В математике, теорема о правильном порядке, также известная как теорема Цермело, утверждает, что каждое множество может быть хорошо упорядоченным. Множество X хорошо упорядочено по строгому общему порядку, если каждое непустое подмножество X имеет наименьший элемент под порядком. Теорема об упорядочивании вместе с леммой Цорна являются наиболее важными математическими утверждениями, которые эквивалентны аксиоме выбора (часто называемой AC, см. Также Аксиома выбора § Эквиваленты ). Эрнст Цермело ввел аксиому выбора как «неоспоримый логический принцип» для доказательства теоремы о хорошем порядке. Из теоремы об упорядочивании можно сделать вывод, что каждый набор подвержен трансфинитной индукции, что математики считают мощным методом. Одним из известных следствий этой теоремы является парадокс Банаха – Тарского.
Георг Кантор считал теорему о хорошем порядке «фундаментальным принципом мышления». Однако считается трудным или даже невозможным визуализировать упорядочение ; такая визуализация должна включать аксиому выбора. В 1904 г. Дьюла Кёниг утверждал, что доказал, что такой порядок не может существовать. Несколько недель спустя Феликс Хаусдорф обнаружил ошибку в доказательстве. Однако оказалось, что теорема о хорошем порядке эквивалентна выбранной аксиоме в том смысле, что любой из них вместе с аксиомами Цермело – Френкеля достаточно для доказательства другой, в логика первого порядка (то же самое относится к лемме Цорна ). В логике второго порядка, однако, теорема о хорошем упорядочивании строго сильнее, чем аксиома выбора: из теоремы о хорошем порядке можно вывести аксиому выбора, но из аксиомы выбора нельзя вывести теорема о правильном упорядочивании.
Существует хорошо известный анекдот о трех утверждениях и их относительной податливости интуиции:
Аксиома выбора, очевидно, верна, принцип хорошего упорядочения явно ложен, и кто может рассказать о лемме Цорна ?
Аксиома выбора может быть доказана с помощью теоремы о хорошем порядке следующим образом.
Существенным моментом этого доказательства является то, что оно включает только один произвольный выбор, выбор R; применение теоремы о хорошем порядке к каждому члену S из E по отдельности не сработает, поскольку теорема только утверждает существование хорошего упорядочения, и выбор для каждого S хорошего упорядочения не будет проще, чем выбор элемента.