(ε, δ) -определение предела - (ε, δ)-definition of limit

редактировать

Математическое определение предела

Всякий раз, когда точка x находится в пределах δ единиц c, f (x) находится в пределах ε единиц от L

В исчислении (ε, δ) -определение предела («эпсилон - delta определение лимита ») является формализацией понятия limit. Эта концепция принадлежит Огюстен-Луи Коши, который никогда не давал (ε, δ) определения предела в своем Cours d'Analyse, но иногда использовал аргументы ε, δ в доказательствах.. Впервые оно было дано в качестве формального определения Бернаром Больцано в 1817 году, а окончательное современное утверждение в конечном итоге было дано Карлом Вейерштрассом. Это обеспечивает строгость следующего неформального понятия: зависимое выражение f (x) приближается к значению L, поскольку переменная x приближается к значению c, если f (x) можно сделать как можно ближе к L, взяв x достаточно близко к c.

Содержание

1 История
2 Неформальный оператор
3 Точный оператор и связанные с ним операторы
- 3.1 Точный оператор для функций с действительным знаком
- 3.2 Точный оператор для функций между метрическими пространствами
- 3.3 Отрицание точного утверждения
- 3.4 Точное утверждение для пределов на бесконечности
4 Рабочие примеры
- 4.1 Пример 1
- 4.2 Пример 2
- 4.3 Пример 3
5 Непрерывность
6 Сравнение с бесконечно малое определение
7 См. также
8 Ссылки
9 Дополнительная литература

История

Хотя греки исследовали ограничивающий процесс, такой как вавилонский метод, они, вероятно, не имел понятия, аналогичного современному пределу. Потребность в концепции предела возникла в 1600-х годах, когда Пьер де Ферма попытался найти наклон касательной линии в точке $x {\ displaystyle x}$ $x$ на график функции, такой как $f (x) = x 2 {\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ $f (х) = х ^ {2}$ . Используя ненулевое, но почти нулевое значение $E {\ displaystyle E}$ $E$ , Ферма выполнил следующий расчет:

slope = f (x + E) - f (x) E = ( x + E) 2 - x 2 E = x 2 + 2 x E + E 2 - x 2 E = 2 x E + E 2 E = 2 x + E = 2 x. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {slope}} = {\ frac {f (x + E) -f (x)} {E}} \\ = {\ frac {(x + E) ^ {2} -x ^ {2}} {E}} \\ = {\ frac {x ^ {2} + 2xE + E ^ {2} -x ^ {2}} {E}} \\ = {\ frac {2xE + E ^ {2}} {E}} = 2x + E = 2x. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {slope}} = {\ frac {f (x + E) -f (x)} {E}} \\ = {\ frac {(x + E) ^ {2} -x ^ {2}} {E}} \ \ = {\ frac {x ^ {2} + 2xE + E ^ {2} -x ^ {2}} {E}} \\ = {\ frac {2xE + E ^ {2}} {E} } = 2x + E = 2x. \ Конец {выровнено}}}

Ключом к приведенному выше расчету является то, что, поскольку $E {\ displaystyle E}$ $E$ не равно нулю, можно разделить $f (x + E) - f (x) {\ displaystyle f (x + E) -f (x)}$ ${\ displaystyle f (x + E) -f (x)}$ на $E {\ displaystyle E}$ $E$ , но поскольку $E {\ displaystyle E}$ $E$ близко к 0, $2 x + E {\ displaystyle 2x + E}$ ${\ displaystyle 2x + E}$ по сути равно $2 x {\ displaystyle 2x}$ $2x$ . Такие величины, как $E {\ displaystyle E}$ $E$ , называются бесконечно малыми. Проблема с этим вычислением заключалась в том, что математики той эпохи не могли строго определить величину со свойствами $E {\ displaystyle E}$ $E$ , даже несмотря на то, что обычной практикой было «пренебрегать» бесконечно малыми величинами более высокой степени. и это, казалось, дало правильные результаты.

Эта проблема снова возникла позже, в 1600-х годах, в центре развития исчисления, где вычисления, такие как вычисления Ферма, важны для вычисления производных. Исаак Ньютон первым разработал исчисление с помощью бесконечно малой величины, называемой потоком. Он развил их в связи с идеей «бесконечно малого момента времени...». Однако позже Ньютон отверг флюксии в пользу теории соотношений, близкой к современной $ε - δ {\ displaystyle \ varepsilon {\ text {-}} \ delta}$ ${\ displaystyle \ varepsilon {\ text {-}} \ delta}$ определение лимита. Более того, Ньютон знал, что предел отношения исчезающих величин сам по себе не был отношением, как он писал:

Эти конечные отношения... на самом деле не отношения конечных величин, а пределы... к которым они могут приближаться. настолько близко, что их различие меньше любого заданного количества...

Кроме того, Ньютон иногда объяснял пределы в терминах, подобных определению эпсилон-дельта. Готфрид Вильгельм Лейбниц разработал собственное бесконечно малое и попробовал чтобы обеспечить ему прочную основу, но некоторые математики и философы по-прежнему с беспокойством встретили его.

Огюстен-Луи Коши дал определение предела в терминах более примитивного понятия, которое он назвал переменной величиной. Он никогда не давал определения предела эпсилон-дельта (Grabiner 1981). Некоторые доказательства Коши содержат указания на метод эпсилон – дельта. Можно ли считать его основополагающий подход предвестником Вейерштрасса - предмет научных споров. Грабинер считает, что это так, а Шубринг (2005) с этим не согласен. Накане заключает, что Коши и Вейерштрасс дали одно и то же название разным понятиям предела.

В конце концов, Вейерштрассу и Больцано приписывают обеспечение строгой основы для исчисления в форме современного $ε - δ { \ displaystyle \ varepsilon {\ text {-}} \ delta}$ ${\ displaystyle \ varepsilon {\ text {-}} \ delta}$ определение лимита. Затем необходимость ссылки на бесконечно малое $E {\ displaystyle E}$ $E$ была устранена, и вычисления Ферма превратились в вычисление следующего предела:

lim h → 0 f (x + h) - f (x) h. {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}.}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}.}

Это не означает, что определение ограничения не содержит проблем поскольку, хотя он устранил необходимость в бесконечно малых, он все же потребовал построения действительных чисел Ричардом Дедекиндом. Это также не означает, что бесконечно малым нет места в современной математике, поскольку более поздние математики смогли строго создавать бесконечно малые величины как часть систем гиперреальных чисел или сюрреалистических чисел. Более того, с этими величинами можно строго разрабатывать исчисления, и они имеют другие математические применения.

Неформальное утверждение

Жизнеспособное неформальное (то есть интуитивное или предварительное) определение таково: "функция f приближается к пределу L около a (символически $lim x → af (x) = L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} f (x) = L \,}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} f (x) = L \,}$ ), если мы можем сделать f (x) как можно ближе к L, требуя, чтобы x был достаточно близок к a, но не равнялся ему ».

Когда мы говорим, что две вещи близко (например, f (x) и L или x и a), мы подразумеваем, что разница (или расстояние ) между ними мала. Когда f (x), L, x и a являются действительными числами, разница / расстояние между двумя числами является абсолютным значением разницы два. Таким образом, когда мы говорим, что f (x) близка к L, мы имеем в виду, что | f (x) - L | маленький. Когда мы говорим, что x и a близки, мы имеем в виду, что | x - a | мало.

Когда мы говорим, что можем сделать f (x) как можно ближе к L, мы имеем в виду, что для всех ненулевых расстояний, ε, мы можем сделать расстояние между f (x) и L меньше ε.

Когда мы говорим, что можем сделать f (x) как можно ближе к L, требуя, чтобы x был достаточно близок к, но не равен a, мы имеем в виду, что для любого ненулевого расстояния ε существует некоторое ненулевое расстояние δ такое, что если расстояние между x и a меньше, чем δ, то расстояние между f (x) и L меньше, чем ε.

Неформальный / интуитивный аспект, который следует усвоить, заключается в том, что определение требует следующего внутреннего разговора (который обычно перефразируется таким языком, как «ваш враг / противник атакует вас с помощью ε, а вы защищаете / защищаете себя с помощью a δ "): каждому предоставляется любой вызов ε>0 для заданных f, a и L. Один должен ответить с δ>0 таким, что 0 < |x − a| < δ implies that |f(x) − L| < ε. If one can provide an answer for any challenge, then one has proven that the limit exists.

Точное утверждение и связанные утверждения

Точная инструкция для функций с действительным знаком

T he $(ε, δ) {\ displaystyle (\ varepsilon, \ delta)}$ $(\ varepsilon, \ delta)$ определение предела функции выглядит следующим образом:

Пусть $f {\ displaystyle f}$ $f$ быть функцией с действительным знаком, определенной на подмножестве $D {\ displaystyle D}$ $D$ из вещественные числа. Пусть $c {\ displaystyle c}$ $c$ будет предельной точкой из $D {\ displaystyle D}$ $D$ и пусть $L {\ displaystyle L}$ $L$ быть действительным числом. Мы говорим, что

lim x → cf (x) = L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = L}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = L}

, если для каждого $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ существует $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\ delta>0$ такой, что для всех $x ∈ D {\ displaystyle x \ in D}$ $x \ in D$ , если $0 < | x − c | < δ {\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ ${\ displaystyle 0 <| xc | <\ delta}$ , то $| f (x) - L | < ε {\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$ ${\ displaystyle | f (x) -L | <\ varepsilon}$ .

Символически:

lim x → cf (x) = L ⟺ (∀ ε>0, ∃ δ>0, ∀ x ∈ D, 0 < | x − c | < δ ⇒ | f ( x) − L | < ε) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L\iff (\forall \varepsilon>0, \, \ exists \ \ delta>0, \, \ forall x \ in D, \, 0 <|x-c|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-L|<\varepsilon)}

\lim _{x\to c}f(x)=L\iff (\forall \varepsilon>0, \, \ exists \ \ delta>0, \, \ forall x \ in D, \, 0 <|x-c|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-L|<\varepsilon)

Если $D = [a, b] {\ displaystyle D = [a, b]}$ ${\ displaystyle D = [a, b]}$ или $D = R {\ displaystyle D = \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle D = \ mathbb {R}}$ , затем Условие, что $c {\ displaystyle c}$ $c$ является предельной точкой, может быть заменено более простым условием, что c принадлежит D, поскольку закрытые реальные интервалы и вся реальная линия perfect sets.

Точная инструкция для функций между метрическими пространствами

Определение может быть обобщено для функций, которые отображают между метрическими пространствами. Эти пространства имеют функцию, называемую метрикой, который берет две точки в пространстве и возвращает действительное число, которое представляет расстояние между двумя точками. Обобщенное определение выглядит следующим образом:

Предположим, $f {\ displaystyle f}$ $f$ определяется на подмножестве $D {\ displaystyle D}$ $D$ из метрическое пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ с метрикой $d X (x, y) {\ displaystyle d_ {X} (x, y)}$ ${\ displaystyle d_ {X} (x, y)}$ и отображает в метрическое пространство $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ с метрикой $d Y (x, y) {\ displaystyle d_ {Y} (x, y)}$ ${\ displaystyle d_ {Y} (x, y)}$ . Пусть $c {\ displaystyle c}$ $c$ будет предельной точкой $D {\ displaystyle D}$ $D$ и пусть $L {\ displaystyle L}$ $L$ быть точкой $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ .

Мы говорим, что

lim x → cf (x) = L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = L}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = L}

если для каждого $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ , существует $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ такое, что для всех $x ∈ D {\ displaystyle x \ in D}$ $x \ in D$ , если $0 < d X ( x, c) < δ {\displaystyle 0$ ${\ displaystyle 0 <d_ {X} (x, c) <\ delta}$ , то $d Y (f (x), L) < ε {\displaystyle d_{Y}(f(x),L)<\varepsilon }$ ${\ displaystyle d_ {Y} (е (x), L) <\ varepsilon}$ .

Поскольку $d (x, y) = | x - y | {\ displaystyle d (x, y) = | xy |}$ ${\ displaystyle d (x, y) = | xy |}$ - метрика действительных чисел, можно показать, что это определение обобщает первое определение для реальных функций.

Отрицание точного утверждения

логическое отрицание из определения выглядит следующим образом:

Предположим, $f {\ displaystyle f }$ $f$ определяется на подмножестве $D {\ displaystyle D}$ $D$ метрического пространства $X {\ displaystyle X}$ $X$ с метрикой $d X (x, y) {\ displaystyle d_ {X} (x, y)}$ ${\ displaystyle d_ {X} (x, y)}$ и отображает в метрическое пространство $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ с метрикой $d Y (x, y) {\ displaystyle d_ {Y} (x, y)}$ ${\ displaystyle d_ {Y} (x, y)}$ . Пусть $c {\ displaystyle c}$ $c$ будет предельной точкой $D {\ displaystyle D}$ $D$ и пусть $L {\ displaystyle L}$ $L$ быть точкой $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ .

Мы говорим, что

lim x → cf (x) ≠ L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) \ neq L}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) \ neq L}

, если существует $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ таким образом, что для всех $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\delta>0$ есть $x ∈ D {\ displaystyle x \ in D}$ $x \ in D$ такой, что $0 < d X ( x, c) < δ {\displaystyle 0$ ${\ displaystyle 0 <d_ {X} (x, c) <\ delta}$ и $d Y (f (x), L)>ε {\ displaystyle d_ {Y} (f (x), L)>\ varepsilon}$ $d_{Y}(f(x),L)>\ varepsilon$ .

Мы говорим, что $lim x → cf (x) {\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x)}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} е (х)}$ не существует, если для всех $L ∈ Y {\ Displaystyle L \ in Y}$ ${\ displaystyle L \ in Y }$ , $lim x → cf (x) ≠ L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) \ neq L}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) \ neq L}$ .

Для отрицания действительной функции, определенной на действительных числах, просто установите $d Y (x, y) = d X (x, y) = | х - у | {\ displaystyle d_ {Y} (x, y) = d_ {X} (x, y) = | xy |}$ ${\ displaystyle d_ {Y} (x, y) = d_ {X} (x, y) = | xy |}$ .

Точная инструкция для пределов на бесконечности

Точная инструкция для пределов на бесконечности следующим образом:

Предположим, что $f {\ displaystyle f}$ $f$ является вещественным, что определено в подмножестве $D {\ displaystyle D}$ $D$ действительных чисел, которые содержат сколь угодно большие значения. Мы говорим, что

lim x → ∞ f (x) = L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} f (x) = L}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} f (x) = L}

, если для каждого $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ , существует действительное число $N>0 {\ displaystyle N>0}$ ${\ displaystyle N>0}$ такой, что для всех $x ∈ D {\ displaystyle x \ in D}$ $x \ in D$ , если $x>N {\ displaystyle x>N}$ $x>N$ затем $| f (x) - L | < ε {\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$ $| f (x) - L | <\ varepsilon$ .

Также можно дать определение в общих метрических пространствах.

Рабочие примеры

Пример 1

Мы покажем, что

lim x → 0 x sin ⁡ (1 x) = 0 {\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} x \ si n {\ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} x \ sin {\ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} = 0}

Допустим, $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ . Нам нужно найти $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\ delta>0$ такой, что $| x - 0 | < δ {\displaystyle |x-0|<\delta }$ ${\ displaystyle | x-0 | <\ delta}$ подразумевает $| x sin ⁡ (1 x) - 0 | < ε {\displaystyle \left|x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-0\right|<\varepsilon }$ ${\ displaystyle \ left | x \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) -0 \ right | <\ varepsilon}$ .

Поскольку синус ограничен сверху 1 и снизу −1,

$| x sin ⁡ (1 x) - 0 | = | x sin ⁡ (1 x) | = | x | | sin ⁡ (1 х) | ≤ | х |. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ left | x \ sin {\ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} - 0 \ right | = \ left | x \ sin {\ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} \ right | \\ = | x | \ left | \ sin {\ left ({\ frac {1} {x} } \ right)} \ right | \\ \ leq | x |. \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ left | x \ sin {\ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} - 0 \ right | = \ left | x \ sin {\ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} \ right | \\ = | x | \ left | \ sin {\ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} \ right | \\ \ leq | x |. \ end {align}}}$

Таким образом, если мы возьмем $δ = ε {\ displaystyle \ delta = \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ delta = \ varepsilon}$ , тогда $| x | = | x - 0 | < δ {\displaystyle |x|=|x-0|<\delta }$ ${\ displaystyle | x | = | x-0 | <\ delta}$ влечет $| x sin ⁡ (1 x) - 0 | ≤ | x | < ε {\displaystyle \left|x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}-0\right|\leq |x|<\varepsilon }$ ${\ displaystyle \ left | x \ sin {\ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} - 0 \ right | \ leq | x | <\ varepsilon}$ , что завершает доказательство.

Пример 2

Докажем утверждение, что

lim x → ax 2 = a 2 {\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} x ^ {2} = a ^ {2}}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} x ^ {2} = a ^ {2}}

для любого действительного числа $a {\ displaystyle a}$ $a$ .

Пусть $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ . Мы найдем $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\ delta>0$ таким образом, что $| x - a | < δ {\displaystyle |x-a|<\delta }$ ${\ displaystyle | xa | <\ delta}$ подразумевает $| x 2 - a 2 | < ε {\displaystyle |x^{2}-a^{2}|<\varepsilon }$ ${\ displaystyle | x ^ {2} -a ^ {2} | <\ varepsilon}$ .

Начнем с факторизации:

| х 2 - а 2 | = | (х - а) (х + а) | = | х - а | | х + а |. {\ displaystyle | x ^ {2} -a ^ {2} | = | (xa) (x + a) | = | xa || x + a |.}

{\ displaystyle | x ^ {2} -a ^ {2} | = | (xa) (x + a) | = | xa || x + a |.}

Мы понимаем, что $| x - a | {\ displaystyle | xa |}$ ${\ displaystyle | xa |}$ является термин, ограниченный $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ , поэтому мы можем предположить границу 1, а затем выбрать что-то меньшее, чем для $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ .

Итак, мы предположим, $| x - a | < 1 {\displaystyle |x-a|<1}$ ${\ displaystyle | xa | <1}$ . Поскольку $| x | - | y | ≤ | x - y | {\ displaystyle | x | - | y | \ leq | xy |}$ ${\ displaystyle | x | - | y | \ leq | xy |}$ в целом выполняется для действительных чисел $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ , мы имеем

| x | - | a | ≤ | x - a | < 1. {\displaystyle |x|-|a|\leq |x-a|<1.}

{\ displaystyle | x | - | a | \ leq | xa | <1.}

Таким образом,

| x | < 1 + | a |. {\displaystyle |x|<1+|a|.}

{\ displaystyle | x | <1+ | a |.}

Таким образом, через неравенство треугольника ity,

| х + а | ≤ | х | + | а | < 2 | a | + 1. {\displaystyle |x+a|\leq |x|+|a|<2|a|+1.}

{\ displaystyle | x + a | \ leq | x | + | a | <2 | a | +1.}

Таким образом, если мы предположим, что

| х - а | < ε 2 | a | + 1 {\displaystyle |x-a|<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}}

{\ displaystyle | x-a | <{\ frac {\ varepsilon} {2 | a | +1}}}

, затем

| х 2 - а 2 | < ε. {\displaystyle |x^{2}-a^{2}|<\varepsilon.}

{\ displaystyle | x ^ {2} -a ^ {2} | <\ varepsilon.}

Таким образом, мы полагаем

δ = min (1, ε 2 | a | + 1). {\ displaystyle \ delta = \ min {\ left (1, {\ frac {\ varepsilon} {2 | a | +1}} \ right)}.}

{\ displaystyle \ delta = \ min {\ left (1, {\ frac {\ varepsilon} {2 | a | +1}} \ right)}.}

Итак, если $| х - а | < δ {\displaystyle |x-a|<\delta }$ ${\ displaystyle | xa | <\ delta}$ , затем

| х 2 - а 2 | = | х - а | | х + а | < ε 2 | a | + 1 ( | x + a |) < ε 2 | a | + 1 ( 2 | a | + 1) = ε. {\displaystyle {\begin{aligned}|x^{2}-a^{2}|=|x-a||x+a|\\<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}(|x+a|)\\<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}(2|a|+1)\\=\varepsilon.\end{aligned}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} | x ^ {2} -a ^ { 2} | = | xa || x + a | \\ <{\ frac {\ varepsilon} {2 | a | +1}} (| x + a |) \\ <{\ frac {\ varepsilon } {2 | a | +1}} (2 | a | +1) \\ = \ varepsilon. \ End {align}}}

Таким образом, мы нашли $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ такое, что $| х - а | < δ {\displaystyle |x-a|<\delta }$ ${\ displaystyle | xa | <\ delta}$ подразумевает $| х 2 - а 2 | < ε {\displaystyle |x^{2}-a^{2}|<\varepsilon }$ ${\ displaystyle | x ^ {2} -a ^ {2} | <\ varepsilon}$ . Таким образом, мы показали, что

lim x → ax 2 = a 2 {\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} x ^ {2} = a ^ {2}}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} x ^ {2} = a ^ {2}}

для любого действительного числа $a {\ displaystyle a}$ $a$ .

Пример 3

Давайте докажем утверждение, что

lim x → 5 (3 x - 3) = 12. {\ displaystyle \ lim _ {x \ to 5} (3x-3) = 12.}

\ lim_ {x \ to 5} (3x - 3) = 12.

Это легко показать с помощью графического понимания предела, и как таковое служит прочной основой для введения в доказательство. Согласно формальному определению, приведенному выше, оператор предела является правильным тогда и только тогда, когда ограничивает $x {\ displaystyle x}$ $x$ до $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ единиц из $c {\ displaystyle c}$ $c$ неизбежно ограничит $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ до $ε {\ displaystyle \ varepsilon }$ $\ varepsilon$ единиц $L {\ displaystyle L}$ $L$ . В данном конкретном случае это означает, что утверждение истинно тогда и только тогда, когда ограничивает $x {\ displaystyle x}$ $x$ до $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ единиц из 5 неизбежно ограничит

3 x - 3 {\ displaystyle 3x-3}

3x - 3

до $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ единиц из 12. Общий ключ к демонстрации этого значения состоит в том, чтобы продемонстрировать, как $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ и $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ должны быть связаны друг с другом, так что импликация сохраняется. Математически мы хотим показать, что

0 < | x − 5 | < δ ⇒ | ( 3 x − 3) − 12 | < ε. {\displaystyle 0<|x-5|<\delta \ \Rightarrow \ |(3x-3)-12|<\varepsilon.}

0 <| х - 5 | <\ delta \ \ Rightarrow \ | (3x - 3) - 12 | <\ varepsilon.

Упрощение, разложение и деление 3 в правой части импликации дает

| х - 5 | < ε / 3, {\displaystyle |x-5|<\varepsilon /3,}

| х - 5 | <\ varepsilon / 3,

который немедленно дает требуемый результат, если мы выбираем

δ = ε / 3. {\ Displaystyle \ delta = \ varepsilon / 3.}

\ delta = \ varepsilon / 3.

Таким образом, доказательство завершено. Ключ к доказательству заключается в способности человека выбирать границы в $x {\ displaystyle x}$ $x$ , а затем заключать соответствующие границы в $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ , которые в этом случае были связаны с коэффициентом 3, что полностью связано с наклоном 3 в строке

y = 3 x - 3. {\ displaystyle y = 3x- 3.}

y = 3x - 3.

Непрерывность

Функция f называется непрерывной в c, если она определена в c и ее значение в c равно пределу f, когда x приближается к c. :

lim x → cf (x) = f (c). {\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = f (c).}

\ lim_ {x \ to c } е (х) = е (с).

$(ε, δ) {\ displaystyle (\ varepsilon, \ delta)}$ $(\ varepsilon, \ delta)$ для непрерывной функции можно получить из определения предела, заменив $0 < | x − c | < δ {\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ ${\ displaystyle 0 <| xc | <\ delta}$ на $| х - с | < δ {\displaystyle |x-c|<\delta }$ ${\ displaystyle | xc | <\ delta}$ , чтобы гарантировать, что f определено в c и равно пределу.

Функция f называется непрерывной на интервале I, если она непрерывна в каждой точке c из I.

Сравнение с бесконечно малым определением

Кейслер доказало, что гиперреальный определение предела уменьшает сложность логического квантора на два квантора. А именно, $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ сходится к пределу L, поскольку $x {\ displaystyle x}$ $x$ стремится к тогда и только тогда, когда значение $f (x + e) {\ displaystyle f (x + e)}$ $f(x+e)$ бесконечно близко к L для каждого бесконечно малого e. (См. Микропрерывность для соответствующего определения непрерывности, в основном из-за Коши.)

Учебники по исчислению бесконечно малых, основанные на подходе Робинсона, предоставляют определения непрерывности, производной и интеграла в стандартных точках в терминах бесконечно малых. После того, как такие понятия, как непрерывность, были подробно объяснены с помощью подхода, использующего микропрерывность, также представлен эпсилон-дельта-подход. Карел Хрбачек утверждает, что определения непрерывности, производной и интеграции в нестандартном анализе в стиле Робинсона должны основываться на методе ε – δ, чтобы охватить также нестандартные значения входных данных. Błaszczyk et al. утверждают, что микропрерывность полезна для разработки прозрачного определения однородной непрерывности, и охарактеризовать критику Хрбачека как «сомнительное сетование». Грбачек предлагает альтернативный нестандартный анализ, который (в отличие от анализа Робинсона) имеет множество «уровней» бесконечно малых, так что пределы на одном уровне могут быть определены в терминах бесконечно малых на следующем уровне.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Grabiner, Judith V. (1982). Истоки строгого исчисления Коши. Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-14374-3.
Шубринг, Герт (2005). Конфликты между обобщением, строгостью и интуицией: числовые концепции, лежащие в основе развития анализа во Франции и Германии 17–19 веков (иллюстрировано изд.). Springer. ISBN 978-0-387-22836-5.