σ-конечная мера

редактировать

В математике положительная (или знаковая ) мера μ, определенная на σ- алгебре Σ подмножеств множества X, называется конечной мерой, если μ ( X) - конечное действительное число (а не ∞), и множество A в Σ имеет конечную меру, если μ ( A) lt;∞. Мера μ называется σ-конечной, если X - счетное объединение измеримых множеств с конечной мерой. Говорят, что множество в пространстве меры имеет σ -конечную меру, если оно является счетным объединением измеримых множеств с конечной мерой. Σ-конечность меры является более слабым условием, чем конечная мера, т. Е. Все конечные меры являются σ-конечными, но есть (много) σ-конечных мер, которые не являются конечными.

Другое, но родственное понятие, которое не следует путать с сигма-конечностью, - это s-конечность.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Определение
2 Примеры
- 2.1 Мера Лебега
- 2.2 Счетная мера
- 2.3 Локально компактные группы
- 2.4 Отрицательные примеры
3 свойства
- 3.1 Эквивалентность вероятностной мере
4 Понятия, связанные с данным
- 4.1 Умеренные меры
- 4.2 Разложимые меры
- 4.3 s-конечные меры
5 См. Также
6 Ссылки

Определение

Пусть быть измеримое пространство и в меру на нем. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ му$

Мера называется σ-конечной мерой, если она удовлетворяет одному из четырех следующих эквивалентных критериев: ${\ displaystyle \ mu}$ $\ му$

это множество может быть покрыто не более чем счетным числом измеримых множеств с конечной мерой. Это означает, что есть наборы с для всех, которые удовлетворяют условию. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots \ in {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots \ in {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle \ му \ влево (A_ {п} \ вправо) lt;\ infty}$ ${\ Displaystyle \ му \ влево (A_ {п} \ вправо) lt;\ infty}$ ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {п \ in \ mathbb {N}} A_ {n} = X}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {п \ in \ mathbb {N}} A_ {n} = X}$
это множество может быть покрыто не более чем счетным числом измеримых непересекающихся множеств с конечной мерой. Это означает, что есть наборы с для всех и для этого удовлетворяет условия. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, \ ldots \ in {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, \ ldots \ in {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle \ му \ влево (B_ {п} \ вправо) lt;\ infty}$ ${\ Displaystyle \ му \ влево (B_ {п} \ вправо) lt;\ infty}$ ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle B_ {i} \ cap B_ {j} = \ varnothing}$ ${\ displaystyle B_ {i} \ cap B_ {j} = \ varnothing}$ ${\ displaystyle i \ neq j}$ $я \ neq j$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {п \ in \ mathbb {N}} B_ {n} = X}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {п \ in \ mathbb {N}} B_ {n} = X}$
множество может быть покрыто монотонной последовательностью измеримых множеств с конечной мерой. Это означает, что существуют наборы с и для всех, которые удовлетворяют условию. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle C_ {1}, C_ {2}, \ ldots \ in {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle C_ {1}, C_ {2}, \ ldots \ in {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle C_ {1} \ подмножество C_ {2} \ subset \ cdots}$ ${\ Displaystyle C_ {1} \ подмножество C_ {2} \ subset \ cdots}$ ${\ Displaystyle \ му \ влево (C_ {п} \ вправо) lt;\ infty}$ ${\ Displaystyle \ му \ влево (C_ {п} \ вправо) lt;\ infty}$ ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle \ bigcup _ {п \ in \ mathbb {N}} C_ {n} = X}$ ${\ Displaystyle \ bigcup _ {п \ in \ mathbb {N}} C_ {n} = X}$
существует строго положительная измеримая функция, интеграл которой конечен. Это означает, что для всех и. ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle f (x)gt; 0}$ ${\ displaystyle f (x)gt; 0}$ ${\ displaystyle x \ in X}$ $х \ в Х$ ${\ Displaystyle \ int е (х) \ му (\ mathrm {d} х) lt;\ infty}$ ${\ Displaystyle \ int е (х) \ му (\ mathrm {d} х) lt;\ infty}$

Если - -конечная мера, пространство с мерой называется -конечной мерой. ${\ displaystyle \ mu}$ $\ му$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$

Примеры

Мера Лебега

Например, мера Лебега на действительных числах не конечна, но σ-конечна. Действительно, рассмотрим интервалы [ k, k + 1) для всех целых k ; таких интервалов счетно много, каждый имеет меру 1, а их объединение - это целая вещественная линия.

Счетная мера

В качестве альтернативы рассмотрите действительные числа с помощью счетной меры ; мера любого конечного множества - это количество элементов в множестве, а мера любого бесконечного множества - бесконечность. Эта мера не является σ -конечной, потому что каждое множество с конечной мерой содержит только конечное число точек, и потребовалось бы несчетное количество таких множеств, чтобы покрыть всю действительную прямую. Но, множество натуральных чисел с считающей мерой является σ -конечным. ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb N$

Локально компактные группы

Локально компактные группы, которые являются σ-компактно в σ-конечные под мерой Хаара. Например, все связные локально компактные группы G σ-компактны. Чтобы убедиться в этом, пусть V - относительно компактная, симметричная (то есть V = V ⁻¹) открытая окрестность единицы. потом

{\ Displaystyle H = \ bigcup _ {п \ in \ mathbb {N}} V ^ {n}}

H = \ bigcup_ {n \ in \ mathbb {N}} V ^ n

открытая подгруппа группы G. Следовательно, H также замкнуто, поскольку его дополнение является объединением открытых множеств и в силу связности G должно быть самой G. Таким образом, все связные группы Ли σ-конечны относительно меры Хаара.

Отрицательные примеры

Любая нетривиальная мера, принимающая только два значения 0 и явно не σ-конечная. Один пример: для всех, если и только если A не пусто; другой: для всех, если и только если A несчетно, 0 в противном случае. Между прочим, оба они трансляционно-инвариантны. ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ${\ Displaystyle А \ подмножество \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle А \ подмножество \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ му (А) = \ infty}$ ${\ Displaystyle \ му (А) = \ infty}$ ${\ Displaystyle А \ подмножество \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle А \ подмножество \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ му (А) = \ infty}$ ${\ Displaystyle \ му (А) = \ infty}$

Характеристики

Класс σ-конечных мер обладает некоторыми очень удобными свойствами; В этом отношении σ-конечность можно сравнить с отделимостью топологических пространств. Некоторые теоремы анализа требуют в качестве гипотезы σ-конечности. Обычно, как теорема Радона-Никодима и Фубини теоремы формулируются в предположении о сг-конечностью о мерах, участвующих. Однако, как показано в статье Сигала «Эквивалентность пространств с мерой» ( Am. J. Math. 73, 275 (1953)), они требуют только более слабого условия, а именно локализуемости.

Хотя меры, которые не являются σ -конечными, иногда рассматриваются как патологические, на самом деле они возникают вполне естественно. Например, если Х представляет собой метрическое пространство из Хаусдорфа размерности г, то все меньшей размерности меры хаусдорфовы не являются σ-конечной, если рассматривать в качестве мер по X.

Эквивалентность вероятностной мере

Любая σ-конечная мера μ на пространстве X является эквивалентом к вероятностной меры на X: пусть V п, п ∈ N, быть покрытие X с помощью попарно непересекающихся измеримых множеств конечной μ - мера, и пусть ш п, п ∈ N, - последовательность положительных чисел (весов) такая, что

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} w_ {n} = 1.}

\ sum_ {n = 1} ^ \ infty w_n = 1.

Мера ν, определяемая формулой

{\ displaystyle \ nu (A) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} w_ {n} {\ frac {\ mu \ left (A \ cap V_ {n} \ right)} {\ mu \ слева (V_ {n} \ right)}}}

{\ displaystyle \ nu (A) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} w_ {n} {\ frac {\ mu \ left (A \ cap V_ {n} \ right)} {\ mu \ слева (V_ {n} \ right)}}}

тогда является вероятностной мерой на X с точно такими же нулевыми множествами, что и μ.

Связанные понятия

Умеренные меры

Мера Борель (в смысле локально конечной мера на Борель алгебре) называется умеренной мера тогда и только тогда есть в большинстве счетного числа открытых множеств с для всех и. ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ му$ ${\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$ ${\ Displaystyle \ му \ влево (A_ {я} \ вправо) lt;\ infty}$ ${\ Displaystyle \ му \ влево (A_ {я} \ вправо) lt;\ infty}$ ${\ displaystyle i}$ $я$ ${\ Displaystyle \ bigcup _ {я = 1} ^ {\ infty} A_ {я} = X}$ ${\ Displaystyle \ bigcup _ {я = 1} ^ {\ infty} A_ {я} = X}$

Всякая умеренная мера является -конечной мерой, обратное неверно. ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$

Разложимые меры

Мера называется разложимой мерой, для которой существуют непересекающиеся измеримые множества с для всех и. Обратите внимание, что для разложимых мер нет ограничения на количество измеримых множеств с конечной мерой. ${\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ Displaystyle \ му \ влево (A_ {я} \ вправо) lt;\ infty}$ ${\ Displaystyle \ му \ влево (A_ {я} \ вправо) lt;\ infty}$ ${\ displaystyle i \ in I}$ $я \ в я$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {я \ in I} A_ {i} = X}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {я \ in I} A_ {i} = X}$

Каждая -конечная мера является разложимой мерой, обратное неверно. ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$

s-конечные меры

Мера называется s-конечной мерой, если она является суммой не более чем счетного числа конечных мер. ${\ displaystyle \ mu}$ $\ му$

Каждая σ-конечная мера s-конечна, обратное неверно. Для доказательства и контрпримера см. S-конечная мера # Связь с σ-конечными мерами.

Смотрите также

Аддитивность сигмы

использованная литература

^ Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей. Берлин: Springer. п. 12. DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
^ ^a ^b Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Шпрингер. п. 21. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
^ Аносов, Д.В. (2001) [1994], "Измерение пространства", Энциклопедия математики, EMS Press
^ Elstrodt, Jürgen (2009). Maß- und Integrationstheorie [ Теория меры и интегрирования ] (на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. п. 313. DOI : 10.1007 / 978-3-540-89728-6. ISBN 978-3-540-89727-9.
^ Elstrodt, Jürgen (2009). Maß- und Integrationstheorie [ Теория меры и интегрирования ] (на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. п. 318. DOI : 10.1007 / 978-3-540-89728-6. ISBN 978-3-540-89727-9.