Пробел Линделёфа

редактировать

В математике, пространство Линделёфа - это топологическое пространство, в котором каждая открытая крышка имеет счетное дополнительное прикрытие. Свойство Линделёфа является ослаблением более часто используемого понятия компактности, которое требует существования конечного подпокрытия.

A наследственно пространство Линделёфа является топологическим пространством, в котором каждое подпространство является линделёфским. Такое пространство иногда называют сильно Линделёфом, но сбивает с толку то, что терминология иногда используется с совершенно другим значением. Термин по наследству Линделёф более распространен и однозначен.

Пространства Линделёфа названы в честь финского математика Эрнста Леонарда Линделёфа.

Содержание

1 Свойства пространств Линделёфа
2 Свойства наследственно пространства Линделёфа
3 Пример: плоскость Зоргенфрея не является Линделёфом
4 Обобщение
5 См. также
6 Примечания
7 Ссылки

Свойства пространств Линделёфа

Каждые компактное пространство и, в более общем смысле, любое σ-компактное пространство является линделёфским. В частности, каждое счетное пространство является Линделёфским.
Пространство Линделёфа компактно тогда и только тогда, когда оно счетно компактно.
Каждое счетное пространство является Линделёфским, но не наоборот. Например, есть много компактных пространств, которые не являются второстепенными.
A метрическое пространство является Линделёфским тогда и только тогда, когда оно разделимо, и тогда и только тогда, когда оно секунд- счетное.
Каждое регулярное пространство Линделёфа нормальное.
Всякое регулярное пространство Линделёфа паракомпакт.
Счетное объединение подпространств Линделёфа в топологическом пространстве является Линделёфом.
Каждое замкнутое подпространство в пространстве Линделёфа линделёфское. Следовательно, каждое Fσмножество в пространстве Линделёфа является Линделёфом.
Произвольные подпространства в пространстве Линделёфа не обязательно должны быть Линделёфскими.
Непрерывный образ пространства Линделёфа - это Линделёф.
Произведение пространства Линделёфа и компакта - это Линделёф.
Произведение пространства Линделёфа и σ-компактного пространства есть Линделёф. Это следствие предыдущего свойства.
Произведение двух пространств Линделёфа не обязательно должно быть Линделёфом. Например, линия Соргенфри $S {\ displaystyle S}$ $S$ - это Линделёф, а плоскость Соргенфри $S × S {\ displaystyle S \ times S}$ ${\ displaystyle S \ times S}$ не является Линделёфом.
В пространстве Линделёфа каждое локально конечное семейство непустых подмножеств не более чем счетно.

Свойства наследственного Линделёфа Пространства

Пространство наследственно Линделёфское тогда и только тогда, когда каждое его открытое подпространство является Линделёфским.
Наследственно пространства Линделёфа замкнуты относительно счетных объединений, подпространств и непрерывных образов.
A Регулярное пространство Линделёфа является наследственно Линделёфским тогда и только тогда, когда оно совершенно нормально.
Всякое счётное пространство наследственно Линделёф.
Каждое счётное пространство наследственно Линделёф.
Каждое пространство Суслина является наследственным Линделёфом.
Каждая мера Радона в наследственном пространстве Линделёфа модерируется.

Пример: плоскость Соргенфри не является Lindelöf

продукт Lindelöf sp. тузы не обязательно Линделёф. Обычным примером этого является плоскость Соргенфри $S {\ displaystyle \ mathbb {S}}$ $\ mathbb {S}$ , которая является произведением вещественной линии $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ в топологии полуоткрытого интервала с самим собой. Открытые множества в плоскости Соргенфри представляют собой объединения полуоткрытых прямоугольников, которые включают южные и западные края и опускают северные и восточные края, включая северо-западные, северо-восточные и юго-восточные углы. антидиагональ из $S {\ displaystyle \ mathbb {S}}$ $\ mathbb {S}$ - это набор точек $(x, y) {\ displaystyle (x, y)}$ $(x, y)$ такое, что $x + y = 0 {\ displaystyle x + y = 0}$ $x + y = 0$ .

Рассмотрим открытое покрытие элемента $S {\ displaystyle \ mathbb {S }}$ $\ mathbb {S}$ который состоит из:

Множество всех прямоугольников $(- ∞, x) × (- ∞, y) {\ displaystyle (- \ infty, x) \ times (- \ infty, y)}$ $(- \ infty, x) \ times (- \ infty, y)$ , где $(x, y) {\ displaystyle (x, y)}$ $(x, y)$ находится на антидиагонали.
Множество всех прямоугольников $[x, + ∞) × [y, + ∞) {\ displaystyle [x, + \ infty) \ times [y, + \ infty)}$ $[x, + \ infty) \ times [y, + \ infty)$ , где $(x, y) {\ displaystyle (x, y)}$ $(x, y)$ находится на антидиагонали.

Здесь следует отметить, что каждая точка на антидиагонали содержится ровно в одном наборе покрытия, так что все эти наборы нужны.

Другой способ увидеть, что $S {\ displaystyle S}$ $S$ не является Линделёфом, - это отметить, что антидиагональ определяет закрытый и не отсчитываемый дискретный подпространство $S {\ displaystyle S}$ $S$ . Это подпространство не является Линделёфом, и поэтому все пространство не может быть Линделёфом (поскольку замкнутые подпространства пространств Линделёфа также являются Линделёфом).

Обобщение

Следующее определение обобщает определения компактности и Линделёфа: топологическое пространство - это $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ -компактный (или $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ -Lindelöf), где $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ - любое кардинальное число, если каждое открытое обложка имеет дополнительное покрытие мощности строго меньше $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ . Тогда компактный будет $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ -compact, а Линделёф тогда $ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ -компактный.

Степень Линделёфа, или число Линделёфа $l (X) {\ displaystyle l (X)}$ $l (X)$ , является наименьшим кардиналом $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ таким образом, чтобы каждая открытая крышка пространства $X {\ displaystyle X}$ $X$ имела дополнительное покрытие размером не более $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ . В этой записи $X {\ displaystyle X}$ $X$ является Линделёфом, если $l (X) = ℵ 0 {\ displaystyle l (X) = \ aleph _ {0}}$ $l (X) = \ aleph _ {0}$ . Число Линделёфа, как определено выше, не различает компактные пространства и некомпактные пространства Линделёфа. Некоторые авторы назвали число Линделёфа другому понятию: наименьший кардинал $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ такой, что каждая открытая крышка пространства $X {\ displaystyle X}$ $X$ имеет внутреннее покрытие размером строго меньше $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ . В этом последнем (и менее используемом) смысле число Линделёфа - это наименьший кардинал $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ такой, что топологическое пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ является $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ -компактным. Это понятие иногда также называют степенью компактности пространства $X {\ displaystyle X}$ $X$ .

См. Также

Примечания

Ссылки

Энгелькинг, Рышард, Общая топология, Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4
I. Юхас (1980). Кардинальные функции в топологии - десять лет спустя. Математика. Center Tracts, Амстердам. ISBN 90-6196-196-3.
Манкрес, Джеймс. Топология, 2-е изд.
Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур мл. (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии (Dover, перепечатка 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.
Уиллард, Стивен. Общая топология, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6