Противопоставление

В логике и математике, противопоставление относится к вывод перехода от условного утверждения к его логически эквивалентному контрапозитивному и связанному с ним методу доказательства, известному как доказательство противопоставлением. У контрапозитива утверждения антецедент и консеквент перевернут и перевернут. Например, противоположностью условного утверждения «Если идет дождь, я ношу пальто», является утверждение «Если я не ношу пальто, значит, дождя не будет». В формулах : противоположность $P\; \to \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; rightarrow\; Q\}$равно $\neg \; Q\; \to \; \neg \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; Q\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; neg\; P\}$. Закон противопоставления гласит, что условное утверждение истинно тогда и только тогда, когда его контрпозитив истинен.

Контрапозитив можно сравнить с тремя другими условными утверждениями, связанными с $P\; \to \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; rightarrow\; Q\}$:

Inversion (инверсия ), $\neg \; P\; \to \; \neg \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; P\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; neg\; Q\}$

"Если не идет дождь, значит, я не ношу пальто ». В отличие от контрапозитива, значение истинности обратного вообще не зависит от того, было ли истинным исходное утверждение или нет, как показано здесь.

Преобразование (обратное ), $Q\; \to \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; \backslash \; rightarrow\; P\}$

«Если я ношу пальто, значит, идет дождь». Обратное на самом деле является противоположностью обратного, и поэтому всегда имеет то же значение истинности, что и обратное (которое, как было сказано ранее, не всегда имеет то же значение истинности, что и исходное предложение).

Отрицание, $\neg \; (P\; \to \; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; (P\; \backslash \; rightarrow\; Q)\}$

«Дело не в том, что если идет дождь, я ношу пальто», или, что то же самое, «Иногда, когда идет дождь, Я не ношу пальто ». Если отрицание верно, то исходное утверждение (и, соответственно, контрапозитив) неверно.

Обратите внимание, что если $P\; \to \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; rightarrow\; Q\}$истинно, и каждому дается, что $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$ложно (т. Е. $\neg \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; Q\}$), то можно логически заключить, что $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$также должно быть ложным (т. е. $\neg \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; P\}$). Это часто называют законом контрапозитива или modus tollens правилом вывода.

• 1 Интуитивное объяснение
• 2 Формальное определение
• 3 Простое доказательство по определению условное
• 4 Простое доказательство от противоречия
• 5 Более строгое доказательство эквивалентности контрапозитивов
• 6 Сравнения
  • 6.1 Примеры
  • 6.2 Истина
• 7 Применение
• 8 Соответствие другим математическим frameworks
  • 8.1 Исчисление вероятностей
  • 8.2 Субъективная логика
• 9 См. также
• 10 Ссылки
• 11 Источники
• 12 Внешние ссылки

В диаграмме Эйлера показано, что если что-то находится в A, это также должно быть в B. Таким образом, мы можем интерпретировать «весь A находится в B» как:

$A\; \to \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; to\; B\}$

Также ясно, что все, что находится вне B (синяя область), не может быть внутри Либо. Это утверждение, которое может быть выражено как:

$\neg \; B\; \to \; \neg \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; B\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; A\}$

, является противоположностью вышеприведенного утверждения. Следовательно, можно сказать, что

$(A\; \to \; B)\; \leftrightarrow \; (\neg \; B\; \to \; \neg \; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; to\; B)\; \backslash \; leftrightarrow\; (\backslash \; neg\; B\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; A)\}$.

На практике эту эквивалентность можно использовать, чтобы упростить доказательство утверждения. Например, если кто-то хочет доказать, что у каждой девушки в Соединенных Штатах (A) каштановые волосы (B), можно попытаться напрямую доказать $A\; \to \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; to\; B\}$, проверив, что у всех девушек в США действительно каштановые волосы, или попытайтесь доказать $\neg \; B\; \to \; \neg \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; B\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; A\}$, проверив, что все девушки без каштановых волос действительно все за пределами США. В частности, если бы можно было найти хотя бы одну девушку без каштановых волос в США, то можно было бы опровергнуть $\neg \; B\; \to \; \neg \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; B\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; A\}$, и эквивалентно $A\; \to \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; to\; B\}$.

В общем, для любого утверждения, где A подразумевает B, not B всегда подразумевает не A. В результате, доказательство или опровержение любого из этих утверждений автоматически доказывает или опровергает друг друга, поскольку они логически эквивалентны друг другу.

Предложение Q подразумевается предложением P, когда выполняется следующее соотношение:

$(P\; \to \; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; (P\; \backslash \; to\; Q)\}$

Здесь говорится, что «если Р, то Q» или «если Сократ - человек, то Сократ - человек». В таком условном выражении P - это антецедент, а Q - это консеквент. Одно утверждение является противоположным другому только тогда, когда его антецедент является отрицаемым следствием другого, и наоборот. Таким образом, контрапозитив обычно принимает форму:

$(\neg \; Q\; \to \; \neg \; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; neg\; Q\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; P)\}$.

То есть «Если не-Q, то не-P», или, более ясно, «Если Q не так, то P не так». В нашем примере это передается как «Если Сократ не человек, то Сократ не человек». Говорят, что это утверждение противоречит оригиналу и логически эквивалентно ему. Из-за их логической эквивалентности, утверждение одного эффективно утверждает другое; когда одно значение истина, другое также истинно, а когда одно ложно, другое также ложно.

Строго говоря, противопоставление может существовать только в двух простых условных выражениях. Однако противопоставление может существовать и в двух сложных универсальных условных выражениях, если они похожи. Таким образом, $\forall \; x\; (P\; x\; \to \; Q\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; \{x\}\; (P\; \{x\}\; \backslash \; to\; Q\; \{x\})\}$, или «Все P являются Q», противоположно $\forall \; Икс\; (\neg \; Q\; x\; \to \; \neg \; P\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; \{x\}\; (\backslash \; neg\; Q\; \{x\}\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; P\; \{x\})\}$, или «Все не-Q не-Ps.»

В логике первого порядка условное обозначение определяется как:

$A\; \to \; B\; \leftrightarrow \; \neg \; A\; \vee \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; to\; B\; \backslash ,\; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash ,\; \backslash \; neg\; A\; \backslash \; lor\; B\}$

, который может быть эквивалентен его контрпозитиву, следующим образом:

$\neg \; A\; \vee \; В\; \leftrightarrow \; В\; \vee \; \neg \; A\; \leftrightarrow \; \neg \; B\; \to \; \neg \; A\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; neg\; A\; \backslash \; lor\; B\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; leftrightarrow\; B\; \backslash \; lor\; \backslash \; neg\; A\; \backslash \backslash \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash \; отриц\; В\; \backslash \; к\; \backslash \; отриц\; А\; \backslash \; конец\; \{выровнен\}\}\}$

Пусть:

$(A\; \to \; B)\; \wedge \; \neg \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; to\; B)\; \backslash \; land\; \backslash \; neg\; B\}$

Принято, что если A истинно, то B истинно, и также дано, что B не истинно. Затем мы можем показать, что A не может быть истинным от противного. Ибо, если бы A было истинным, то B также должно было бы быть истинным (по Modus Ponens ). Однако указано, что B неверно, поэтому мы получаем противоречие. Следовательно, A неверно (при условии, что мы имеем дело с двухвалентными утверждениями, которые либо истинны, либо ложны):

$(A\; \to \; B)\; \to \; (\neg \; B\; \to \; \neg \; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; to\; B)\; \backslash \; to\; (\backslash \; neg\; B\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; A)\}$

Мы можем применить тот же процесс в обратном порядке, начиная с предположений, что:

$(\neg \; B\; \to \; \neg \; A)\; \wedge \; A\; \{\; \backslash \; displaystyle\; (\backslash \; neg\; B\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; A)\; \backslash \; land\; A\}$

Здесь мы также знаем, что B либо истинно, либо нет. Если B неверно, то A также неверно. Однако предполагается, что A истинно, поэтому предположение, что B не истинно, приводит к противоречию, что означает, что это не тот случай, когда B неверно. Следовательно, B должно быть истинным:

$(\neg \; B\; \to \; \neg \; A)\; \to \; (A\; \to \; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; neg\; B\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; A)\; \backslash \; to\; (A\; \backslash \; to\; B)\}$

Объединение два доказанных утверждения вместе, мы получаем искомую логическую эквивалентность между условным условием и его контрпозитивом:

$(A\; \to \; B)\; \equiv \; (\neg \; B\; \to \; \neg \; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; to\; B)\; \backslash \; Equiv\; (\backslash \; neg\; B\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; A)\}$

Логическая эквивалентность двух утверждений означает, что они истинны вместе или ложны вместе. Чтобы доказать, что контрапозитивы логически эквивалентны, нам нужно понимать, когда материальный подтекст является истинным или ложным.

$P\; \to \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; to\; Q\}$

Это ложь, только если P истинно, а Q ложно. Следовательно, мы можем свести это предложение к утверждению «Ложно, когда P, а не-Q» (т.е. «Верно, когда не тот случай, когда P, а не-Q»):

$\neg \; (P\; \wedge \; \neg \; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; (P\; \backslash \; land\; \backslash \; neg\; Q)\}$

Элементы конъюнкции можно поменять местами без эффекта (по коммутативности ):

$\neg \; (\neg \; Q\; \wedge \; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; (\backslash \; neg\; Q\; \backslash \; land\; P)\}$

Мы определяем $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$как равное «$\neg \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; Q\}$", а $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$как равное $\neg \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; P\}$(из это, $\neg \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; S\}$равно $\neg \; \neg \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; \backslash \; neg\; P\}$, что равно просто $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$):

$\neg \; (R\; \wedge \; \neg \; S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; (R\; \backslash \; land\; \backslash \; neg\; S)\}$

Это гласит: «Это не случай, когда (R истинно, а S ложно) ", что является определением материального условного условия. Затем мы можем сделать эту замену:

$R\; \to \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; to\; S\}$

Возвращая R и S обратно в P и Q, мы получаем желаемый контрапозитив:

$\neg \; Q\; \to \; \neg \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; Q\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; P\}$

Примеры

Возьмите утверждение «Все красные объекты имеют цвет». Это можно эквивалентно выразить как «Если объект красный, значит, он имеет цвет».

• контрапозитив : «Если объект не имеет цвета, то он не красный». Это логически следует из нашего первоначального утверждения и, как и оно, очевидно, верно.
• Обратное : «Если объект не красный, то он не имеет цвета». Синий объект не является красным и все еще имеет цвет. Следовательно, в этом случае обратное значение ложно.
• обратное : «Если объект имеет цвет, то он красный». Объекты могут иметь другие цвета, поэтому обратное нашему утверждению неверно.
• отрицание : «Существует красный объект, который не имеет цвета». Это утверждение неверно, потому что исходное утверждение, которое оно отрицает, истинно.

Другими словами, контрапозитив логически эквивалентен заданному условному выражению , но его недостаточно для двусмысленного.

Точно так же возьмем утверждение «Все четырехугольники имеют четыре стороны» или эквивалентное выражение «Если многоугольник является четырехугольником, то у него четыре стороны».

• контрапозитив : «Если многоугольник не имеет четырех сторон, то это не четырехугольник». Это следует логически, и, как правило, контрапозитивы разделяют значение истинности своего условного выражения.
• обратное : «Если многоугольник не является четырехугольником, то он не имеет четырех сторон ". В этом случае, в отличие от последнего примера, верно обратное утверждение.
• обратное : «Если многоугольник имеет четыре стороны, то это четырехугольник». Опять же, в этом случае, в отличие от последнего примера, верно обратное утверждение.
• отрицание : «Существует по крайней мере один четырехугольник, у которого нет четырех сторон». Это утверждение явно неверно.

Поскольку утверждение и обратное верны, оно называется двусмысленным и может быть выражено как «Многоугольник является четырехугольником тогда и только тогда, когда, у него четыре стороны. "(фраза, если и только если, иногда сокращается как iff.) То есть наличие четырех сторон необходимо для того, чтобы быть четырехугольником, и одного достаточно, чтобы считать его четырехугольником.

Истина

• Если утверждение истинно, то его контрпозитив истинен (и наоборот).
• Если утверждение ложно, то его контрпозитив ложно (и наоборот).
• Если обратное утверждение верно, то его обратное верно (и наоборот).
• Если обратное утверждение ложно, то его обратное неверно (и наоборот).
• Если отрицание утверждения ложно, то утверждение истинно (и наоборот).
• Если утверждение (или его противоположность) и обратное (или обратное) оба истинны или оба ложны, то оно известно как логическое двусмысленное выражение.

Поскольку контрапозитив утверждения всегда имеет то же значение истинности (истинность или ложность), что и само утверждение, он может быть мощным инструментом для доказательства математических теорем (особенно если истинность контрапозитива установить легче, чем истинность самого утверждения). доказательство противопоставлением (контрапозитив) - это прямое доказательство контрапозитива утверждения. Однако косвенные методы, такие как доказательство противоречия, также могут использоваться с противопоставлением, как, например, в доказательстве иррациональности квадратного корня из 2. По определению рационального числа можно сделать следующее утверждение: «Если $2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$рационально, то оно может быть выражается в виде несократимой дроби ". Это утверждение истина, потому что это повторение определения. Противоположным этому утверждению является «Если $2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$не может быть выражено как несократимая дробь, то это нерационально». Этот контрапозитив, как и исходное утверждение, тоже верен. Следовательно, если можно доказать, что $2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$не может быть выражено в виде несократимой дроби, тогда должно быть так, что $2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$не является рациональным числом. Последнее можно доказать от противного.

В предыдущем примере для доказательства теоремы использовалось противоположное определение. Можно также доказать теорему, доказав противоположность утверждения теоремы. Чтобы доказать, что если натуральное число N является неквадратным числом, его квадратный корень иррационален, мы можем эквивалентным образом доказать его противоположность: если натуральное число N имеет рациональный квадратный корень, то N квадратное число. Это можно показать, установив √N равным рациональному выражению a / b, где a и b - положительные целые числа без общего простого множителя, и возведя в квадрат, чтобы получить N = a / b, и отметив, что, поскольку N - положительное целое число, b = 1 так что N = a, квадратное число.

Исчисление вероятностей

Противопоставление представляет собой экземпляр теоремы Байеса, который в определенной форме может быть выражен как:

$Pr\; (\neg \; P\; \mid \; \neg \; Q)\; =\; Pr\; (\neg \; Q\; \mid \; \neg \; P)\; a\; (\neg \; P)\; Pr\; (\neg \; Q\; \mid \; \neg \; P)\; a\; (\neg \; P)\; +\; Pr\; (\neg \; Q\; \mid \; P)\; a\; (P)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Pr\; (\backslash \; lnot\; P\; \backslash \; mid\; \backslash \; lnot\; Q)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Pr\; (\backslash \; lnot\; Q\; \backslash \; mid\; \backslash \; lnot\; P)\; \backslash ,\; a\; (\backslash \; lnot\; P)\}\; \{\backslash \; Pr\; (\backslash \; lnot\; Q\; \backslash \; mid\; \backslash \; lnot\; P)\; \backslash ,\; a\; (\backslash \; lnot\; P)\; +\; \backslash \; Pr\; (\backslash \; lnot\; Q\; \backslash \; mid\; P)\; \backslash ,\; a\; (P)\}\}\}$.

В приведенном выше уравнении условная вероятность $Pr\; (\neg \; Q\; \mid \; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pr\; (\backslash \; lnot\; Q\; \backslash \; mid\; P)\}$обобщает логическое утверждение $P\; \to \; \neg \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; to\; \backslash \; lnot\; Q\}$, т.е. в дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ мы также можем присвоить утверждению любую вероятность. Термин $a\; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (P)\}$обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) для $П\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\}$. Предположим, что $Pr\; (\neg \; Q\; \mid \; P)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pr\; (\backslash \; lnot\; Q\; \backslash \; mid\; P)\; =\; 1\}$эквивалентно $P\; \to \; \neg \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; to\; \backslash \; lnot\; Q\}$ИСТИНА, и что $Pr\; (\neg \; Q\; \mid \; P)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pr\; (\backslash \; lnot\; Q\; \backslash \; mid\; P)\; =\; 0\}$эквивалентно $P\; \to \; \neg \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; to\; \backslash \; lnot\; Q\}$ЛОЖНО. Тогда легко увидеть, что $Pr\; (\neg \; P\; \mid \; \neg \; Q)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pr\; (\backslash \; lnot\; P\; \backslash \; mid\; \backslash \; lnot\; Q)\; =\; 1\}$, когда $Pr\; (\; Q\; \mid \; P)\; знак\; равно\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Pr\; (Q\; \backslash \; mid\; P)\; =\; 1\}$т.е. когда $P\; \to \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; to\; Q\}$ИСТИНА. Это потому, что $Pr\; (\neg \; Q\; \mid \; P)\; =\; 1\; -\; Pr\; (Q\; \mid \; P)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pr\; (\backslash \; lnot\; Q\; \backslash \; mid\; P)\; =\; 1-\; \backslash \; Pr\; (Q\; \backslash \; mid\; P)\; =\; 0\; \}$так, чтобы дробь в правой части приведенного выше уравнения была равна 1, и, следовательно, $Pr\; (\neg \; P\; \mid \; \neg \; Q)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pr\; (\backslash \; lnot\; P\; \backslash \; mid\; \backslash \; lnot\; Q)\; =\; 1\}$, что эквивалентно $\neg \; Q\; \to \; \neg \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lnot\; Q\; \backslash \; to\; \backslash \; lnot\; P\}$ИСТИНА. Таким образом, теорема Байеса представляет собой обобщение противопоставления.

Субъективная логика

Противопоставление представляет собой пример субъективной теоремы Байеса в субъективной логике выражается как:

$(\omega \; P\; |\; ~\; QA,\; \omega \; P\; |\; ~\; \neg \; QA)\; =\; (\omega \; Q\; |\; PA,\; \omega \; Q\; |\; \neg \; PA)\; \varphi \; ~\; a\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; omega\; \_\; \{P\; \{\backslash \; tilde\; \{\; |\}\}\; Q\}\; ^\; \{A\},\; \backslash \; omega\; \_\; \{P\; \{\backslash \; tilde\; \{|\}\}\; \backslash \; lnot\; Q\}\; ^\; \{A\})\; =\; (\backslash \; omega\; \_\; \{Q\; |\; P\}\; ^\; \{A\},\; \backslash \; omega\; \_\; \{\; Q\; |\; \backslash \; lnot\; P\}\; ^\; \{A\})\; \backslash ,\; \{\backslash \; widetilde\; \{\backslash \; phi\; \backslash ,\}\}\; \backslash ,\; a\_\; \{P\}\; \backslash ,\}$,

где $(\omega \; Q\; |\; PA,\; \omega \; Q\; |\; \neg \; PA)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; omega\; \_\; \{Q\; |\; P\}\; ^\; \{A\},\; \backslash \; omega\; \_\; \{Q\; |\; \backslash \; lnot\; P\}\; ^\; \{A\})\}$обозначает пару биномиальных условных мнений, предоставленных источником $А\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Параметр $a\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{P\}\}$обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) для $P\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; P\}$. Пара перевернутых условных мнений обозначается $(\omega \; P\; |\; ~\; QA,\; \omega \; P\; |\; ~\; \neg \; QA)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; omega\; \_\; \{P\; \{\backslash \; tilde\; \{|\}\}\; Q\}\; ^\; \{A\},\; \backslash \; omega\; \_\; \{P\; \{\backslash \; tilde\; \{|\}\}\; \backslash \; lnot\; Q\}\; ^\; \{A\})\}$. Условное мнение $\omega \; Q\; |\; PA\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{Q\; |\; P\}\; ^\; \{A\}\}$обобщает логический оператор $P\; \to \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; to\; Q\}$, т.е. В дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ источнику $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$может быть присвоено любое субъективное мнение по поводу утверждения. Случай, когда $\omega \; Q\; \mid \; PA\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{Q\; \backslash \; mid\; P\}\; ^\; \{A\}\}$является абсолютно ИСТИННЫМ мнением, эквивалентен источнику $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \}$говоря, что $P\; \to \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; to\; Q\}$ИСТИНА, и случай, когда $\omega \; Q\; \mid \; PA\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{\; Q\; \backslash \; mid\; P\}\; ^\; \{A\}\}$является абсолютно ЛОЖНЫМ мнением эквивалентно источнику $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, в котором говорится, что $P\; \to \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; to\; Q\}$- ЛОЖЬ. В случае, когда условное мнение $\omega \; Q\; |\; PA\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{Q\; |\; P\}\; ^\; \{A\}\}$абсолютно ИСТИНА оператор субъективной теоремы Байеса $\varphi \; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widetilde\; \{\backslash \; phi\; \backslash ,\}\}\; \}$из субъективной логики дает АБСОЛЮТНО ЛОЖНОЕ условное мнение $\omega \; P\; |\; ~\; \neg \; Q\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{P\; \{\backslash \; widetilde\; \{|\}\}\; \backslash \; lnot\; Q\}\; ^\; \{A\}\}$и тем самым абсолютно ИСТИННО условное мнение $\omega \; \neg \; P\; |\; ~\; \neg \; QA\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{\backslash \; lnot\; P\; \{\backslash \; widetilde\; \{|\}\}\; \backslash \; lnot\; Q\}\; ^\; \{A\}\}$, что эквивалентно $\neg \; Q\; \to \; \neg \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lnot\; Q\; \backslash \; to\; \backslash \; lnot\; P\}$истинно. Следовательно, субъективная теорема Байеса представляет собой обобщение как противопоставления, так и теоремы Байеса.

• Reductio ad absurdum

• Audun Jøsang, 2016, Субъективная логика; Формализм для рассуждений в условиях неопределенности Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1

• СМИ, связанные с противопоставлением в Wikimedia Commons