Проективный модуль

редактировать

Прямое слагаемое бесплатного модуля (математика)

В математике, особенно в алгебра, класс из проективных модулей расширяет класс свободных модулей (то есть модулей с базисные векторы ) над кольцом , сохраняя некоторые из основных свойств свободных модулей. Ниже приведены различные эквивалентные характеристики этих модулей.

Каждый свободный модуль является проективным модулем, но обратное неверно для некоторых колец, таких как кольца Дедекинда, которые не являются областями главных идеалов. Однако каждый проективный модуль является свободным модулем, если кольцо является областью главных идеалов, такой как целые числа, или кольцо полиномов (это теорема Квиллена – Суслина ).

Проективные модули были впервые представлены в 1956 году во влиятельной книге «Гомологическая алгебра» Анри Картана и Сэмюэля Эйленберга.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Подъемное свойство
- 1.2 Точные последовательности
- 1.3 Прямые слагаемые свободных модулей
- 1.4 Точность
- 1.5 Двойной базис
2 Элементарные примеры и свойства
3 Связь с другими теоретико-модульными свойствами
- 3.1 Проективные и свободные модули
- 3.2 Проективные и плоские модули
4 Категория проективных модулей
5 Проективные разрешения
6 Проективные модули над коммутативными кольцами
- 6.1 Ранг
7 Векторные расслоения и локально свободные модули
8 Проективные модули над кольцом многочленов
9 См. также
10 Примечания
11 Ссылки

Определения

Подъемное свойство

Обычное теоретико-категориальное определение основано на свойстве подъема, которое переносится со свободных модулей на проективные: модуль P проективен тогда и только тогда, когда для eve Для сюръективного гомоморфизма модулей f: N ↠ M и любого гомоморфизма модулей g: P → M существует гомоморфизм модулей h: P → N такой, что f h = g. (Мы не требуем, чтобы подъемный гомоморфизм h был уникальным; это не универсальное свойство.)

Преимущество этого определения «проективного» в том, что оно может быть выполнено в категориях больше общие, чем категории модулей: нам не нужно понятие «свободный объект». Он также может быть дуализирован, что приводит к инъективным модулям. Свойство подъема также может быть перефразировано, поскольку каждый морфизм от $P {\ displaystyle P}$ $P$ до $M {\ displaystyle M}$ $M$ учитывает каждый эпиморфизм до $М {\ Displaystyle M}$ $M$ . Таким образом, по определению проективные модули - это в точности проективные объекты в категории R-модулей.

Точные последовательности

Модуль P проективен тогда и только тогда, когда каждая короткая точная последовательность модулей вида

0 → A → B → P → 0 {\ displaystyle 0 \ rightarrow A \ rightarrow B \ rightarrow P \ rightarrow 0}

{\ displaystyle 0 \ rightarrow A \ rightarrow B \ rightarrow P \ rightarrow 0}

- это последовательность точного разделения. То есть для каждого сюръективного гомоморфизма модулей f: B ↠ P существует отображение сечения, то есть гомоморфизм модулей h: P → B такой, что f h = id P. В этом случае h (P) является прямым слагаемым в B, h является изоморфизмом от P к h (P), а hf является проекцией на слагаемом h (P). Эквивалентно

B = Im ⁡ (h) ⊕ Ker ⁡ (f), где Ker ⁡ (f) ≅ A и Im ⁡ (h) ≅ P. {\ displaystyle B = \ operatorname {Im} (h) \ oplus \ operatorname {Ker} (f) \ \ {\ text {where}} \ operatorname {Ker} (f) \ cong A \ {\ text {and} } \ operatorname {Im} (h) \ cong P.}

{ \ displaystyle B = \ operatorname {Im} (h) \ oplus \ operatorname {Ker} (f) \ \ {\ text {where}} \ operatorname {Ker} (f) \ cong A \ {\ text {and}} \ operatorname {Im} (h) \ cong P.}

Прямые слагаемые свободных модулей

Модуль P проективен тогда и только тогда, когда существует другой модуль Q такой, что прямая сумма из P и Q - свободный модуль.

Точность

R-модуль P проективен тогда и только тогда, когда ковариантный функтор Hom (P, -): R- Mod → Abявляется точным функтором, где R- Mod - это категория левых R-модулей, а Ab - категория абелевых групп. Когда кольцо R является коммутативным, Ab предпочтительно заменяется на R-Mod в предшествующей характеристике. Этот функтор всегда точен слева, но, когда P проективен, он также точен справа. Это означает, что P проективен тогда и только тогда, когда этот функтор сохраняет эпиморфизмы (сюръективные гомоморфизмы) или если он сохраняет конечные копределы.

Двойной базис

Модуль P проективен тогда и только тогда, когда существует набор ${ai ∈ P ∣ i ∈ I} {\ displaystyle \ {a_ {i} \ in P \ mid я \ in I \}}$ $\ {a_ {i} \ in P \ mid i \ in I \}$ и набор ${fi ∈ H om (P, R) ∣ i ∈ I} {\ displaystyle \ {f_ {i} \ in \ mathrm {Hom} (P, R) \ mid i \ in I \}}$ $\ {f_ {i} \ in \ mathrm {Hom} (P, R) \ mid i \ in I \}$ такой, что для любого x в P, f i (x) отличен от нуля только для конечного числа i, и $x = ∑ fi (x) ai {\ displaystyle x = \ sum f_ {i} (x) a_ {i}}$ $x = \ sum f_ {i} (x) a_ {i}$ .

Элементарные примеры и свойства

Следующие свойства проективных модулей быстро выводятся из любого из приведенных выше (эквивалентных) определений проективных модулей:

Прямые суммы и прямые слагаемые проективных модулей проективны.
Если e = e является идемпотентом в кольцо R, то Re является проективным левым модулем над R.

Связь с другими теоретико-модульными свойствами

Отношение проективных модулей к свободным и плоским модулям включено в следующую диаграмму свойств модуля:

Слева направо соединения верны над любым кольцом, хотя некоторые авторы определяют модули без кручения только над доменом. Импликации справа налево верны для колец, маркирующих их. Могут быть и другие кольца, по которым они верны. Например, импликация, обозначенная как «локальное кольцо или PID», также верна для полиномиальных колец над полем: это теорема Квиллена – Суслина.

Проективные и свободные модули

Любой свободный модуль проективный. Обратное верно в следующих случаях:

, если R является полем или телеграфным полем : в этом случае любой модуль свободен.
если кольцо R - область главных идеалов. Например, это относится к R = Z (целые числа ), поэтому абелева группа является проективной тогда и только тогда, когда это свободная абелева группа. Причина в том, что любой подмодуль свободного модуля над областью главных идеалов свободен.
, если кольцо R является локальным кольцом. Этот факт лежит в основе интуиции «локально свободный = проективный». Этот факт легко доказать для конечно порожденных проективных модулей. В основном это связано с Капланским (1958) ; см. Теорема Капланского о проективных модулях.

В общем, проективные модули не обязательно должны быть свободными:

Над прямым произведением колец R × S, где R и S ненулевые кольца, оба R × 0 и 0 × S - несвободные проективные модули.
В области Дедекинда неглавный идеал всегда является проективным модулем, который не является свободным модулем.
Над кольцом матриц Mn(R) естественный модуль R проективен, но не свободен. В более общем смысле, над любым полупростым кольцом каждый модуль является проективным, но нулевой идеал и само кольцо являются единственными свободными идеалами.

Разница между свободными и проективными модулями заключается в в некотором смысле измеряется алгебраической группой K-теории K 0 (R), см. ниже.

Проективные и плоские модули

Каждый проективный модуль плоский. Обратное, в общем, неверно: абелева группа Q является Z -модулем, который является плоским, но не проективным.

И наоборот, конечно связанный плоский модуль является проективным.

Говоров (1965) и Лазар (1969) доказали, что модуль M плоский тогда и только тогда, когда он является прямым пределом из бесконечно генерируемых свободных модулей.

В общем, точное соотношение между плоскостностью и проективностью было установлено Рейно и Грусоном (1971) (см. Также Drinfeld (2006) и Braunling, Groechenig Wolfson (2016)), которые показали, что модуль M проективен тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующим условиям:

M плоский,
M - прямая сумма счетно порожденных модулей,
M удовлетворяет определенному условию типа Миттаг-Леффлера.

Категория проективных модулей

Подмодули проективных модулей не обязательно должны быть проективными; кольцо R, для которого каждый подмодуль проективного левого модуля является проективным.

Факторы проективных модулей также не обязательно должны быть проективными, например, Z / n является частным от Z, но не без кручения, следовательно, не плоский, и поэтому не проективный.

Категория конечно порожденных проективных модулей над кольцом - это точная категория. (См. Также алгебраическую K-теорию ).

Проективные разрешения

Для модуля M, проективное разрешение M является бесконечной точной последовательностью модулей

··· → P n → ··· → P 2 → P 1 → P 0 → M → 0,

со всеми проективными P i. Каждый модуль обладает проективной резольвентой. Фактически существует свободное разрешение (разрешение по свободным модулям ). Точная последовательность проективных модулей иногда может быть сокращена до P (M) → M → 0 или P • → M → 0. Классический пример проективной резольвенты дается комплексом Кошуля регулярной последовательности , которая представляет собой свободное разрешение идеальной, сгенерированной последовательностью.

Длина конечного разрешения - это нижний индекс n, такой, что P n отличен от нуля и P i = 0 для i больше n. Если M допускает конечную проективную резольвенту, минимальная длина среди всех конечных проективных резольвент M называется его проективной размерностью и обозначается pd (M). Если M не допускает конечной проективной резольвенты, то по соглашению проективная размерность называется бесконечной. В качестве примера рассмотрим модуль M такой, что pd (M) = 0. В этой ситуации точность последовательности 0 → P 0 → M → 0 означает, что стрелка в центре является изоморфизмом., и, следовательно, само M является проективным.

Проективные модули над коммутативными кольцами

Проективные модули над коммутативными кольцами обладают хорошими свойствами.

локализация проективного модуля - это проективный модуль над локализованным кольцом. Проективный модуль над локальным кольцом свободен. Таким образом, проективный модуль является локально свободным (в том смысле, что его локализация в каждом первичном идеале свободна над соответствующей локализацией кольца).

Обратное верно для конечно порожденных модулей над нётеровых колец : конечно порождённый модуль над коммутативным нётеровым кольцом локально свободен тогда и только тогда, когда он проективен.

Однако есть примеры конечно порожденных модулей над нётеровым кольцом, которые локально свободны и не проективны. Например, булево кольцо имеет все его локализации, изоморфные F2, полю из двух элементов, поэтому любой модуль над булевым кольцом локально свободен, но есть некоторые непроективные модули над булевыми кольца. Одним из примеров является R / I, где R - прямое произведение счетного числа копий F2, а I - прямая сумма счетного числа копий F2внутри R. R-модуль R / I локально свободен, поскольку R является логическим (и он конечно порождается как R-модуль, с остовным множеством размера 1), но R / I не является проективным, потому что I не является главным идеалом. (Если фактор-модуль R / I для любого коммутативного кольца R и идеала I является проективным R-модулем, то I является главным.)

Однако верно, что для конечно представимых модулей M над коммутативным кольцом R (в частности, если M - конечно порожденный R-модуль, а R нётеров), следующие условия эквивалентны:

$M {\ displaystyle M}$ $M$ плоский.
$M {\ displaystyle M}$ $M$ является проективным.
$M m {\ displaystyle M _ {\ mathfrak {m}}}$ $M _ {\ mathfrak {m}}$ свободно как $R m {\ displaystyle R _ {\ mathfrak {m}}}$ $R _ {\ mathfrak {m}}$ -модуль для каждого максимального идеального $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ из R.
$M p {\ displaystyle M _ {\ mathfrak {p}}}$ $M _ {\ mathfrak {p}}$ свободен как $R p {\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$ $R _ {\ mathfrak {p}}$ -модуль для каждого простого числа идеальный $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ of R.
Существуют $f 1,…, fn ∈ R {\ displaystyle f_ {1 }, \ ldots, f_ {n} \ in R}$ $f_ {1}, \ ldots, f_ {n} \ in R$ генерируя единичный идеал, такой что $M [fi - 1] {\ displaystyle M [f_ {i} ^ {- 1}]}$ $M [ f_ {i} ^ {- 1}]$ свободен как $R [fi - 1] {\ displaystyle R [f_ {i} ^ {- 1}]}$ $R [f_ {i} ^ {- 1}]$ -модуль для каждого i.
$M ~ {\ displaystyle {\ widetilde {M}}}$ ${\ widetilde {M}}$ - это локально свободная связка на $Spec ⁡ R {\ displaystyle \ operatorname {Spec} R}$ $\ operatorname {Spec} R$ (где $M ~ {\ displaystyle {\ widetilde {M}}}$ ${\ widetilde {M}}$ - пучок , связанный с M.)

Более того, если R - нётерова область целостности, то по леммы Накаямы, эти условия эквивалентны

Размерность $k (p) {\ displaystyle k ({\ mathfrak {p}})}$ $k ({\ mathfrak {p}})$ - векторное пространство $M ⊗ р К (p) {\ displaystyle M \ otimes _ {R} k ({\ mathfrak {p}})}$ $M \ otimes _ {R} k ({\ mathfrak {p}})$ одинаков для всех простых идеалов $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ of R, где $k (p) {\ displaystyle k ({\ mathfrak {p}})}$ $k ({\ mathfrak {p}})$ - поле остатка в $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ . Другими словами, M имеет постоянный ранг (как определено ниже).

Пусть A - коммутативное кольцо. Если B является (возможно, некоммутативной) A-алгеброй, которая является конечно порожденным проективным A-модулем, содержащим A в качестве подкольца, то A является прямым фактором B.

Rank

Пусть P - конечно порожденный проективный модуль над коммутативным кольцом R, а X - спектр кольца R. Ранг P в простом идеале $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ в X - это ранг бесплатного $R p {\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$ $R _ {\ mathfrak {p}}$ -module $P p {\ displaystyle P _ {\ mathfrak {p}}}$ $P _ {\ mathfrak {p}}$ . Это локально постоянная функция на X. В частности, если X связно (то есть, если R не имеет других идемпотентов, кроме 0 и 1), то P имеет постоянный ранг.

Векторные расслоения и локально свободные модули

Основная мотивация теории состоит в том, что проективные модули (по крайней мере, над некоторыми коммутативными кольцами) являются аналогами векторных расслоений. Это можно уточнить для кольца непрерывных вещественнозначных функций на компакте хаусдорфовом пространстве, а также для кольца гладких функций на гладком многообразии (см. теорему Серра – Свана, которая утверждает, что конечно порожденный проективный модуль над пространством гладких функций на компактном многообразии является пространством гладких сечений гладкого векторного расслоения).

Векторные пакеты локально бесплатны. Если есть какое-то понятие «локализации», которое может быть перенесено на модули, такое как обычная локализация кольца, можно определить локально свободные модули, и тогда проективные модули обычно совпадают с локально свободными модули.

Проективные модули над кольцом многочленов

Теорема Квиллена – Суслина, которая решает проблему Серра, является еще одним глубоким результатом : если K является поле или, в более общем смысле, область главного идеала, и R = K [X 1,..., X n ] является кольцо полиномов над K, то всякий проективный модуль над R свободен. Эта проблема была впервые поднята Серром с полем K (и модулями, конечно порожденными). Басс решил это для неконечно порожденных модулей, а Квиллен и Суслин независимо друг от друга и одновременно рассмотрели случай конечно порожденных модулей.

Поскольку каждый проективный модуль над областью главных идеалов свободен, можно задать следующий вопрос: если R - коммутативное кольцо такое, что каждый (конечно порожденный) проективный R-модуль свободен, то каждый (конечно порожденный) проективный R [X] -модуль свободен? Ответ - нет. Встречается контрпример, когда R равно локальному кольцу кривой y = x в начале координат. Таким образом, теорема Квиллена-Суслина никогда не могла быть доказана простой индукцией по числу переменных.

См. Также

В Викиучебнике Коммутативная алгебра есть страница по теме: Плоские, проективные и свободные модули без кручения

Примечания

^Хазевинкель; и другие. (2004). Следствие 5.4.5. п. 131.
^Хазевинкель; и другие. (2004). Замечание после следствия 5.4.5. Стр. 131–132.
^Cohn 2003, следствие 4.6.4 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFCohn2003 (help )
^Модуль, изоморфный проективному модулю, конечно, проективен.
^Упражнения 4.11 и 4.12 и следствие 6.6 Дэвида Эйзенбуда, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, GTM 150, Springer-Verlag, 1995. Кроме того, Милн 1980
^То есть $k (p) = R п / п р п {\ Displaystyle к ({\ mathfrak {p}}) = R _ {\ mathfrak {p}} / {\ mathfrak {p}} R _ {\ mathfrak {p}}}$ $k ({\ mathfrak {p}}) = R _ {\ mathfrak {p}} / {\ mathfrak {p}} R _ {\ mathfrak {p} }$ - поле вычетов локального кольца $R p {\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$ $R _ {\ mathfrak {p}}$ .
^Bourbaki, Algèbre commutative 1989, Ch II, §5, Exercise 4 harvnb error: no target : CITEREFBourbaki, _Algèbre_commutative1989 (help )

Ссылки

Уильям А. Адкинс; Стивен Х. Вайнтрауб (1992). Алгебра: подход через теорию модулей. Springer. Раздел 3.5.
Иэн Т. Адамсон (1972). Элементарные кольца и модули. Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. ISBN 0-05-002192-3.
Николас Бурбаки, Коммутативная алгебра, гл. II, §5
Браунлинг, Оливер; Groechenig, Майкл; Вольфсон, Джесси (2016), «Объекты Тейт в точных категориях», Моск. Математика. J., 16 (3), arXiv : 1402.4969v4, doi : 10.17323 / 1609-4514-2016- 16-3-433-504, MR 3510209
Пол М. Кон (2003). Дальнейшая алгебра и приложения. Springer. ISBN 1-85233-667-6.
Владимир Дринфельд (2006), «Бесконечномерные векторные расслоения в алгебраической геометрии: введение», в книге Павла Этингофа; Владимир Ретах; И. М. Сингер (ред.), Единство математики, Birkhäuser Boston, стр. 263–304, arXiv : math / 0309155v4, doi : 10.1007 / 0-8176-4467-9_7, ISBN 978-0-8176-4076-7, MR 2181808
Говоров В.Е. (1965), «О плоских модулях. (Русский) », Сибирская математика. J., 6 : 300–304
Hazewinkel, Michiel ; ; (2004). Алгебры, кольца и модули. Springer Science. ISBN 978-1-4020-2690-4.
Каплански, Ирвинг (1958), «Проективные модули», Ann. of Math., 2, 68 (2): 372–377, doi : 10.2307 / 1970252, hdl : 10338.dmlcz / 101124, JSTOR 1970252, MR 0100017
Ланг, Серж (1993). Алгебра (3-е изд.). Эддисон – Уэсли. ISBN 0-201-55540-9.
Лазар, Д. (1969), "Autour de la platitude", Bulletin de la Société Mathématique de France, 97 : 81–128, doi : 10.24033 / bsmf.1675
Милн, Джеймс (1980). Этальные когомологии. Princeton Univ. Нажмите. ISBN 0-691-08238-3.
Дональд С. Пассман (2004) Курс теории колец, особенно глава 2 Проективные модули, стр. 13–22, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-3680-3.
Рейно, Мишель; Gruson, Laurent (1971), "Критерии банальности и проекции. Методы" platification "d'un module", Invent. Math., 13 : 1–89, Bibcode : 1971InMat..13.... 1R, doi : 10.1007 / BF01390094, MR 0308104
Пауло Рибенбойм (1969) Кольца и модули, §1.6 Проективные модули, стр. 19–24, Interscience Publishers.
Чарльз Вейбель, K-book: Введение в алгебраическую K-теорию