Войти
В алгебре модуль без кручения - это модуль над кольцом, так что ноль равен единственный элемент , аннигилированный с помощью обычного элемента (не делителя нуля ) кольца.
В областях целостности регулярные элементы кольца являются его ненулевыми элементами, поэтому в этом случае модуль без кручения - это такой модуль, что нуль является единственным элементом, аннулируемым некоторым ненулевым элемент кольца. Некоторые авторы работают только над областями целостности и используют это условие как определение модуля без кручения, но это не работает хорошо для более общих колец, поскольку, если кольцо содержит делители нуля, то единственный модуль, удовлетворяющий этому условию, - это нулевой модуль.
Над коммутативным кольцом R с полным факторкольцом K модуль M не имеет кручения тогда и только тогда, когда Tor 1 (K / R, M) исчезает. Поэтому плоские модули, в частности свободные и проективные модули, не имеют кручения, но обратное не обязательно. Примером модуля без кручения, который не является плоским, является идеал (x, y) кольца многочленов k [x, y] над полем k, интерпретируемый как модуль над k [x, y].
Любой модуль без кручения является модулем без кручения, но обратное неверно, поскольку Q является модулем без кручения Z - модуль не без кручения.
В области целостности Нётерана модули без кручения - это модули, у которых только связанный простой равен нулю. В более общем смысле, над нётеровым коммутативным кольцом модули без кручения - это те модули, все ассоциированные простые числа которых содержатся в ассоциированных простых числах кольца.
В нётеровой целозамкнутой области любой конечно-порожденный модуль без кручения имеет такой свободный подмодуль, что частное по нему изоморфно к идеалу кольца.
В области Дедекинда конечно-порожденный модуль не имеет кручения тогда и только тогда, когда он проективен, но в общем случае не свободен. Любой такой модуль изоморфен сумме конечно порожденного свободного модуля и идеала, и класс идеала определяется модулем однозначно.
В области главных идеалов конечно-порожденные модули не имеют кручения тогда и только тогда, когда они свободны.
Над областью целостности каждый модуль M имеет покрытие без кручения F → M из модуля F без кручения на M со свойствами, присущими любому другому кручению. -свободный модуль, отображающийся на M, пропускается через F, и любой эндоморфизм F над M является автоморфизмом F. Такое покрытие без кручения M единственно с точностью до изоморфизма. Покрытия без кручения тесно связаны с плоскими покрытиями.
A квазикогерентным пучком F по схеме X является пучком 
