Софибрация

В математике, в частности теории гомотопии, непрерывное отображение

$i:\; A\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; двоеточие\; A\; \backslash \; to\; X\}$,

, где A и X являются топологическими пространствами, является кофибрацией, если она удовлетворяет свойство гомотопического расширения по отношению ко всем пространствам Y. Это определение двойственно определению расслоения, которое требуется для удовлетворения свойства гомотопического подъема по отношению ко всем пространствам. Эта двойственность неофициально упоминается как двойственность Экмана – Хилтона.

Более общее понятие кофибрации развито в теории модельных категорий.

• 1 Основные теоремы
• 2 Примеры
• 3 Обсуждение
• 4 Ссылки

• Для пространств Хаусдорфа каждое кофослоение является замкнутым включением (инъективным с замкнутым образом); результат также обобщается на слабые хаусдорфовы пространства.
• . выталкивание кофибрации является кофибрацией. То есть, если $g:\; A\; \to \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; двоеточие\; A\; \backslash \; to\; B\}$- любая (непрерывная) карта (между компактно сгенерированными пространствами) и $i:\; A\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; двоеточие\; A\; \backslash \; to\; X\}$- это совместная вибрация, тогда индуцированная карта $B\; \to \; B\; \cup \; g\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; to\; B\; \backslash \; cup\; \_\; \{g\}\; X\}$- это совместная вибрация.
• Цилиндр отображения можно понимать как выталкивание $i:\; A\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; двоеточие\; A\; \backslash \; в\; X\; \}$и встраивание (на одном конце единичного интервала) $i\; 0:\; A\; \to \; A\; \times \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; i\_\; \{0\}\; \backslash \; двоеточие\; от\; A\; \backslash \; до\; A\; \backslash \; times\; I\}$. То есть цилиндр отображения можно определить как $M\; i\; =\; X\; \cup \; i\; (A\; \times \; I)\; \{\backslash \; displaystyle\; Mi\; =\; X\; \backslash \; cup\; \_\; \{i\}\; (A\; \backslash \; times\; I)\}$. Согласно универсальному свойству выталкивания, $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$является совмещением именно тогда, когда цилиндр отображения может быть построен для каждого пространства X.
• Каждая карта может быть заменена совместной вибрацией с помощью конструкции цилиндра отображения . То есть для произвольного (непрерывного) отображения $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; Y\}$(между компактно сгенерированными пространствами) определяется цилиндр отображения

$M\; е\; знак\; равно\; Y\; \cup \; е\; (X\; \times \; I)\; \{\backslash \; displaystyle\; Mf\; =\; Y\; \backslash \; cup\; \_\; \{f\}\; (X\; \backslash \; times\; I)\}$.

Затем разлагается $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в композицию кофибрации и гомотопической эквивалентности. То есть $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$можно записать как карту

$X\; \to \; j\; M\; f\; \to \; r\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{j\}\}\; Mf\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{r\}\}\; Y\}$

с $f\; =\; rj\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; rj\}$, когда $j:\; x\; \mapsto \; (x,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; двоеточие\; x\; \backslash \; mapsto\; (x,\; 0)\}$- включение, а $r:\; y\; \mapsto \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; двоеточие\; y\; \backslash \; mapsto\; y\}$на $Y\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; Y\}$и $r:\; (x,\; s)\; \mapsto \; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; двоеточие\; (x,\; s)\; \backslash \; mapsto\; f\; (x)\}$на $X\; \times \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; times\; I\}$.

• Существует кофибрация (A, X), если и только если есть втягивание из $X\; \times \; I\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; X\; \backslash \; times\; I\}$до $(A\; \times \; I)\; \cup \; (X\; \times \; \{0\})\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; times\; I)\; \backslash \; cup\; (X\; \backslash \; times\; \backslash \; \{0\; \backslash \})\}$, так как это выталкивание и, таким образом, индуцирует отображение на каждое видимое пространство на диаграмме.
• Аналогичные эквивалентности могут быть установлены для пар деформация-втягивание, и для соседних пар деформация-ретракт.

• Софибрации сохраняются der выталкивания и композиции, как можно видеть из определения через погоню за диаграммой.
• Часто используется факт, что клеточное включение является кофибрацией (так, например, если $(X,\; A)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; (X,\; A)\}$- пара CW, тогда $A\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; to\; X\}$- кофибрация). Это следует из предыдущего факта, поскольку $S\; n\; -\; 1\; \to \; D\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; to\; D\; ^\; \{n\}\}$является кофибрацией для каждого $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, а вытеснения - это карты склейки с $n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n-1\}$скелетом.

гомотопический копредел обобщает понятие кофибрации.

• Питер Мэй, «Краткий курс алгебраической топологии» : глава 6 определяет и обсуждает кофибрации, и они используются повсюду
• Рональд Браун, «Топология и группоиды» ; Глава 7 названа «Софибрации», и в ней есть много результатов, которых больше нигде не найти.