Теорема правильного упорядочивания

редактировать

В математике, теорема о правильном порядке, также известная как теорема Цермело, утверждает, что каждое множество может быть хорошо упорядоченным. Множество X хорошо упорядочено по строгому общему порядку, если каждое непустое подмножество X имеет наименьший элемент под порядком. Теорема об упорядочивании вместе с леммой Цорна являются наиболее важными математическими утверждениями, которые эквивалентны аксиоме выбора (часто называемой AC, см. Также Аксиома выбора § Эквиваленты ). Эрнст Цермело ввел аксиому выбора как «неоспоримый логический принцип» для доказательства теоремы о хорошем порядке. Из теоремы об упорядочивании можно сделать вывод, что каждый набор подвержен трансфинитной индукции, что математики считают мощным методом. Одним из известных следствий этой теоремы является парадокс Банаха – Тарского.

Содержание

  • 1 История
  • 2 Доказательство AC
  • 3 Примечания
  • 4 Внешние ссылки

История

Георг Кантор считал теорему о хорошем порядке «фундаментальным принципом мышления». Однако считается трудным или даже невозможным визуализировать упорядочение R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} ; такая визуализация должна включать аксиому выбора. В 1904 г. Дьюла Кёниг утверждал, что доказал, что такой порядок не может существовать. Несколько недель спустя Феликс Хаусдорф обнаружил ошибку в доказательстве. Однако оказалось, что теорема о хорошем порядке эквивалентна выбранной аксиоме в том смысле, что любой из них вместе с аксиомами Цермело – Френкеля достаточно для доказательства другой, в логика первого порядка (то же самое относится к лемме Цорна ). В логике второго порядка, однако, теорема о хорошем упорядочивании строго сильнее, чем аксиома выбора: из теоремы о хорошем порядке можно вывести аксиому выбора, но из аксиомы выбора нельзя вывести теорема о правильном упорядочивании.

Существует хорошо известный анекдот о трех утверждениях и их относительной податливости интуиции:

Аксиома выбора, очевидно, верна, принцип хорошего упорядочения явно ложен, и кто может рассказать о лемме Цорна ?

Доказательство AC

Аксиома выбора может быть доказана с помощью теоремы о хорошем порядке следующим образом.

Чтобы создать функцию выбора для набора непустых множеств, E, возьмите объединение множеств в E и назовите его X. Существует хорошее упорядочение X; пусть R будет таким порядком. Функция, которая с каждым набором S из E связывает наименьший элемент S, как это упорядочено (ограничением на S) R, является функцией выбора для набора E.

Существенным моментом этого доказательства является то, что оно включает только один произвольный выбор, выбор R; применение теоремы о хорошем порядке к каждому члену S из E по отдельности не сработает, поскольку теорема только утверждает существование хорошего упорядочения, и выбор для каждого S хорошего упорядочения не будет проще, чем выбор элемента.

Примечания

  1. ^Кучма, Марек (2009). Введение в теорию функциональных уравнений и неравенств. Берлин: Springer. п. 14. ISBN 978-3-7643-8748-8.
  2. ^Hazewinkel, Michiel (2001). Энциклопедия математики: Приложение. Берлин: Springer. п. 458. ISBN 1-4020-0198-3.
  3. ^ Тьерри, Виалар (1945). Справочник по математике. Нордерштедт: Springer. п. 23. ISBN 978-2-95-519901-5.
  4. ^Георг Кантор (1883), «Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten», Mathematische Annalen 21, стр. 545–591.
  5. ^Шеппард, Барнаби (2014). Логика бесконечности. Издательство Кембриджского университета. п. 174. ISBN 978-1-1070-5831-6.
  6. ^Плоткин, Дж. М. (2005), «Введение в« Концепцию власти в теории множеств »», Хаусдорф на Упорядоченные наборы, История математики, 25, Американское математическое общество, стр. 23–30, ISBN 9780821890516
  7. ^Шапиро, Стюарт (1991). Основания без фундаментализма: аргументы в пользу логики второго порядка. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853391-8.
  8. ^Кранц, Стивен Г. (2002), «Аксиома выбора», в Кранц, Стивен Г. (редактор), Справочник по логике and Proof Techniques for Computer Science, Birkhäuser Boston, pp. 121–126, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0115-1_9, ISBN 9781461201151

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-20 11:10:31
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте