Конвергенция Громова – Хаусдорфа

В математике, Конвергенция Громова – Хаусдорфа, названный в честь Михаила Громова и Феликса Хаусдорфа, представляет собой понятие сходимости метрических пространств, которое является обобщением сходимости Хаусдорфа.

• 1 Расстояние Громова – Хаусдорфа
• 2 Некоторые свойства пространства Громова – Хаусдорфа
• 3 Точечная сходимость Громова – Хаусдорфа
• 4 Приложения
• 5 Список литературы

Насколько далеко и насколько близки некоторые цифры при расстоянии Громова – Хаусдорфа.

Расстояние Громова – Хаусдорфа было введено Дэвидом Эдвардсом в 1975 году, а позже оно было повторно открыто и обобщено Михаилом Громовым в 1981 году. Это расстояние измеряет, насколько два компактных метрических пространства находятся от iso. метрическая. Если X и Y - два компактных метрических пространства, то d GH (X, Y) определяется как нижняя грань всех чисел d H (f ( X), g (Y)) для всех метрических пространств M и всех изометрических вложений f: X → M и g: Y → M. Здесь d H обозначает расстояние Хаусдорфа между подмножествами в M, и изометрическое вложение понимается в глобальном смысле, т.е. оно должно сохранять все расстояния, а не только бесконечно малые; например, никакое компактное риманово многообразие не допускает такого вложения в евклидово пространство той же размерности.

Расстояние Громова – Хаусдорфа превращает множество всех классов изометрий компактных метрических пространств в метрическое пространство, называемое пространством Громова – Хаусдорфа, и поэтому определяет понятие сходимости для последовательностей компактные метрические пространства, называемые сходимостью по Громову – Хаусдорфу. Метрическое пространство, к которому сходится такая последовательность, называется пределом Громова – Хаусдорфа последовательности.

Пространство Громова – Хаусдорфа линейно связно, полно и отделимо. Это также геодезическая, т. Е. Любые две его точки являются конечными точками минимизирующей геодезической. В глобальном смысле пространство Громова – Хаусдорфа полностью неоднородно, т. Е. Его группа изометрий тривиальна, но локально существует много нетривиальных изометрий.

Острый Громов Сходимость по Хаусдорфу является аналогом сходимости по Громову – Хаусдорфу, подходящим для некомпактных пространств. Точечное метрическое пространство - это пара (X, p), состоящая из метрического пространства X и точки p в X. Последовательность (X n, p n) точечных метрических пространств сходится в точечное метрическое пространство (Y, p), если для каждого R>0 последовательность замкнутых R-шаров вокруг p n в X n сходится к замкнутому R-шару вокруг p в Y в обычном смысле Громова – Хаусдорфа.

Понятие сходимости Громова – Хаусдорфа было впервые использовано Громовым для доказательства того, что любая дискретная группа с полиномиальный рост практически нильпотентен (то есть он содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса ). См. теорему Громова о группах полиномиального роста. (См. Также более раннюю работу Д. Эдвардса.) Ключевым элементом доказательства было наблюдение, что для графа Кэли группы с полиномиальным ростом последовательность пересчетов сходится в указанном смысле Громова – Хаусдорфа..

Еще один простой и очень полезный результат в римановой геометрии - это теорема Громова о компактности, которая утверждает, что множество римановых многообразий с кривизной Риччи ≥ c и диаметр ≤ D относительно компактный в метрике Громова – Хаусдорфа. Предельные пространства - это метрические пространства. Дополнительные свойства пространств длин были доказаны Чигером и Колдингом.

. Метрика расстояния Громова – Хаусдорфа применялась в области компьютерной графики и вычислительной геометрии для поиска соответствий между различными формами.

Расстояние Громова – Хаусдорфа было использовано Сормани для доказательства устойчивости модели Фридмана в космологии. Эта модель космологии неустойчива по отношению к плавным изменениям метрики.

В частном случае концепция пределов Громова – Хаусдорфа тесно связана с теорией больших уклонений.

Теория Громова– Метрика расстояния Хаусдорфа использовалась в нейробиологии для сравнения сетей мозга.

1. ^Дэвид А. Эдвардс, «Структура суперпространства», в «Исследования по топологии», Academic Press, 1975, pdf
2. ^А. Тужилин, «Кто изобрел расстояние Громова – Хаусдорфа? (2016)», arXiv : 1612.00728
3. ^М. Громов. "Structures métriques pour les Varétés riemanniennes", под редакцией Лафонтена и Пьера Пансу, 1981.
4. ^М. Громов, Группы полиномиального роста и расширяющиеся карты, Publications mathematiques IHÉ.S., 53, 1981
5. ^Д.Бураго, Ю.Бураго, С.Иванов, Курс метрической геометрии, AMS GSM 33, 2001
6. ^А.Иванов, Н.Николаева, А.Тужилин (2015), Метрика Громова – Хаусдорфа на пространстве компактных метрических пространств строго внутренняя, arXiv : 1504.03830. Для явного построения геодезических см. Chowdhury, S., Mémoli, F. (2016). «Построение геодезических на пространстве компактных метрических пространств». arXiv : 1603.02385.
7. ^А.Иванов, А.Тужилин (2018), Группа изометрии пространства Громова – Хаусдорфа, arXiv : 1806.02100
8. ^А.Иванов, А.Тужилин (2016), Локальная структура пространства Громова – Хаусдорфа вблизи конечных метрических пространств в общем положении, arXiv : 1611.04484
9. ^Андре Беллаиш (1996), «Касательное пространство в субримановой геометрии», в Андре Беллаиш; Жан-Жак Рислер (ред.), Субриманова геометрия, Progress in Mathematics, 144, Birkhauser, p. 56
10. ^Чигер-Колдинг: О структуре пространств с кривизной Риччи, ограниченной снизу I
11. ^Мемоли, Ф., Сапиро, Г. (2004, июль). Сравнение облаков точек. В Трудах симпозиума 2004 Eurographics / ACM SIGGRAPH по обработке геометрии (стр. 32–40). ACM.
12. ^Сормани: космология Фридмана и почти изотропия
13. ^Котани М., Сунада Т., Большое отклонение и касательный конус на бесконечности кристаллической решетки, Матем. Z. 254, (2006), 837–870.
14. ^Ли, Х., Чанг, М., Кан, Х., Ким, Б.Н., Ли, Д.С. (2011) Вычисление формы мозговых сетей с использованием графической фильтрации и метрики Громова – Хаусдорфа MICCAI 2011 г., часть II, LNCS 6892, стр. 302–309

• М. Громов. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств, Биркхойзер (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (перевод с дополнительным содержанием).