, и посредством повторения таких условных коммутаций они становятся упорядоченными.
В высшей математике процесс подсчета можно также сравнить с построением взаимно-однозначного соответствия (также известного как взаимно однозначное соответствие) между элементами набора и набором {1,..., n} (где n - натуральное число). Как только такое соответствие установлено, первый набор называется размером n.
Вычитание - это математическая операция, описывающая уменьшенную величину. Результатом этой операции является разница между двумя числами, уменьшаемым и вычитаемым. Как и сложение, вычитание может иметь несколько интерпретаций, например:
Как с добавлением, есть и другие возможные интерпретации, например движение.
Символически знак минус («-») представляет операцию вычитания. Таким образом, выражение «пять минус три равно двум» также записывается как 5 - 3 = 2. В элементарной арифметике при вычитании используются меньшие положительные числа для всех значений, чтобы получить более простые решения.
В отличие от сложения, вычитание не коммутативно, поэтому порядок чисел в операции может изменить результат. Поэтому каждому номеру присваивается свое отличительное имя. Первое число (5 в предыдущем примере) формально определяется как уменьшаемое, а второе число (3 в предыдущем примере) как вычитаемое. Значение minuend больше, чем значение subtrahend, поэтому результатом является положительное число, но меньшее значение minuend приведет к отрицательным числам.
Существует несколько методов выполнения вычитания. Метод, который в США упоминается как традиционная математика, учит учеников начальной школы вычитать, используя методы, подходящие для ручного вычисления. Конкретный используемый метод варьируется от страны к стране, и внутри страны в разное время в моде разные методы. Реформа математики обычно отличается отсутствием предпочтения какой-либо конкретной техники, замененной наставлением учеников 2-го класса изобретать свои собственные методы вычислений, такие как использование свойств отрицательных чисел в случае TERC.
Американские школы в настоящее время обучают методу вычитания с использованием заимствований и системы маркировки, называемой костылями. Хотя метод заимствования был известен и ранее публиковался в учебниках, очевидно, костыли - изобретение Уильяма А. Броуэлла, который использовал их в исследовании, проведенном в ноябре 1937 г. [1]. Эта система быстро прижилась, вытеснив другие методы вычитания, использовавшиеся в то время в Америке.
Студенты в некоторых европейских странах обучаются, а некоторые пожилые американцы используют метод вычитания, называемый австрийским методом, также известный как метод сложения. В этом методе нет заимствования. Есть также костыли (маркировка, помогающая запоминать), которые [вероятно] различаются в зависимости от страны.
В методе заимствования вычитание, такое как 86 - 39, выполнит вычитание одной позиции 9 из 6 путем заимствования 10 из 80 и добавления его к 6. Таким образом, задача преобразуется в ( 70 + 16) - 39, результативно. На это указывает проставление черточки через восьмерку, написание маленькой цифры 7 над ней и маленькой цифры 1 над цифрой 6. Эти отметки называются костылями. Затем 9 вычитается из 16, оставляя 7, а 30 из 70, в результате остается 40 или 47.
В методе сложений заимствуется 10, чтобы превратить 6 в 16, при подготовке к вычитанию 9, как и в методе заимствования. Однако 10 не берется путем уменьшения уменьшаемого, а увеличивается вычитаемое. Фактически задача трансформируется в (80 + 16) - (39 + 10). Обычно костыль маленького размера отмечается чуть ниже вычитаемой цифры в качестве напоминания. Затем операции продолжаются: 9 из 16 - 7; и 40 (то есть 30 + 10) из 80 равно 40 или 47 в результате.
Кажется, что метод сложений преподается в двух вариантах, которые различаются только психологией. Продолжая пример 86 - 39, первая вариация пытается вычесть 9 из 6, а затем 9 из 16, заимствуя 10, отмечая рядом с цифрой вычитаемого значения в следующем столбце. Второй вариант пытается найти цифру, которая при добавлении к 9 дает 6, и, признавая, что это невозможно, дает 16 и переносит 10 из 16 как единицу, отмечая ту же цифру, что и в первом методе. Маркировка такая же; это просто вопрос предпочтения того, как объяснить его появление.
В качестве последнего предостережения, метод заимствования становится немного сложнее в таких случаях, как 100–87, когда заимствование не может быть получено немедленно и должно быть получено путем охвата нескольких столбцов. В этом случае minuend эффективно переписывается как 90 + 10, беря 100 из сотен, делая из них десять десятков, сразу же заимствуя это до девяти десятков в столбце десятков и, наконец, помещая 10 в столбец единиц.
| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 |
| 4 | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 |
| 5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
| 6 | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 |
| 7 | 0 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 |
| 8 | 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 |
| 9 | 0 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |
Когда два числа умножаются вместе, результат называется товаром. Два умножаемых числа называются множителями, при этом также используются множимое и множитель.
Предположим, есть пять красных мешков, в каждом по три яблока. Теперь, взяв пустой зеленый пакет, переместите все яблоки из всех пяти красных пакетов в зеленый. Теперь в зеленом мешочке будет пятнадцать яблок.. Таким образом, произведение пяти и трех равно пятнадцати.. Это также может бытьуказано как «пять умножить на три равно пятнадцать», или «пять умножить на три равно пятнадцать», или «пятнадцать равно произведение и трех». Умножение можно рассматривать как форму как повторного сложения : первый множитель указывает, сколько раз второй множитель встречается при повторном сложении; конечная сумма - продукт.
Символически умножение представлено знаком умножения: ×. Таким образом, выражение «пять умножить на три равно пятнадцати» можно символически записать как
В некоторых странах и в более продвинутой арифметике другое умножение знаков используются, например, 5 ⋅ 3. В некоторых ситуациях, особенно в алгебре, где числа могут быть обозначены буквами, символ умножения может быть опущен; например xy означает x × y. Порядок, в котором умножаются два числа, не имеет значения, так что, например, три раза по четыре раза по три. Это коммутативное свойство умножения.
Чтобы умножить пару цифр с помощью таблицы, найдите пересечение первой цифры со столбцом второй цифры: строка и столбец пересекаются в квадрате, содержащем произведение двух цифр.. Большинство пар цифр дают двузначные числа. В алгоритме умножения цифра, состоящая из десятков произведений пары цифр, перенос, называется «ить цифру».
Рассмотрим умножение, при котором один из множителей имеет несколько цифр, а другой множитель - только одну цифру. Запишите множитель из нескольких цифр, укажите множитель из одной цифры под самой правой цифрой множителя из нескольких цифр. Проведите горизонтальную линию под однозначным множителем. В дальнейшем множитель будет называться множителем, а множитель с одной цифрой будет называться множителем .
. Предположим для простоты, что множимое состоит из трех цифр. Самая левая цифра - это сотня, средняя цифра - десятки, а самая правая цифра - это единицы. Множитель состоит только из одной цифры. Единичные цифры множимого и множителя образуют столбец: единица-столбец.
Начать со столбца с единицами: столбец с единицами должен содержать пару цифр: единичную цифру множимого и под ней единичную цифру множителя. Найдите эти двух цифр: напишите это произведение под чертой и в столбце Если в продукте две цифры, запишите только одну цифру продукта. Запишите «цифру переноса» как верхний индекс еще не записанной цифры в следующем столбце и под следующим столбцом: в этом случае следующий столбец - это столбец десятков, поэтому запишите цифру переноса как верхний индекс еще не записанных десятков. -цифра продукта (под линией).
Если и первое, и число имеют только одну цифру, то их результат указывается в таблице умножения, что делает второй алгоритм умножения ненужным.
Затем идет столбец с десятками. Столбец с десятками пока содержит только одну цифру: цифру десятков множимого (хотя он может содержать цифру переноса под линией). Найдите произведение множителя и разряда десятков множимого. Затем, если есть цифра переноса (надстрочная, под линией и в столбце десятков), добавьте ее к этому продукту. Если полученная сумма меньше десяти, запишите ее в столбец десятков под строкой. Если сумма состоит из двух цифр, запишите последнюю цифру в столбце десятков под строк и перенесите первую цифру в следующий столбец: в данном случае столбец сотен.
Если множимое не имеет разряда сотен, то если нет разряда переноса, то алгоритм то умножения завершен. Если есть цифра переноса (перенесенная из столбца десятков), запишите ее в столбце сотен под строкой, и алгоритм будет завершен. Когда алгоритм завершится, число под линией будет произведением двух чисел.
Если множимое состоит из сотен цифр, найдите множителя и сотен разряда этого множимого и добавьте к произведению цифру переноса, если она есть. Затем запишите итоговую сумму столбца сотен под линией, также в столбце сотен. Если сумма из двух цифр, запишите последнюю цифру сумму в столбце сотен и запишите цифру переноса слева от нее: в столбце тысяч.
Чтобы найти произведение чисел 3 и 729, запишите однозначный множитель под многозначным множимым, а множитель - под однозначным числом множимого, как следующее:
| 7 | 2 | 9 |
| 3 |
Затем проведите линию под множителем и поставьте символ умножения. Умножение начинается со столбца Единичная цифра множимого - 9, а множитель - 3. Произ 3 и 9 равно 27, поэтому напишите 7 в столбце единиц под строкой, а цифру переноса 2 - в качестве верхнего индекса еще -переписанный разряд десятков произведений под строкой:
| 7 | 2 | 9 | |
| × | 3 | ||
| 7 |
Следующий столбец десятков. Разрядные десятки множимого равны 2, множитель 3, а трижды два - шесть. Добавьте цифру переноса 2 к произведению 6, чтобы получить 8. У восьмерки только одна цифра: нет цифры переноса, поэтому напишите в столбце десятков под линией. Теперь вы можете стереть два.
| 7 | 2 | 9 | |
| × | 3 | ||
| 8 | 7 |
Затем столбец сотен. Сотни цифр множимого - 7, а множитель - 3. Произведение 3 и 7 равно 21, и предыдущей цифры переноса (перенесенной из столбца десятков) нет. У произведений 21 две цифры: запишите последнюю цифру в столбце сотен под строкой, затем перенесите первую цифру в столбец тысяч. Запишите эту цифру, переноса в столбец тысяч под линией (без надстрочного индекса):
| 7 | 2 | 9 | |
| × | 3 | ||
| 2 | 1 | 8 | 7 |
Ни одна из цифр множимого не осталась неумноженной, поэтому алгоритм завершается, давая следующее уравнение в результате:
Дана пара множителей, каждый из которых имеет два или более цифр, запишите оба множителя один под другими, чтобы выстроились в цифры. столбцы.
Для простоты рассмотрим пару трехзначных чисел. Запишите последнюю цифру второго числа под последней цифрой первого числа, образуя столбец единиц. Сразу слева от столбца будет столбец десятков: вверху этого столбца будет вторая цифра первого числа, а под ним будет вторая цифра второго числа. Сразу слева от столбца десятков будет столбец сотен: в верхней части этого столбца будет первая цифра первого числа, а под ним будет первая цифра второго числа. Записав оба фактора, проведите линию под вторым фактором.
Умножение будет состоять из двух частей. Первая часть будет состоять из нескольких умножений с использованием однозначных множителей. Работа каждого из таких умножений уже была описана в алгоритме умножения, а этот алгоритм будет описывать каждое из них отдельно, а будет описывать только то, как несколько умножений с однозначными множителями быть скоординированы. Вторая часть суммирует все субпродукты первой части, и полученная сумма будет произведением.
Часть первая. Назовем первый множитель множимым. Назовем каждую цифру второго множителя множителем. Назовем единичную цифру второго множителя «множителем». Назовем цифру десятков второго множителя «множителем десятков». Назовем сотню разряда второго множителя «множителем сотен».
Начать с столбца Найдите данные множителя и множимого и запишите его в строке под линией, выровняв цифры в указанных столбцах. Если продукт состоит из четырех цифр, то первая цифра будет первым столбца тысяч. Назовем этот продукт «однорядным».
Затем столбец с десятками. Найдите произведение множителя десятков и множимого и запишите его в строке - назовите ее «строкой десятков» - под строкой строки, но со сдвигом на один столбец влево. То есть, единица разряда десятков будет в столбце десятков строк единиц; цифра десятков в строке десятков будет меньше цифры сотен в строках; цифра сотен разряда десятков будет ниже разряда тысяч в ряду единиц. Если в строке с десятками четыре цифры, то первая цифра будет первым столбца с десятками тысяч.
Затем столбец сотен. Найдите произведение множителя сотен и множимого и запишите его в ряд - назовите его «строкой сотен» - под строкой десятков, но со смещением еще одного столбца влево. То есть единичная цифра в строке сотен будет в столбце сотен; цифра десятков в строке сотен будет в столбце тысяч; цифра сотен в строке сотен будет в столбце десятков тысяч. Если в строке с сотнями четыре цифры, то первая цифра будет столбца с сотнями тысяч.
После того, как вы опустили ряд, десятки и сотни строк, проведите горизонтальную линию под строкой сотен. Умножения окончены.
Вторая часть. Теперь у умножения есть пара прямых. Первый - по паре факторов, а второй - по трем рядам субпродуктов. Под второй строкой будет шесть столбцов, которые будут справа налево: столбец из единиц, столбец из десятков, столбец из сотен, столбец тысяч, столбец из десяти тысяч и столбец из ста тысяч.
Между первой и второй строками столбец из единиц будет содержать только одну цифру, расположенную в строке из единиц: это цифра из строк из единиц. Скопируйте эту цифру, переписав ее в столбце под второй строкой.
Между первой и второй строками столбец десятков будет содержать пару цифр, расположенных в строке единиц и строк десятков: цифра десятков в строке единиц и цифра из единиц десятки-рядные. Сложите эти цифры и, если в сумме всего одна цифра, запишите эту цифру в столбце десятков под второй строкой. Если сумма состоит из двух цифр, то первая цифра является переносимой: запишите последнюю цифру в столбце десятков под второй строкой и перенесите первую цифру в столбец сотен, записав ее как надстрочный индекс до - неписаные сотни цифр под второй строкой.
Между первой и второй строками столбец сотен будет содержать три цифры: цифру сотен в строке единиц, цифру десятков в строке десятков и цифру из единиц сотен. -строка. Найдите сумму этих трех цифр, затем, если есть цифра переноса из столбца десятков (написанная надстрочным индексом под второй строкой в столбце сотен), тогда добавьте эту цифру переноса. Если полученная сумма состоит из одной цифры, запишите ее под второй строкой в столбце сотен; если в нем две цифры, запишите последнюю цифру под строкой в столбце с сотнями и перенесите первую цифру в столбец с тысячами, записав ее как надстрочный индекс к еще не записанной цифре тысяч под строкой.
Между первой и второй строками столбец тысяч будет содержать две или три цифры: цифру сотен в строке десятков, цифру десятков в строке сотен и (возможно) тысячный разряд единицы. Найдите сумму этих цифр, затем, если есть цифра переноса из столбца сотен (написана надстрочным индексом под второй строкой в столбце тысяч), затем добавьте эту цифру переноса. Если полученная сумма состоит из одной цифры, запишите ее под второй строкой в столбце тысяч; если в нем две цифры, то запишите последнюю цифру под строкой в столбце тысяч и перенесите первую цифру в столбец с десятью тысячами, записав ее в виде надстрочного индекса к еще не записанным десяти тысячным цифрам под линия.
Между первой и второй строками столбец с десятками тысяч будет содержать одну или две цифры: цифру сотен столбца сотен и (возможно) цифру тысяч столбца десятков. Найдите сумму этих цифр (если отсутствует цифра в строке десятков, представьте ее как 0), и если есть цифра переноса из столбца тысяч (написанная надстрочным индексом под второй строкой в десятичной строке). столбец тысяч), затем добавьте эту цифру переноса. Если полученная сумма состоит из одной цифры, запишите ее под второй строкой в столбце десяти тысяч; если он состоит из двух цифр, запишите последнюю цифру под строкой в столбце с десятью тысячами и перенесите первую цифру в столбец с сотнями тысяч, записав ее как надстрочный индекс к еще не записанной цифре в сто тысяч под линией. Однако, если в сотне-строке нет тысячи цифр, тогда не записывайте эту переносимую цифру в качестве надстрочного индекса, а записывайте ее с нормальным размером, в позиции сотен тысяч цифр под второй строкой, и алгоритм умножения завершится..
Если в строке с сотнями есть тысяча, добавьте к ней цифру переноса из предыдущей строки (если нет цифры переноса, подумайте о ней как о 0) и запишите единичный -значная сумма в столбце сотен тысяч под второй строкой.
Число под второй строкой - это искомое произведение пары факторов над первой строкой.
Пусть наша цель - найти произведение 789 и 345. Напишите 345 под 789 в трех столбцах и проведите под ними горизонтальную линию:
| 7 | 8 | 9 |
| 3 | 4 | 5 |
Первая часть. Начнем с одинарного столбца. Множаемое равно 789, а множитель единиц - 5. Произведите умножение в строке под строкой:
| 7 | 8 | 9 | |
| × | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 9 | 4 | 5 |
Затем столбец с десятками. Множаемое равно 789, а множитель на десятки - 4. Произведите умножение в строке с десятками, под предыдущим подпродуктом в строке с единицами, но смещенным на один столбец влево:
| 7 | 8 | 9 | ||
| × | 3 | 4 | 5 | |
| 3 | 9 | 4 | 5 | |
| 3 | 1 | 5 | 6 |
Затем, столбец с сотнями. Множаемое снова равно 789, а множитель сотен равно 3. Произведите умножение в строке сотен под предыдущим промежуточным произведением в строке десятков, но со смещением на один (более) столбец влево. Затем нарисуйте горизонтальную линию под сотнями рядов:
| 7 | 8 | 9 | ||||
| × | 3 | 4 | 5 | |||
| 3 | 9 | 4 | 5 | |||
| 3 | 1 | 5 | 6 | |||
| + | 2 | 3 | 6 | 7 |
Вторую часть. Теперь добавьте промежуточные продукты между первой и второй строками, игнорируя любые цифры, расположенные между первой и второй строками.
| 7 | 8 | 9 | ||||
| × | 3 | 4 | 5 | |||
| 3 | 9 | 4 | 5 | |||
| 3 | 1 | 5 | 6 | |||
| + | 2 | 3 | 6 | 7 | ||
| 2 | 7 | 2 | 2 | 0 | 5 |
Ответ:
.В математике, особенно в элементарной арифметике., деление - это арифметическая операция, которая является обратным по отношению к умножению.
В частности, для числа a и ненулевого числа b, если другое число c, умноженное на b, равно a, то есть:
тогда a, деленное на b, равно c. То есть:
,
, поскольку
.В приведенном выше выражении a делимым, b делитель и c частное . Деление на ноль - когда делитель равенство нулю - обычно не определяет элемент в элементарной аметрифике.
Деление чаще всего показано размещенным делимым делителем с горизонтальной линией, также называемой винкулумом, между ними. Например, разделенное на b записывается как:
Это можно прочитать вслух как «a, разделенное на b» или «a над b». ". Чтобы выразить деление в одной строке, введите делимое, затем косую черту , затем делитель, как показано ниже:
Это обычный способ указания деления в большинстве компьютерных программирования, поскольку его можно легко получить как простую последовательность символов.
Рукописный или типографский вариант, который находится на полпути этими двумя формами, использует знак солидуса (масштабная косая черта), но увеличивает делимое и уменьшает делитель, как показано ниже:
Любая из эти формы дроби . целыми числами (хотя обычно их делят числителем и знаменателем), и никакого смысла в том, что деление требует дальнейшей оценки.
Более простой способ показать деление - использовать obelus (или знак деления) следующим образом:
Эта встречается нечасто, за характерную форму арифметики. Обелус также используется отдельно для представления самой операции деления, например, как метка на клавише калькулятора.
. В некоторых не русскоязычных культурах "разделенный на b" пишется a: b. Однако в английском языке двоеточие ограничивается выражением концепции концепции отношений (тогда «a есть к b»).
Зная таблицы умножения, два целых числа можно разделить на бумаге с помощью метода деления в столбик. Сокращенная версия длинного деления, короткое деление, также может быть для меньших делителей.
Менее систематический метод - но который приводит к более целостному пониманию деления в целом - включает концепцию разбиения на части. Допуская вычитание большего количества кратных из частичного остатка на этапе, можно разработать и другие методы произвольной формы.
В качестве альтернативы, если делимое имеет дробную часть (выраженную как десятичную дробь ), может быть алгоритм быть продолжен после разряда сколько угодно. Если у делителя есть десятичная дробная часть, можно повторить проблему, переместив десятичную дробь вправо в обоих числах, пока в делителе не будет дроби.
Чтобы разделить дробь, можно просто умножить на обратную операцию (меняя положение верхней и нижней части), например:
Местные стандарты обычно определяют образовательные методы и содержание начального уровня обучения. В приложении Штатах и Канаде спорные темы включают количество использования калькулятора между традиционной математикой и реформированием математики.
В приложениях Штатах, 1989 Стандарты NCTM привели к созданию программ, в которых упускалось или не учитывалась большая часть, считающаяся элементарной арифметикой в начальной школе. а также не -стандартные методы вычислений, незнакомые большинству взрослых.
Abacus - раннее механическое устройство для выполнения элементарной арифметики, которое до сих пор используется во многих частях Азии. Современные вычислительные инструменты, элементарные арифметические операции, которые включают кассовые аппараты, электронные калькуляторы и компьютеры.
