Длинная линия (топология)

редактировать

В топологии, то длинная линия (или Alexandroff линия) является топологическим пространством, несколько похож на прямой, но в определенном смысле «более». Он ведет себя локально так же, как реальная линия, но имеет другие крупномасштабные свойства (например, он не является ни Линделёфским, ни разделимым ). Следовательно, он служит одним из основных контрпримеров топологии. Интуитивно понятно, что обычная линия с действительными числами состоит из счетного числа сегментов линии, проложенных встык, тогда как длинная линия состоит из несчетного числа таких сегментов. ${\ displaystyle [0,1)}$ $[0,1)$

СОДЕРЖАНИЕ

1 Определение
2 свойства
3 p -адический аналог
4 Высшие измерения
5 См. Также
6 Ссылки

Определение

Замкнутая длиной луч определяются как декартово произведение от первого несчетного с полуинтервалом, оборудованной топологией порядка, который возникает из лексикографического порядка на. Открыт длинный луч получается из закрытого длинного луча путем удаления наименьший элемент ${\ displaystyle L}$ $L$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ ${\ displaystyle [0,1),}$ ${\ displaystyle [0,1),}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} \ times [0,1)}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} \ times [0,1)}$ ${\ displaystyle (0,0).}$ ${\ displaystyle (0,0).}$

Длинная линия получается путем объединения длинного луча в каждом направлении. Более строго, его можно определить как топологию порядка на непересекающемся объединении перевернутого открытого длинного луча («перевернутый» означает обратный порядок) и (не перевернутого) замкнутого длинного луча, полностью упорядоченного, позволяя точкам последнего быть больше, чем точки первого. В качестве альтернативы, возьмите две копии открытого длинного луча и идентифицируйте открытый интервал одного с таким же интервалом другого, но поменяв интервал в обратном порядке, то есть определите точку (где есть действительное число, такое что) одного с тем же интервалом. точку другого, и определите длинную линию как топологическое пространство, полученное путем склеивания двух открытых длинных лучей вдоль открытого интервала между ними. (Первая конструкция лучше в том смысле, что она определяет порядок на длинной линии и показывает, что топология является топологией порядка; вторая лучше в том смысле, что в ней используется склейка по открытому множеству, что более ясно с точки зрения топологии. точка зрения.) ${\ Displaystyle \ {0 \} \ раз (0,1)}$ ${\ Displaystyle \ {0 \} \ раз (0,1)}$ ${\ displaystyle (0, t)}$ ${\ displaystyle (0, t)}$ ${\ displaystyle t}$ $т$ ${\ Displaystyle 0 lt;т lt;1}$ ${\ Displaystyle 0 lt;т lt;1}$ ${\ displaystyle (0,1-t)}$ ${\ displaystyle (0,1-t)}$

Интуитивно замкнутый длинный луч похож на настоящую (замкнутую) полупрямую, за исключением того, что он намного длиннее в одном направлении: мы говорим, что он длинный с одного конца и замкнутый с другого. Открытый длинный луч похож на реальную линию (или, что эквивалентно, открытую полупрямую), за исключением того, что он намного длиннее в одном направлении: мы говорим, что он длинный на одном конце и короткий (открытый) на другом. Длинная линия длиннее настоящих в обоих направлениях: мы говорим, что она длинная в обоих направлениях.

Однако многие авторы говорят о «длинной линии» там, где мы говорили о (закрытом или открытом) длинном луче, и существует большая путаница между различными длинными промежутками. Однако во многих случаях использования или контрпримеров различие несущественно, потому что важной частью является «длинный» конец линии, и не имеет значения, что происходит на другом конце (будь то длинный, короткий или закрытый).

Родственная пространства, (закрытый) расширено длинный луч, получаются как одноточечная компактификация из присоединения дополнительного элемента к правому концу Аналогично можно определить расширенную длинную линию путем добавления двух элементов к длинной линии, по одному каждый конец. ${\ displaystyle L ^ {*},}$ ${\ displaystyle L ^ {*},}$ ${\ displaystyle L}$ $L$ ${\ displaystyle L.}$ $Л.$

Характеристики

Замкнутый длинный луч состоит из бесчисленного количества копий, склеенных встык. Сравните это с тем фактом, что для любого счетного порядкового склеивания копий дает пространство, которое все еще гомеоморфно (и изоморфно по порядку) (И если бы мы попытались склеить вместе больше, чем копии полученного пространства, больше не были бы локально гомеоморфны пространству).) ${\ Displaystyle L = \ omega _ {1} \ раз [0,1)}$ ${\ Displaystyle L = \ omega _ {1} \ раз [0,1)}$ ${\ displaystyle [0,1)}$ ${\ displaystyle [0,1)}$ ${\ displaystyle \ alpha.}$ $\ альфа.$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\альфа$ ${\ displaystyle [0,1)}$ ${\ displaystyle [0,1)}$ ${\ displaystyle [0,1).}$ ${\ displaystyle [0,1).}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ ${\ displaystyle [0,1),}$ ${\ displaystyle [0,1),}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Каждая возрастающая последовательность в сходится к пределу в ; это является следствием того факта, что (1) элементы являются счетными ординалами, (2) супремум каждого счетного семейства счетных ординалов является счетным ординалом и (3) каждая возрастающая и ограниченная последовательность действительных чисел сходится. Следовательно, не может быть строго возрастающей функции. Фактически, каждая непрерывная функция в конечном итоге постоянна. ${\ displaystyle L}$ $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ ${\ displaystyle L \ to \ mathbb {R}.}$ ${\ displaystyle L \ to \ mathbb {R}.}$ ${\ Displaystyle L \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle L \ to \ mathbb {R}}$

Как порядковые топологии (возможно, расширенные) длинные лучи и прямые являются нормальными хаусдорфовыми пространствами. Все они имеют ту же мощность, что и реальная линия, но «намного длиннее». Все они локально компактны. Ни один из них не является метризуемым ; это можно увидеть, поскольку длинный луч последовательно компактен, но не компактен, или даже Линделёфа.

(Нерасширенная) длинная леска или луч не паракомпактны. Он линейно связан, локально линейно связан и односвязен, но не стягивается. Это одномерное топологическое многообразие с краем в случае замкнутого луча. Он является первым счетным, но не вторым счетным и неотделимым, поэтому авторы, которым требуются последние свойства в своих многообразиях, не называют длинную линию многообразием.

Имеет смысл рассматривать все длинные пространства сразу, потому что каждое связное (непустое) одномерное (не обязательно сепарабельное ) топологическое многообразие, возможно, с краем, гомеоморфно либо окружности, либо отрезку, либо открытому отрезку (вещественной прямой), полуоткрытый интервал, закрытый длинный луч, открытый длинный луч или длинная линия.

Длинную прямую или луч можно снабдить структурой (неразделимого) дифференцируемого многообразия (с краем в случае замкнутого луча). Однако, в отличие от уникальной топологической структуры (топологически есть только один способ сделать реальную линию «длиннее» с обоих концов), дифференцируемая структура не уникальна: на самом деле существует несчетное количество ( если быть точным) попарно недиффеоморфные гладкие структуры на нем. Это резко контрастирует с реальной линией, где также есть разные гладкие структуры, но все они диффеоморфны стандартной. ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {1}}}$ $2 ^ {\ aleph_1}$

Длинную линию или луч можно даже снабдить структурой (реального) аналитического многообразия (с краем в случае замкнутого луча). Однако это намного сложнее, чем для дифференцируемого случая (это зависит от классификации (сепарабельных) одномерных аналитических многообразий, что труднее, чем для дифференцируемых многообразий). Опять же, любая данная структура может быть расширена бесконечно многими способами на различные (= аналитические) структуры (которые попарно не диффеоморфны как аналитические многообразия). ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {{\ infty}}$ ${\ displaystyle C ^ {\ omega}}$ ${\ displaystyle C ^ {\ omega}}$

Длинная линия или луч не могут быть снабжены римановой метрикой, которая индуцирует ее топологию. Причина в том, что римановы многообразия, даже без предположения паракомпактности, можно показать метризуемыми.

Увеличенный длинный луч является компактным. Это одноточечная компактификация замкнутого длинного луча, но это также и его компактификация Стоуна-Чеха, потому что любая непрерывная функция от (замкнутого или открытого) длинного луча до реальной прямой в конечном итоге постоянна. также соединен, но не связан по пути, потому что длинная линия «слишком длинна», чтобы ее можно было охватить путем, который представляет собой непрерывное изображение интервала. не является многообразием и не является первым счетным. ${\ Displaystyle L ^ {*}}$ $L ^ {*}$ ${\ displaystyle L,}$ $L,$ ${\ Displaystyle L ^ {*}}$ $L ^ {*}$ ${\ Displaystyle L ^ {*}}$ $L ^ {*}$

p -адический аналог

Существует p -адический аналог длинной линии, принадлежащий Джорджу Бергману.

Это пространство построено как возрастающее объединение несчетного направленного набора копий кольца p -адических целых чисел, индексированных счетным порядковым номером. Определите отображение из в любое время следующим образом: ${\ displaystyle X _ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle X _ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle \ gamma.}$ $\ гамма.$ ${\ displaystyle X _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle X _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle X _ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle X _ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle \ delta lt;\ gamma}$ ${\ displaystyle \ delta lt;\ gamma}$

Если является преемником, тогда карта от до является просто умножением на Для других карта от до является составом карты от до и карты от до ${\ displaystyle \ gamma}$ $\гамма$ ${\ displaystyle \ varepsilon +1}$ ${\ displaystyle \ varepsilon +1}$ ${\ displaystyle X _ {\ varepsilon}}$ ${\ displaystyle X _ {\ varepsilon}}$ ${\ displaystyle X _ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle X _ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle p.}$ $п.$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ дельта$ ${\ displaystyle X _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle X _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle X _ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle X _ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle X _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle X _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle X _ {\ varepsilon}}$ ${\ displaystyle X _ {\ varepsilon}}$ ${\ displaystyle X _ {\ varepsilon}}$ ${\ displaystyle X _ {\ varepsilon}}$ ${\ displaystyle X _ {\ gamma}.}$ ${\ displaystyle X _ {\ gamma}.}$
Если - предельный ординал, то прямой предел множеств для является счетным объединением p -адических шаров, поэтому может быть вложен в, поскольку с удаленной точкой также является счетным объединением p -адических шаров. Это определяет совместимые вложения в для всех ${\ displaystyle \ gamma}$ $\гамма$ ${\ displaystyle X _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle X _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle \ delta lt;\ gamma}$ ${\ displaystyle \ delta lt;\ gamma}$ ${\ displaystyle X _ {\ gamma},}$ ${\ displaystyle X _ {\ gamma},}$ ${\ displaystyle X _ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle X _ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle X _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle X _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle X _ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle X _ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle \ delta lt;\ gamma.}$ ${\ displaystyle \ delta lt;\ gamma.}$

Это пространство не компактно, но объединение любого счетного множества компактных подпространств имеет компактное замыкание.

Высшие измерения

Некоторые примеры непаракомпактных многообразий в более высоких измерениях включают многообразие Прюфера, произведения любого непаракомпактного многообразия на любое непустое многообразие, шар большого радиуса и т. Д. Теорема о волынке показывает, что существуют классы изоморфизма непаракомпактных поверхностей. ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {1}}}$ $2 ^ {\ aleph_1}$

Комплексных аналогов длинной линии не существует, поскольку каждая риманова поверхность паракомпактна, но Калаби и Розенлихт привели пример непаракомпактного комплексного многообразия комплексной размерности 2.

Смотрите также

использованная литература