Группа перестановок 3-го ранга

В математике теория конечных групп, группа перестановок 3-го ранга действует транзитивно на множество, так что стабилизатор точки имеет 3 орбиты. Изучение этих групп было начато Хигманом (1964, 1971). Некоторые из спорадических простых групп были обнаружены как группы перестановок 3-го ранга.

Содержание

• 1 Классификация
• 2 Примеры
• 3 Примечания
• 4 Ссылки

Классификация

Все примитивные группы перестановок ранга 3 относятся к одному из следующих классов:

• Кэмерон (1981) классифицировал такие, что $T\; \times \; T\; \le \; G\; \le \; T\; 0\; wr\; \; Z\; /\; 2\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; times\; T\; \backslash \; leq\; G\; \backslash \; leq\; T\_\; \{0\}\; \backslash \; operatorname\; \{\; wr\}\; Z\; /\; 2Z\}$где цоколь T из T 0 простой, а T 0 - это 2-транзитивная группа степень √n.
• Либек (1987) классифицировал тех, у кого есть регулярная элементарная абелева нормальная подгруппа
• Баннай (1971–72) классифицировал тех, чей цоколь является простой знакопеременной группой
• Кантор Либлер (1982) классифицировал группы, цоколь которых является простой классической группой
• Liebeck Saxl (1986) классифицировал группы, цоколь которых представляет собой простую исключительную или спорадическую группу.

Примеры

Если G - любая 4-транзитивная группа, действующая на множестве S, то ее действие на парах элементов S - это группа перестановок ранга 3. В частности, большинство альтернирующих групп, симметрических групп и групп Матье имеют 4-транзитивные действия, поэтому их можно превратить в группы перестановок 3-го ранга.

Проективная общая линейная группа, действующая на прямых в проективном пространстве размерности не менее 3, является группой перестановок ранга 3.

Несколько 3-транспозиционных групп являются группами перестановок 3-го ранга (в действии на транспозиции).

Обычно точечный стабилизатор группы перестановок ранга 3, действующий на одной из орбит, является группой перестановок ранга 3. Это дает несколько "цепочек" групп перестановок ранга 3, таких как цепь Сузуки и цепь, заканчивающаяся группами Фишера.

Некоторые необычные группы перестановок ранга 3 (многие из (Liebeck Saxl 1986)) перечислены ниже.

Для каждой строки в таблице ниже в сетке в столбце с пометкой «размер» число слева от знака равенства представляет собой степень группы перестановок для группы перестановок, упомянутой в строке. В сетке сумма справа от знака равенства показывает длины трех орбит стабилизатора точки группы перестановок. Например, выражение 15 = 1 + 6 + 8 в первой строке таблицы под заголовком означает, что группа перестановок для первой строки имеет степень 15, а длины трех орбит стабилизатора точки перестановки группы составляют 1, 6 и 8 соответственно.

Примечания

Ссылки

• Баннаи, Эйити (1971–72), «Максимальные подгруппы низкого ранга конечных симметрических и знакопеременных групп», Журнал факультета естественных наук. Токийский университет. Раздел IA. Mathematics, 18 : 475–486, ISSN 0040-8980, MR 0357559
• Brouwer, A.E.; Коэн, А. М.; Ноймайер, Арнольд (1989), дистанционно-регулярные графы, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], 18, Берлин, Нью-Йорк: Springer -Verlag, ISBN 978-3-540-50619-5, MR 1002568
• Кэмерон, Питер Дж. (1981), «Конечные группы подстановок и конечные простые группы», Бюллетень Лондонского математического общества, 13 (1): 1–22, CiteSeerX 10.1.1.122.1628, doi : 10.1112 / blms / 13.1.1, ISSN 0024-6093, MR 0599634
• Хигман, Дональд Г. (1964), «Конечные группы перестановок ранга 3» (PDF), Mathematische Zeitschrift, 86(2): 145–156, doi : 10.1007 / BF01111335, ISSN 0025-5874, MR 0186724
• Хигман, Дональд Г. (1971), «Обзор некоторых вопросов и результатов о группах перестановок 3-го ранга», Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970), 1, Gauthier-Villars, стр. 361–365, MR 0427435
• Кантор, Уильям М.. ; Либлер, Роберт А. (1982), «Перестановочные представления ранга 3 конечных классических групп» (PDF), Труды Американского математического общества, 271 (1): 1–71, doi : 10.2307 / 1998750, ISSN 0002-9947, JSTOR 1998750, MR 0648077
• Либек, Мартин В. (1987), «Аффинные группы перестановок третьего ранга», Труды Лондонского математического общества, третья серия, 54 (3): 477–516, CiteSeerX 10.1.1.135.7735, doi : 10.1112 / plms / s3-54.3.477, ISSN 0024-6115, MR 0879395
• Liebeck, Martin W.; Саксл, Янв (1986), «Конечные примитивные группы перестановок третьего ранга», Бюллетень Лондонского математического общества, 18 (2): 165–172, doi : 10.1112 / blms / 18.2.165, ISSN 0024-6093, MR 0818821