Теорема Холла – Хигмана

В математической теории групп используется теорема Холла – Хигмана, поскольку Филип Холл и Грэм Хигман (1956, теорема B), описывают возможности минимального многочлена элемента порядка степени простого числа для представления p-разрешимая группа.

Предположим, что G - p-разрешимая группа без нормальных p-подгрупп, точно действующая в векторном пространстве над полем характеристики p. Если x - элемент порядка p группы G, то минимальный многочлен имеет вид (X - 1) для некоторого r ≤ p. Теорема Холла – Хигмана утверждает, что имеет место одна из следующих трех возможностей:

• r = p
• p является простым числом Ферма, а силовские 2-подгруппы группы G неабелевы и r ≥ p - p
• p = 2 и силовские q-подгруппы группы G неабелевы для некоторого простого числа Мерсенна q = 2-1, меньшего 2 и r ≥ 2-2.

Группа SL 2(F3) 3-разрешима (фактически разрешима) и имеет очевидное 2-мерное представление над полем характеристики p = 3, в котором элементы порядка 3 имеют минимальный многочлен (X − 1) с r = 3−1.

• Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы (2-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209
• Холл, П.; Хигман, Грэм (1956), "О p-длине p-разрешимых групп и теоремах редукции для проблемы Бернсайда", Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 6 : 1–42, doi : 10.1112 / plms / s3-6.1.1, MR 0072872