Формула Коши – Бине

В математике, в частности в линейной алгебре, Коши– Формула Бине, названная в честь Огюстена-Луи Коши и Жака Филиппа Мари Бине, является тождеством для определителя произведение двух прямоугольных матриц транспонированных форм (так, чтобы произведение было четко определенным и квадратным ). Он обобщает утверждение, что определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей. Формула действительна для матриц с элементами из любого коммутативного кольца .

• 1 Утверждение
• 2 Особые случаи
  • 2.1 В случае n = 3
• 3 Простое доказательство
• 4 Доказательство
• 5 Связь с обобщенной дельтой Кронекера
• 6 Геометрические интерпретации
• 7 Обобщение
• 8 Непрерывная версия
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Пусть A - матрица размера m × n, а B - матрица размера n × m. Запишите [n] для набора {1,..., n} и $([n]\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{[n]\}\; \{m\}\}\}$для набор m- комбинаций из [n] (т. е. подмножеств размера m; есть $(nm)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{m\}\}\}$ из них). Для $S\; \in \; ([n]\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; in\; \{\backslash \; tbinom\; \{[n]\}\; \{m\}\}\}$, запишите A [m], S для матрицы размера m × m, столбцы которой являются столбцами матрицы A с индексами из S, и B S, [m] для матрицы размера m × m, строки которой являются строками матрицы B с индексами из S. Тогда формула Коши – Бине утверждает, что

$det\; (AB)\; =\; \sum \; S\; \in \; ([n]\; m)\; det\; (A\; [m],\; S)\; det\; (BS,\; [m]).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (AB)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{S\; \backslash \; in\; \{\backslash \; tbinom\; \{[n]\}\; \{m\}\}\}\; \backslash \; det\; (A\; \_\; \{[m],\; S\})\; \backslash \; det\; (B\_\; \{S,\; [m\; ]\}).\}$

Пример: m = 2 и n = 3 и матрицы $A\; =\; (1\; 1\; 2\; 3\; 1\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 1\; 2\; \backslash \backslash \; 3\; 1\; -1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$и $B\; =\; (1\; 1\; 3\; 1\; 0\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 3\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 2\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$формула Коши – Бине дает определитель

$det\; (AB)\; =\; |\; 1\; 1\; 3\; 1\; |\; \cdot \; |\; 1\; 1\; 3\; 1\; |\; +\; |\; 1\; 2\; 1\; -\; 1\; |\; \cdot \; |\; 3\; 1\; 0\; 2\; |\; +\; |\; 1\; 2\; 3\; -\; 1\; |\; \cdot \; |\; 1\; 1\; 0\; 2\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (AB)\; =\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 3\; 1\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 3\; 1\; \backslash \; end\; \{matrix\; \}\}\; \backslash \; right\; |\; +\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; 2\; \backslash \backslash \; 1\; -1\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 3\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 2\; \backslash \; end\; \{matrix\}\; \}\; \backslash \; right\; |\; +\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; 2\; \backslash \backslash \; 3\; -1\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 2\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; |.\}$

Действительно $AB\; =\; (4\; 6\; 6\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 4\; 6\; \backslash \backslash \; 6\; 2\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$, и его определитель равен $-\; 28\; \{\backslash \; displaystyle\; -28\}$, что равно $-\; 2\; \times \; -\; 2\; +\; -\; 3\; \times \; 6\; +\; -\; 7\; \times \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -2\; \backslash \; times\; -2+\; -3\; \backslash \; times\; 6\; +\; -7\; \backslash \; times\; 2\}$из правой части формулы.

Если n ([n] m) {\ displaystyle {\ tbinom {[n]} {m}}}- пустое множество, и формула говорит, что det (AB) = 0 (его правая часть - пустая сумма ); действительно, в этом случае ранг матрицы AB размером m × m не больше n, что означает, что ее определитель равен нулю. Если n = m, случай, когда A и B - квадратные матрицы, $([n]\; m)\; =\; \{[n]\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{[n]\}\; \{m\}\}\; =\; \backslash \; \{[n\; ]\; \backslash \}\}$(одноэлементный набор), поэтому сумма включает только S = [n], а формула утверждает, что det (AB) = det (A) det (B).

Для m = 0, A и B - пустые матрицы (но другой формы, если n>0), как и их произведение AB; суммирование включает один член S = Ø, а формула утверждает, что 1 = 1, причем обе стороны задаются определителем матрицы 0 × 0. Для m = 1 суммирование ведется по коллекции $([n]\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{[n]\}\; \{1\}\}\}$из n различных синглтонов, взятых из [ n], и обе части формулы дают $\sum \; j\; =\; 1\; n\; A\; 1,\; j\; B\; j,\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; A\_\; \{1,\; j\}\; B\_\; \{j,\; 1\}\}$, скалярное произведение пары векторов, представленных матрицами. Наименьшее значение m, для которого формула утверждает нетривиальное равенство, равно m = 2; это обсуждается в статье о тождестве Бине – Коши.

В случае n = 3

Пусть $a,\; b,\; c,\; d,\; x,\; y,\; z,\; w\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{a\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{b\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{c\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{d\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{y\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{z\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{w\}\}\}$- трехмерные векторы.

$1 = 1 (m = 0) a ⋅ x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 (m = 1) | а ⋅ х а ⋅ у б ⋅ х б ⋅ у | = | а 2 а 3 б 2 б 3 | | х 2 у 2 х 3 у 3 | + | а 3 а 1 б 3 б 1 | | х 3 у 3 х 1 у 1 | + | а 1 а 2 б 1 б 2 | | х 1 у 1 х 2 у 2 | = (a × b) ⋅ (x × y) (m = 2) | a x a ⋅ y a ⋅ z b ⋅ x b ⋅ y b ⋅ z c ⋅ x c ⋅ y c ⋅ z | = | а 1 а 2 а 3 б 1 б 2 б 3 в 1 в 2 в 3 | | x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 | = [a ⋅ (b × c)] [x ⋅ (y × z)] (m = 3) | a x a ⋅ y a ⋅ z a ⋅ w b ⋅ x b ⋅ y b ⋅ z b ⋅ w c ⋅ x c ⋅ y c z c ⋅ w d ⋅ x d ⋅ y d ⋅ z d ⋅ w ​​| Знак равно 0 (м = 4) {\ displaystyle {\ begin {align} 1 = 1 (m = 0) \\ [10pt] {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} = a_ {1 } x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + a_ {3} x_ {3} (m = 1) \\ [10pt] {\ begin {vmatrix} {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {y}} \\ {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsymbol {y}} \ end {vmatrix}} \\ [4pt] = {} {\ begin {vmatrix} a_ {2} a_ {3} \\ b_ {2} b_ {3} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} x_ {2} y_ {2} \\ x_ {3} y_ {3} \ end {vmatrix}} + {\ begin {vmatrix} a_ {3} a_ {1} \ \ b_ {3} b_ {1} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} x_ {3} y_ {3} \\ x_ {1} y_ {1} \ end {vmatrix}} + {\ begin { vmatrix} a_ {1} a_ {2} \\ b_ {1} b_ {2} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} x_ {1} y_ {1} \\ x_ {2} y_ {2} \ end {vmatrix}} \\ [4pt] = {} ({\ boldsymbol {a}} \ times {\ boldsymbol {b}}) \ cdot ({\ boldsymbol {x}} \ times {\ boldsymbol {y }}) (m = 2) \\ [10pt] {\ begin {vmatrix} {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {y}} {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {z}} \\ {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsymbol {y}} и {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsymbol {z}} \\ {\ boldsymbol {c}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} {\ boldsymbol {c} } \ cdot {\ boldsymbol {y}} {\ boldsymbol {c}} \ cdot {\ boldsymbol {z}} \ end {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ { 3} \\ b_ {1} b_ {2} b_ {3} \\ c_ {1} c_ {2} c_ {3} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} x_ {1} y_ {1} z_ {1} \\ x_ {2} y_ {2} z_ {2} \\ x_ {3} y_ {3} z_ {3} \ end {vmatrix}} \\ [4pt] = {} [{\ boldsymbol {a}} \ cdot ({\ boldsymbol {b}} \ times {\ boldsymbol {c}})] [{\ boldsymbol {x}} \ cdot ({\ boldsymbol {y}} \ times {\ boldsymbol { z}})] (m = 3) \\ [10pt] {\ begin {vmatrix} {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} {\ boldsymbol {a}} \ cdot { \ boldsymbol {y}} {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {z}} {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {w}} \\ {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} и {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsymbol {y}} и {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsymbol {z}} {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsymbol {w}} \\ {\ boldsymbol {c}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} {\ boldsymbol {c}} \ cdot {\ boldsymbol {y}} {\ boldsymbol {c }} \ cdot {\ boldsymbol {z }} {\ boldsymbol {c}} \ cdot {\ boldsymbol {w}} \\ {\ boldsymbol {d}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} {\ boldsymbol {d}} \ cdot {\ boldsymbol {y}} {\ boldsymbol {d}} \ cdot {\ boldsymbol {z}} {\ boldsymbol {d}} \ cdot {\ boldsymbol {w}} \ end {vmatrix}} = 0 (m = 4) \ end {align}}}$

В случае m>3 правая часть всегда равна 0.

Следующее простое доказательство, представленное в, основано на два факта, которые можно доказать несколькими способами:

1. для любого $1\; \le \; k\; \le \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; leq\; k\; \backslash \; leq\; n\}$коэффициент при $zn\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; ^\; \{nk\}\}$в полиноме $det\; (z\; I\; n\; +\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (zI\_\; \{n\}\; +\; X)\}$равно сумма $k\; \times \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; times\; k\}$основных миноров $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.
2. Если $m\; \le \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; leq\; n\}$и $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$представляет собой матрицу $m\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; times\; n\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$an $n\; \times \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; m\}$матрица, тогда

$det\; (z\; I\; n\; +\; BA)\; =\; zn\; -\; m\; det\; (z\; I\; m\; +\; AB)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (zI\_\; \{n\}\; +\; BA)\; =\; z\; ^\; \{nm\; \}\; \backslash \; det\; (zI\_\; \{m\}\; +\; AB)\}$.

Теперь, если мы сравним коэффициент $zn\; -\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; ^\; \{nm\}\}$в уравнении $Det\; (Z\; I\; N\; +\; BA)\; =\; ZN\; -\; M\; Det\; (Z\; I\; M\; +\; AB)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Det\; (zI\_\; \{n\}\; +\; BA)\; =\; z\; ^\; \{nm\}\; \backslash \; det\; (zI\_\; \{m\}\; +\; AB)\}$, левая часть даст сумму основных миноров $BA\; \{\backslash \; displaystyle\; BA\}$, а правая часть даст постоянный член $det\; (Z\; я\; м\; +\; AB)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (zI\_\; \{m\}\; +\; AB)\}$, что просто $det\; (AB)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (AB)\}$, как утверждает формула Коши – Бине, т.е.

$det\; (AB)\; =\; \sum \; S\; \in \; ([n]\; m)\; det\; ((BA)\; S,\; S)\; =\; \sum \; S\; \in \; ([n]\; m)\; det\; (BS,\; [m])\; det\; (A\; [m],\; S)\; =\; \sum \; S\; \in \; ([n]\; m)\; det\; (A\; [m],\; S)\; det\; (BS,\; [m]).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; det\; (AB)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{S\; \backslash \; in\; \{\backslash \; tbinom\; \{[n]\}\; \{m\}\}\}\; \backslash \; det\; ((BA)\; \_\; \{S,\; S\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{S\; \backslash \; in\; \{\backslash \; tbinom\; \{[n]\}\; \{m\}\}\}\; \backslash \; det\; (B\_\; \{S,\; [m]\})\; \backslash \; det\; (A\; \_\; \{[m],\; S\})\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; \{\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{S\; \backslash \; in\; \{\backslash \; tbinom\; \{[n]\}\; \{m\}\}\}\; \backslash \; det\; (A\; \_\; \{[m],\; S\})\; \backslash \; det\; (B\_\; \{S,\; [m]\}).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Существуют различные виды доказательств, которые могут быть даны для формулы Коши-Бине. Приведенное ниже доказательство основано только на формальных манипуляциях и избегает использования какой-либо конкретной интерпретации детерминантов, которые могут быть приняты за определение формулы Лейбница. Используются только их полилинейность по строкам и столбцам и их свойство чередования (исчезновение при наличии одинаковых строк или столбцов); в частности, мультипликативное свойство определителей для квадратных матриц не используется, а скорее установлено (случай n = m). Доказательство справедливо для произвольных коммутативных колец коэффициентов.

Формула может быть доказана в два этапа:

1. использовать тот факт, что обе стороны полилинейны (точнее 2m-линейны) в строках A и столбцах B, чтобы свести к случаю, когда каждая строка A и каждый столбец B имеет только одну ненулевую запись, которая равна 1.
2. обрабатывает этот случай с помощью функций [m] → [n], которые соответственно отображают номера строк A к номеру столбца их ненулевой записи, а номера столбцов B к номеру строки их ненулевой записи.

На шаге 1 обратите внимание, что для каждой строки A или столбца B и для каждого m-комбинация S, значения det (AB) и det (A [m], S) det (B S, [m]) действительно линейно зависят от строки или столбец. Для последнего это непосредственно следует из полилинейности определителя; для первого необходимо дополнительно проверить, что использование линейной комбинации для строки A или столбца B, оставляя остальное без изменений, влияет только на соответствующую строку или столбец продукта AB и на ту же линейную комбинацию. Таким образом, можно вычислить обе стороны формулы Коши-Бине по линейности для каждой строки A, а затем также для каждого столбца B, записывая каждую из строк и столбцов как линейную комбинацию стандартных базисных векторов. Полученные в результате множественные суммирования огромны, но они имеют одинаковую форму для обеих сторон: соответствующие члены включают один и тот же скалярный множитель (каждый является произведением элементов A и B), и эти члены отличаются только тем, что включают два разных выражения в терминах постоянных матриц описанного выше вида, выражения которых должны совпадать согласно формуле Коши-Бине. Этим достигается сокращение первой ступени.

Конкретно, несколько суммирований можно сгруппировать в два суммирования: одно по всем функциям f: [m] → [n], которое для каждого индекса строки A дает соответствующий индекс столбца, и одно по всем функциям g : [m] → [n], что для каждого индекса столбца B дает соответствующий индекс строки. Матрицы, ассоциированные с f и g:

$L\; f\; =\; ((\delta \; f\; (i),\; j)\; i\; \in \; [m],\; j\; \in \; [n])\; и\; R\; g\; =\; ((\delta \; j,\; g\; (k))\; j\; \in \; [n],\; k\; \in \; [m])\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{f\}\; =\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; (\backslash \; delta\; \_\; \{f\; (i),\; j\})\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; [m],\; j\; \backslash \; in\; [n]\}\; \{\backslash \; bigr)\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; R\_\; \{g\}\; =\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; (\backslash \; delta\; \_\; \{j,\; g\; (k)\})\; \_\; \{j\; \backslash \; in\; [n\; ],\; k\; \backslash \; in\; [m]\}\; \{\backslash \; bigr)\}\}$

, где «$\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$» - это дельта Кронекера, а Формула Коши-Бине, которую нужно доказать, была переписана как

$\sum \; f:\; [m]\; \to \; [n]\; \sum \; g:\; [m]\; \to \; [n]\; p\; (f,\; g)\; det\; (L\; f\; R\; g)\; =\; \sum \; f:\; [m]\; \to \; [n]\; \sum \; g:\; [m]\; \to \; [n]\; p\; (f,\; g)\; \sum \; S\; \in \; ([n]\; m)\; det\; ((L\; f)\; [m],\; S)\; »det\; ((R\; g)\; S,\; [m]),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{f:\; [m]\; \backslash \; to\; [n]\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{g:\; [m]\; \backslash \; to\; [n]\}\; p\; (f,\; g)\; \backslash \; det\; (L\_\; \{f\}\; R\_\; \{g\})\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; \{\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{f:\; [m]\; \backslash \; to\; [n]\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{g:\; [m]\; \backslash \; to\; [n]\}\; p\; (f,\; g)\; \backslash \; sum\; \_\; \{S\; \backslash \; in\; \{\backslash \; tbinom\; \{[n]\}\; \{m\}\}\}\; \backslash \; det\; ((L\_\; \{f\})\; \_\; \{[m],\; S\})\; \backslash \; det\; ((R\_\; \{g\})\; \_\; \{S,\; [m]\}),\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где p (f, g) обозначает скалярный множитель $(\prod \; i\; =\; 1\; m\; A\; i,\; f\; (i))\; (\prod \; k\; =\; 1\; м\; B\; g\; (k)\; К)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; textstyle\; (\backslash \; prod\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; A\_\; \{я,\; f\; (я)\})\; (\backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; B\_\; \{g\; (k),\; k\})\}$. Осталось доказать формулу Коши – Бине для A = L f и B = R g для всех f, g: [m] → [n].

Для этого шага 2, если не может быть инъективным, тогда L f и L fRgимеют две идентичные строки, и если g не может быть инъективным, то R g и L fRgимеют два идентичных столбца; в любом случае обе части тождества равны нулю. Предположим теперь, что и f, и g являются инъективными отображениями [m] → [n], множитель $det\; ((L\; f)\; [m],\; S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; ((L\_\; \{f\})\; \_\; \{[\; m],\; S\})\}$справа равно нулю, если только S = f ([m]), а коэффициент $det\; ((R\; g)\; S,\; [m])\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; ((R\_\; \{g\})\; \_\; \{S,\; [m]\})\}$равно нулю, если S = ​​g ([m]). Таким образом, если изображения f и g различны, правая часть имеет только нулевые члены, а левая часть также равна нулю, поскольку L fRgимеет нулевую строку (для i с $f\; (i)\; \notin \; г\; ([м])\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (я)\; \backslash \; notin\; г\; ([м])\}$). В оставшемся случае, когда образы f и g совпадают, скажем, f ([m]) = S = g ([m]), нам нужно доказать, что

$det\; (L\; f\; R\; g)\; =\; det\; (\; (L\; f)\; [m],\; S)\; det\; ((R\; g)\; S,\; [m]).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (L\_\; \{f\}\; R\_\; \{g\})\; =\; \backslash \; det\; ((L\_\; \{f\})\; \_\; \{[m],\; S\})\; \backslash \; det\; ((R\_\; \{g\})\; \_\; \{S,\; [m]\; \}).\; \backslash ,\}$

Пусть h - единственная возрастающая биекция [m] → S, а π, σ - перестановки [m] такие, что $f\; =\; h\; \circ \; \pi \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; h\; \backslash \; circ\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; 1\}\}$и $g\; =\; h\; \circ \; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; h\; \backslash \; circ\; \backslash \; sigma\}$; тогда $(L\; f)\; [m],\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; (L\_\; \{f\})\; \_\; \{[m],\; S\}\}$- это матрица перестановок для π, $(R\; g)\; S,\; [m]\; \{\backslash \; displaystyle\; (R\_\; \{g\})\; \_\; \{S,\; [m]\}\}$- матрица перестановок для σ, а L fRg- матрица перестановок для $\pi \; \circ \; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash \; circ\; \backslash \; sigma\}$, и поскольку определитель матрицы перестановок равен сигнатуре перестановки, тождество следует от того, что подписи мультипликативны.

Использование полилинейности как по строкам A, так и по столбцам B в доказательстве не требуется; можно использовать только один из них, скажем, первый, и использовать, что матричное произведение L f B либо состоит из перестановки строк B f ([m]), [m] (если f инъективно) или имеет как минимум две равные строки.

Как мы видели, формула Коши – Бине эквивалентна следующему:

$det\; (L\; f\; R\; g)\; =\; \sum \; S\; \in \; ([\; п]\; м)\; det\; ((L\; е)\; [м],\; S)\; det\; ((R\; g)\; S,\; [м]),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (L\_\; \{f\}\; R\_\; \{g\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{S\; \backslash \; in\; \{\backslash \; tbinom\; \{[n]\}\; \{m\}\}\}\; \backslash \; det\; ((L\_\; \{f\})\; \_\; \{[m],\; S\})\; \backslash \; det\; ((R\_\; \{g\})\; \_\; \{S,\; [m]\}),\}$

где

$L\; f\; =\; ((\delta \; f\; (i),\; j)\; i\; \in \; [m],\; j\; \in \; [n])\; и\; R\; g\; =\; ((\delta \; j,\; g\; (k))\; j\; \in \; [n],\; k\; \in \; [m]).\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{f\}\; =\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; (\backslash \; delta\; \_\; \{f\; (i),\; j\})\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; [m],\; j\; \backslash \; in\; [n]\}\; \{\backslash \; bigr)\}\; \backslash \; quad\; \{\; \backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; R\_\; \{g\}\; =\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; (\backslash \; delta\; \_\; \{j,\; g\; (k)\})\; \_\; \{j\; \backslash \; in\; [n],\; k\; \backslash \; in\; [m]\}\; \{\backslash \; bigr)\}.\}$

В терминах обобщенной дельты Кронекера, мы можем вывести формулу, эквивалентную формуле Коши – Бине:

Если A - вещественная матрица размера m × n, то det (AA) равен квадрат m-мерного объема параллелоэдра, натянутого в R на m строк формулы А. Бине, утверждает, что это равно сумме квадратов возникающих объемов если параллелепипед ортогонально проецируется на m-мерные координатные плоскости (из которых есть $(нм)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{m\}\}\}$).

В случае m = 1 параллелоэдр сводится к одному вектору, а его объем равен его длине. В приведенном выше утверждении говорится, что квадрат длины вектора - это сумма квадратов его координат; это действительно так, поскольку определение этой длины основано на теореме Пифагора.

Формула Коши – Бине может быть расширена простым способом к общей формуле для миноров произведения двух матриц. Контекст для формулы приведен в статье миноры, но идея состоит в том, что и формула для обычного умножения матриц, и формула Коши-Бине для Определитель произведения двух матриц являются частными случаями следующего общего утверждения о минорах произведения двух матриц. Предположим, что A - это матрица размера m × n, B - матрица размера n × p, I - подмножество из {1,..., m} с k элементами, а J - подмножество {1,..., p} с k элементами. Тогда

$[AB]\; I,\; J\; =\; \sum \; K\; [A]\; I,\; K\; [B]\; K,\; J\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; mathbf\; \{AB\}]\; \_\; \{I,\; J\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{K\}\; [\backslash \; mathbf\; \{A\}]\; \_\; \{I,\; K\}\; [\backslash \; mathbf\; \{B\}]\; \_\; \{K,\; J\}\; \backslash ,\}$

где сумма распространяется на все подмножества K из {1,..., n} с k элементы.

Непрерывная версия формулы Коши-Бине, известная как тождество Андрее-Гейне или тождество Андрее, обычно появляется случайно матричная теория. Он формулируется следующим образом: пусть $\{fj\; (x)\}\; j\; =\; 0\; N\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{f\_\; \{j\}\; (x)\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{N-\; 1\}\}$и $\{gj\; (x)\}\; j\; =\; 0\; N\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{g\_\; \{j\}\; (x)\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{N-1\}\}$- две последовательности интегрируемых функций, поддерживаемых в $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$. Тогда

$\int \; I\; \cdots \; \int \; I\; det\; [fj\; -\; 1\; (xk)]\; j,\; k\; =\; 1\; N\; det\; [gj\; -\; 1\; (xk)]\; j,\; k\; =\; 1\; N\; dx\; 1\; \cdots \; dxn\; =\; det\; [\int \; I\; fj\; (\; x)\; gk\; (x)\; dx]\; j,\; k\; =\; 0\; N\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{I\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; int\; \_\; \{I\}\; \backslash \; det\; \backslash \; left\; [f\_\; \{j-1\}\; (x\_\; \{k\})\; \backslash \; right]\; \_\; \{j,\; k\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; det\; \backslash \; left\; [g\_\; \{j-1\}\; (x\_\; \{k\})\; \backslash \; right]\; \_\; \{j,\; k\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; dx\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; dx\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; det\; \backslash \; left\; [\backslash \; int\; \_\; \{I\}\; f\_\; \{j\}\; (x)\; g\_\; \{k\}\; (x)\; dx\; \backslash \; right]\; \_\; \{j,\; k\; =\; 0\}\; ^\; \{N-1\}.\}$

Forrester описывает, как восстановить обычную формулу Коши-Бине в качестве опровержения вышеуказанной идентичности.

• Джоэл Г. Бройда и С. Гилл Уильямсон (1989). Комплексное введение в линейную алгебру, §4.6 Теорема Коши-Бине, стр. 208–14, Аддисон-Уэсли ISBN 0-201-50065-5.
• Jin Ho Kwak Sungpyo Hong (2004) Линейная алгебра, 2-е издание, Пример 2.15, формула Бине-Коши, стр 66,7, Биркхойзер ISBN 0-8176-4294-3.
• I. Р. Шафаревич и А.О. Ремизов (2012) Линейная алгебра и геометрия, §2.9 (с. 68) и §10.5 (с. 377), Спрингер ISBN 978-3 -642-30993-9.
• мл. Мехта (2004) Случайные матрицы, 3-е изд., Эльзевье ISBN 9780120884094.

• Аарон Лов (2004) Краткое комбинаторное доказательство Формула Коши – Бине из Université du Québec à Montréal.
• Питер Дж. Форрестер (2018) Знакомьтесь: Андреев, Бордо, 1886, и Андреев, Харьков, 1882–83