Раздельные наборы

В топологии и связанных ветвях математика, разделенные множества - это пары подмножеств данного топологического пространства, которые связаны друг с другом определенным образом: грубо говоря, ни одно не перекрывается ни прикосновения. Понятие того, когда два множества разделены или нет, важно как для понятия связанных пространств (и их связанных компонентов), так и для аксиом разделения для топологических пространств.

Разделенные наборы не следует путать с разделенными пробелами (определенными ниже), которые в некоторой степени связаны, но отличаются друг от друга. Разделимые пространства - это снова совершенно другое топологическое понятие.

• 1 Определения
• 2 Отношение к аксиомам разделения и разделенным пространствам
• 3 Отношение к связанным пространствам
• 4 Отношение к топологически различимым точкам
• 5 Источники

Существуют различные способы, которыми два подмножества топологического пространства X можно рассматривать как разделенные.

• A и B являются непересекающимися, если их пересечение является пустым множеством. Это свойство не имеет ничего общего с топологией как таковой, а только теорией множеств. Он включен сюда, потому что он самый слабый в последовательности различных понятий. Дополнительные сведения о дизъюнктности в целом см. В разделе Непересекающиеся множества.
• A и B разделены в X, если каждое из них не пересекается с замыканием другого. Сами замыкания не обязательно должны быть отделены друг от друга; например, интервалы [0,1) и (1,2] разделены в вещественной строке R, даже если точка 1 принадлежит обоим их замыканиям. Более общий Например, в любом метрическом пространстве два открытых шара Br(x1) = {y: d (x 1, y)
• A и B разделены окрестностями, если есть окрестности U точек A и V точки B такие, что U и V не пересекаются. (Иногда вы увидите требование, чтобы U и V были открытыми окрестностями, но в конечном итоге это не имеет значения.) Например, A = [0,1) и B = (1,2], вы можете взять U = (-1,1) и V = (1,3). Обратите внимание, что если любые два набора разделены окрестностями, то они, безусловно, разделены. Если A и B открыты и не пересекаются, они должны быть разделенными окрестностями; просто возьмите U = A и V = B. По этой причине разделенность часто используется с замкнутыми множествами (как в аксиоме нормального разделения ).
• A и B разделены замкнутыми окрестностями, если существует замкнутая окрестность U точки A и замкнутая окрестность V точки B такие, что U и V не пересекаются. Наши примеры [0,1) и (1,2] не являются разделены закрытыми окрестностями. Вы можете сделать либо U, либо V закрытыми, включив в него точку 1, но вы не можете сделать их оба закрытыми, не пересекая их. Обратите внимание, что если любые два набора разделены замкнутыми окрестностями, то они, безусловно, разделены по соседству правдоподобия.
• A и B разделены функцией, если существует непрерывная функция f от пространства X до действительной прямой R такие, что f (A) = {0} и f (B) = {1}. (Иногда вы увидите единичный интервал [0,1], используемый вместо R в этом определении, но это не имеет значения.) В нашем примере [0,1) и (1,2] не разделены функцией, потому что нет способа непрерывно определять f в точке 1. Обратите внимание, что если любые два набора разделены функцией, то они также разделены замкнутыми окрестностями; окрестности может быть задано в терминах прообраза функции f как U: = f [-e, e] и V: = f [1-e, 1 + e], пока e равно a положительное действительное число меньше 1/2.
• A и B точно разделены функцией, если существует непрерывная функция f от X до R такое, что f (0) = A и f (1) = B. (Опять же, вы также можете увидеть единичный интервал вместо R, и снова это не имеет значения.) Обратите внимание, что если есть два набора точно разделены функцией, то, безусловно, они разделены функцией. Поскольку {0} и {1} замкнуты в R, только замкнутые множества могут быть точно разделенными дается функцией, но то, что два набора закрыты и разделены функцией, не означает, что они автоматически точно разделены функцией (даже другой функцией).

Аксиомы разделенности - это различные условия, которые иногда накладываются на топологические пространства, многие из которых могут быть описаны в терминах различных типов разделенных множеств. В качестве примера мы определим аксиому T 2, которая является условием, наложенным на разделенные пробелы. В частности, топологическое пространство разделяется, если для любых двух различных точек x и y одноэлементные множества {x} и {y} разделены окрестностями.

Разделенные пространства также называются пространствами Хаусдорфа или T 2 пространствами. Дальнейшее обсуждение разделенных пробелов можно найти в статье Хаусдорфово пространство. Общее обсуждение различных аксиом разделения содержится в статье Аксиома разделения.

Учитывая топологическое пространство X, иногда полезно рассмотреть, возможно ли, чтобы подмножество A быть отделенным от его дополнения. Это, конечно, верно, если A - либо пустое множество, либо все пространство X, но могут быть и другие возможности. Топологическое пространство X связно, если это единственные две возможности. И наоборот, если непустое подмножество A отделено от своего собственного дополнения, и если единственное подмножество A, разделяющее это свойство, является пустым набором, то A является компонентом с открытой связностью X. (В вырожденный случай, когда X сам является пустым множеством $\varnothing \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; emptyset\}$, полномочия различаются в зависимости от того, $\varnothing \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; emptyset\}$связано и является ли $\varnothing \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; emptyset\}$сам по себе открытым компонентом.)

Подробнее о связанных пространствах см. Connected space.

В топологическом пространстве X две точки x и y топологически различимы, если существует открытое множество, которому одна точка принадлежит, но другая точка принадлежит не. Если x и y топологически различимы, то одноэлементные наборы {x} и {y} должны быть не пересекающимися. С другой стороны, если синглтоны {x} и {y} разделены, то точки x и y должны быть топологически различимы. Таким образом, для синглтонов топологическая различимость является условием между дизъюнктностью и разделенностью.

Подробнее о топологически различимых точках см. Топологическая различимость.

• Стивен Уиллард, Общая топология, Addison-Wesley, 1970. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (издание Dover).