Войти
| Аксиомы разделения. в топологических пространствах | |
|---|---|
| Колмогоровская классификация | |
| T0 | (Колмогоров) |
| T1 | (Fréchet) |
| T2 | (Hausdorff) |
| T2½ | (Urysohn) |
| полностью T 2 | (полностью Hausdorff) |
| T3 | (обычный Hausdorff) |
| T3½ | (Tychonoff) |
| T4 | (normal Hausdorff) |
| T5 | (совершенно нормальный. Хаусдорф) |
| T6 | (совершенно нормальный. Хаусдорф) |
В топологии и связанных областях математики, топологическое пространство X называется регулярным пространством, если каждое замкнутое подмножество C X и точка p, не содержащаяся в C, допускают неперекрывающееся открытое микрорайоны. Таким образом, p и C могут быть разделены окрестностями. Это состояние известно как Аксиома T 3. Термин «T3пространство » обычно означает «обычное хаусдорфово пространство ». Эти условия являются примерами аксиом разделения.
Точка x, представленная точкой слева от изображения, и замкнутое множество F, представленное замкнутым диском справа от изображения, разделены своими окрестностями U и V, представленными большими открытые диски. Точка x имеет достаточно места, чтобы перемещаться вокруг открытого диска U, а закрытый диск F имеет достаточно места, чтобы перемещаться вокруг открытого диска V, однако U и V не соприкасаются друг с другом. A топологическое пространство X является регулярным пространством, если для любого замкнутого множества F и любой точки x, не принадлежащей F, существует окрестность U точки x и окрестности V точки F, которые не пересекаются. Короче говоря, должна быть возможность разделить x и F с непересекающимися окрестностями.
A T3пространство или регулярное хаусдорфово пространство - это топологическое пространство, которое одновременно является регулярным и хаусдорфовым пространством. (Хаусдорфово пространство или пространство T 2 - это топологическое пространство, в котором любые две различные точки разделены окрестностями.) Оказывается, пространство T 3 тогда и только тогда, когда оно является как обычным, так и T 0. (AT 0 или пространство Колмогорова - это топологическое пространство, в котором любые две различные точки топологически различимы, т.е. для каждой пары различных точек есть хотя бы одна из них имеет открытую окрестность, не содержащую другого.) В самом деле, если пространство хаусдорфово, то это T 0, и каждое T 0 регулярное пространство является Хаусдорф: данные две различные точки, по крайней мере, одна из них пропускает замыкание другой, поэтому (по регулярности) существуют непересекающиеся окрестности, отделяющие одну точку от (замыкание) другой.
Хотя определения, представленные здесь для «обычного» и «T 3 », не являются чем-то необычным, в литературе есть значительные различия: некоторые авторы меняют определения «обычный» и «T 3 ", как они здесь используются, или используют оба термина как синонимы. В этой статье мы будем свободно использовать термин «регулярный», но обычно мы будем говорить «обычный Хаусдорф», что недвусмысленно, вместо менее точного «T 3 ». Для получения дополнительной информации по этому вопросу см. История аксиом разделения.
A локально регулярное пространство - это топологическое пространство, в котором каждая точка имеет открытую окрестность, которая является регулярной. Каждое регулярное пространство локально регулярно, но обратное неверно. Классическим примером локально регулярного пространства, которое не является регулярным, является кривая линия.
Регулярное пространство обязательно также предрегулярное, т. Е., любые две топологически различимые точки могут быть разделены окрестностями. Поскольку хаусдорфово пространство - это то же самое, что и предрегулярное T0пространство, регулярное пространство, которое также является T 0, должно быть хаусдорфовым (и, следовательно, T 3). Фактически, регулярное хаусдорфово пространство удовлетворяет чуть более сильному условию T2½. (Однако такое пространство не обязательно должно быть полностью Хаусдорфовым.) Таким образом, определение T 3 может ссылаться на T 0, T1 или T 2½ вместо Т 2 (Хаусдорфизм); все эквивалентны в контексте регулярных пространств.
Говоря более теоретически, условия регулярности и T 3 -ness связаны коэффициентами Колмогорова. Пространство правильно тогда и только тогда, когда его фактор по Колмогорову равен T 3 ; и, как уже упоминалось, пробел равен T 3 тогда и только тогда, когда он и обычный, и T 0. Таким образом, обычное пространство, встречающееся на практике, обычно можно считать равным T 3, заменяя пространство его фактором Колмогорова.
Есть много результатов для топологических пространств, которые верны как для регулярных, так и для хаусдорфовых пространств. В большинстве случаев эти результаты верны для всех предрегулярных пространств; они были перечислены отдельно для регулярных и хаусдорфовых пространств, поскольку идея предрегулярных пространств возникла позже. С другой стороны, те результаты, которые действительно касаются регулярности, обычно не применимы и к нерегулярным хаусдорфовым пространствам.
Есть много ситуаций, когда другое состояние топологических пространств (например, нормальность, псевдонормальность, паракомпактность или локальная компактность ) будет означать регулярность, если будет удовлетворена более слабая аксиома разделения, такая как пререгулярность. Такие условия часто бывают двух версий: обычная версия и версия Хаусдорфа. Хотя хаусдорфовы пространства обычно не являются регулярными, хаусдорфово пространство, которое также (скажем) локально компактно, будет регулярным, потому что любое хаусдорфово пространство предрегулярно. Таким образом, с определенной точки зрения регулярность здесь не проблема, и мы могли бы вместо этого наложить более слабое условие, чтобы получить тот же результат. Однако определения обычно все же формулируются в терминах регулярности, поскольку это условие более известно, чем любое более слабое.
Большинство топологических пространств, изучаемых в математическом анализе, регулярны; на самом деле, они обычно полностью обычные, что является более сильным условием. Обычные пробелы также следует противопоставлять нормальным пробелам.
A нульмерное пространство по отношению к малому индуктивному измерению имеет основание состоящий из закрытых наборов. Каждое такое пространство регулярно.
Как описано выше, любое полностью регулярное пространство является регулярным, а любое пространство T 0, которое не является хаусдорфовым (и, следовательно, не является предварительным) не может быть регулярным. Большинство примеров регулярных и нерегулярных пространств, изучаемых в математике, можно найти в этих двух статьях. С другой стороны, пространства, которые являются регулярными, но не полностью регулярными, или предрегулярными, но не регулярными, обычно строятся только для того, чтобы предоставить контрпримеры к гипотезам, показывая границы возможных теорем. Конечно, можно легко найти регулярные пространства, которые не являются T 0 и, следовательно, не хаусдорфовы, такие как недискретное пространство, но эти примеры дают больше понимания аксиомы T0 чем по регулярности. Примером регулярного пространства, которое не является полностью правильным, является расширение.
Наиболее интересные пространства в математике, которые являются регулярными, также удовлетворяют более сильному условию. Таким образом, регулярные пространства обычно изучаются, чтобы найти свойства и теоремы, подобные приведенным ниже, которые фактически применяются к полностью регулярным пространствам, как правило, в анализе.
Существуют хаусдорфовы пространства, которые не являются регулярными. Примером является множество R с топологией, порожденной множествами формы U - C, где U - открытое множество в обычном смысле, а C - любое счетное подмножество U.
Предположим, что X - правильное пространство. Тогда для любой точки x и окрестности G точки x существует замкнутая окрестность E точки x, которая является подмножеством в G. В более изысканных терминах замкнутые окрестности точки x образуют локальную базу в х. Фактически это свойство характеризует регулярные пространства; если замкнутые окрестности каждой точки в топологическом пространстве образуют локальную базу в этой точке, то пространство должно быть регулярным.
Взяв внутренности этих закрытых окрестностей, мы видим, что регулярные открытые множества образуют базу для открытых множеств регулярного пространства. X. Это свойство на самом деле слабее регулярности; топологическое пространство, регулярные открытые множества которого образуют основу, является полуправильным.
