Конвергенция Куратовского

редактировать

В математике, Конвергенция Куратовского - это понятие сходимости для последовательностей (или, в более общем смысле, сетей ) компактных подмножеств метрические пространства, названные в честь Казимежа Куратовского. Интуитивно понятно, что предел Куратовского последовательности наборов - это то место, где наборы «накапливают ».

Содержание

1 Определения
2 Свойства
3 Связанные понятия
4 Примеры
5 См. Также
6 Ссылки

Определения

Пусть (X, d) быть метрическим пространством, где X - множество, а d - функция расстояния между точками X.

Для любой точки x ∈ X и любого непустого компактное подмножество A ⊆ X, определите расстояние между точкой и подмножеством:

d (x, A) = inf {d (x, a) | a ∈ A} {\ displaystyle d (x, A) = \ inf \ {d (x, a) | a \ in A \}}

d (x, A) = \ inf \ {d (x, a) | a \ in A \}

Для любой последовательности таких подмножеств A n ⊆ X, n ∈ N, предел Куратовского ниже (или нижний предел закрытия ) A n как n → ∞ равно

L in → ∞ ⁡ A n = {x ∈ X | lim sup N → ∞ d (Икс, A N) знак равно 0} {\ Displaystyle \ mathop {\ mathrm {Li}} _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ left \ {x \ in X \ left | \ limsup _ {n \ to \ infty} d (x, A_ {n}) = 0 \ right. \ right \}}

{\ mathop {{\ mathrm {Li}}}} _ {{n \ to \ infty} } A _ {{n}} = \ left \ {x \ in X \ left | \ limsup _ {{n \ to \ infty}} d (x, A _ {{n}}) = 0 \ right. \ Right \ }

= {x ∈ X | для всех открытых окрестностей U точки x, U ∩ A n ≠ ∅ при достаточно большом n}; {\ displaystyle = \ left \ {x \ in X \ left | {\ begin {matrix} {\ t_dv {для всех открытых окрестностей}} U {\ t_dv {of}} x, \\ U \ cap A_ {n} \ neq \ emptyset {\ t_dv {для достаточно большого размера}} n \ end {matrix}} \ right. \ right \};}

= \ left \ { x \ in X \ left | {\ begin {matrix} {\ t_dv {для всех открытых окрестностей}} U {\ t_dv {of}} x, \\ U \ cap A _ {{n}} \ neq \ emptyset {\ t_dv {для достаточно большого размера}} n \ end {matrix}} \ right. \ right \};

предел Куратовского выше (или верхний закрытый предел ) из A n при n → ∞ равно

L sn → ∞ ⁡ A n = {x ∈ X | lim inf n → ∞ d (x, A n) знак равно 0} {\ displaystyle \ mathop {\ mathrm {Ls}} _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ left \ {x \ in X \ left | \ liminf _ {n \ to \ infty} d (x, A_ {n}) = 0 \ right. \ right \}}

{\ mathop {{\ mathrm {Ls}}}} _ {{n \ to \ infty}} A _ {{n}} = \ left \ {x \ in X \ left | \ liminf _ {{n \ to \ infty}} d (x, A _ {{n}}) = 0 \ right. \ Right \}

= {x ∈ X | для всех открытых окрестностей U точки x, U ∩ A n ≠ ∅ для бесконечного числа n}. {\ displaystyle = \ left \ {x \ in X \ left | {\ begin {matrix} {\ t_dv {для всех открытых окрестностей}} U {\ t_dv {of}} x, \\ U \ cap A_ {n} \ neq \ emptyset {\ t_dv {для бесконечного множества}} n \ end {matrix}} \ right. \ right \}.}

= \ left \ {x \ in X \ left | {\ begin {matrix} {\ t_dv {для всех открытых окрестностей}} U {\ t_dv {of}} x, \\ U \ cap A _ {{n}} \ neq \ emptyset {\ t_dv {для бесконечного множества}} n \ end {matrix}} \ right. \ Right \}.

Если ограничения Куратовского, подчиненное и высшее согласованы (т.е. являются одним и тем же подмножеством X), то их общее значение называется пределом Куратовского множеств A n при n → ∞ и обозначается Lt n → ∞ An.

Определения для общей сети компактных подмножества X проходят mutatis mutandis.

Свойства

Хотя может показаться нелогичным, что нижний предел Куратовского включает верхний предел расстояний, и наоборот, номенклатура становится более очевидной, когда видишь, что для любой последовательности наборов

L in → ∞ ⁡ A n ⊆ L sn → ∞ ⁡ A n. {\ displaystyle \ mathop {\ mathrm {Li}} _ {n \ to \ infty} A_ {n} \ substeq \ mathop {\ mathrm {Ls}} _ {n \ to \ infty} A_ {n}.}

{\ mathop {{\ mathrm {Li}}}} _ {{n \ to \ infty}} A _ {{n}} \ substeq {\ mathop {{\ mathrm {Ls}}}} _ {{n \ to \ infty}} A _ {{n}}.

Т.е. нижний предел - это меньший набор, а верхний предел - больший.

Термины верхний и нижний закрытый предел проистекают из того факта, что Li n → ∞ Anи Ls n → ∞ Anвсегда замкнутые множества в метрической топологии на (X, d).

Связанные понятия

Для метрических пространств X мы имеем следующее:

Сходимость по Куратовскому совпадает со сходимостью in.
сходимость по Куратовскому слабее, чем сходимость в топологии Вьеториса.
Сходимость по Куратовскому слабее, чем сходимость в метрике Хаусдорфа.
Для компактных метрических пространств X сходимость по Куратовскому совпадает с обеими сходимостями в метрике Хаусдорфа и топологии Виеториса.
Сходимость по Куратовски эпиграфов расширенных вещественнозначных функций эквивалентна $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ -сходимость этих функций.

Примеры

Пусть A n будет нулевым набором sin (nx) как функции x от R до самого себя

A n = {x ∈ R | sin ⁡ (n x) = 0}. {\ displaystyle A_ {n} = {\ big \ {} x \ in \ mathbf {R} {\ big |} \ sin (nx) = 0 {\ big \}}.}

A _ {{n}} = {\ big \ {} x \ in {\ mathbf {R}} {\ big |} \ sin (nx) = 0 {\ big \}}.

Тогда A n сходится в смысле Куратовского ко всей действительной прямой R . Обратите внимание, что в этом случае A n не обязательно должно быть компактным.

См. Также

Ссылки

Kuratowski, Kazimierz (1966). Топология. Тома I и II. Новое издание, переработанное и дополненное. Перевод с французского Я. Яворовски. Нью-Йорк: Academic Press. pp. xx + 560. MR 0217751

Beer, Gerald (1993). Топологии на замкнутых и замкнутых выпуклых множествах. Математика и ее приложения. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group. стр. xii + 340.