Логическая двусмысленная

редактировать
Диаграмма Венна из P ↔ Q {\ displaystyle P \ leftrightarrow Q}P \ leftrightarrow Q . (истинная часть в красный)

В логике и математике, логический двусмысленный, иногда известный как материальный двусмысленный, является логическая связка, используемая для соединения двух операторов P {\ displaystyle P}P и Q {\ displaystyle Q}Q для формирования оператора «P {\ displaystyle P}P тогда и только тогда, когда Q {\ displaystyle Q}Q ", где P {\ displaystyle P}P известен как антецедент, и Q {\ displaystyle Q}Q как последующий. Часто это сокращенно обозначают как «P {\ displaystyle P}P iff Q {\ displaystyle Q}Q ». Оператор обозначается двуглавой стрелкой (↔ или ⇔), префиксом E "Epq" (в нотации Лукасевича или нотации Бохенского ), знаком равенства (=), эквивалентности знак (≡) или EQV. Это логически эквивалентно (P → Q) ∧ (Q → P) {\ displaystyle (P \ rightarrow Q) \ land (Q \ rightarrow P)}{\ displaystyle ( P \ rightarrow Q) \ land (Q \ rightarrow P)} и (P ∧ Q) ∨ (¬ P ∧ ¬ Q) {\ displaystyle (P \ land Q) \ lor (\ neg P \ land \ neg Q)}{\ display style (P \ land Q) \ lor (\ neg P \ land \ neg Q)} , а XNOR ( исключающее ни) логический оператор, что означает «оба или ни один».

Семантически единственный случай, когда логическая двусмысленность отличается от материальной условной, - это случай, когда гипотеза ложна, но вывод верен. В этом случае результат будет истинным для условного, но ложным для двусмысленного.

В концептуальной интерпретации P = Q {\ displaystyle P = Q}P = Q означает " Все P {\ displaystyle P}P - это Q {\ displaystyle Q}Q , а все Q {\ displaystyle Q}Q - это P {\ displaystyle P}P ". Другими словами, наборы P {\ displaystyle P}P и Q {\ displaystyle Q}Q совпадают: они идентичны. Однако это не означает, что P {\ displaystyle P}P и Q {\ displaystyle Q}Q должны иметь одно и то же значение (например, P {\ displaystyle P}P может быть «равносторонним трехугольником», а Q {\ displaystyle Q}Q может быть «равносторонним треугольником»). При формулировке в виде предложения антецедент является подлежащим, а следствие - предикатом универсального утвердительного суждения (например, во фразе «все люди смертны», «люди» являются подлежащим, а «смертны» "является предикатом).

В пропозициональной интерпретации P ↔ Q {\ displaystyle P \ leftrightarrow Q}P \ leftrightarrow Q означает, что P {\ displaystyle P}P подразумевает Q {\ displaystyle Q}Q и Q {\ displaystyle Q}Q подразумевает P {\ displaystyle P}P ; другими словами, предложения логически эквивалентны в том смысле, что оба они либо вместе истинны, либо вместе ложны. Опять же, это не означает, что они должны иметь одно и то же значение, поскольку P {\ displaystyle P}P может быть «треугольник ABC имеет две равные стороны» и Q {\ displaystyle Q}Q может быть «треугольник ABC имеет два равных угла». В общем, антецедент - это предпосылка или причина, а следствие - это следствие. Когда импликация переводится как гипотетическое (или условное) суждение, антецедент называется гипотезой (или условием), а следствие - тезисом.

Обычный способ демонстрации двусмысленного выражения формы P ↔ Q {\ displaystyle P \ leftrightarrow Q}P \ leftrightarrow Q - продемонстрировать, что P → Q {\ displaystyle P \ rightarrow Q}P \ rightarrow Q и Q → P {\ displaystyle Q \ rightarrow P}Q \ rightarrow P по отдельности (из-за его эквивалентности соединению двух обратных условных выражений ). Еще один способ продемонстрировать ту же двусмысленность - продемонстрировать, что P → Q {\ displaystyle P \ rightarrow Q}P \ rightarrow Q и ¬ P → ¬ Q {\ displaystyle \ neg P \ rightarrow \ neg Q}\ neg P \ rightarrow \ neg Q .

Когда оба члена двусмысленного выражения являются предложениями, его можно разделить на два условных выражения, одно из которых называется теоремой, а другое - обратным. Таким образом, всякий раз, когда теорема и обратная теорема верны, у нас есть двоякое условие. Простая теорема порождает импликацию, антецедентом которой является гипотеза, а следствием - тезис теоремы.

Часто говорят, что гипотеза является достаточным условием тезиса, и что тезис является необходимым условием гипотезы. То есть достаточно, чтобы гипотеза была верной, чтобы тезис был верным, в то время как необходимо, чтобы тезис был верным, если гипотеза верна. Когда теорема и обратная ей теория верны, ее гипотеза считается необходимым и достаточным условием тезиса. То есть гипотеза является одновременно причиной и следствием тезиса.

Содержание

  • 1 Определение
    • 1.1 Таблица истинности
    • 1.2 Диаграммы Венна
  • 2 Свойства
  • 3 Правила вывода
    • 3.1 Двуусловное введение
    • 3.2 Двуусловное исключение
  • 4 Разговорная речь использование
  • 5 См. также
  • 6 Ссылки
  • 7 Внешние ссылки

Определение

Логическое равенство (также известное как двусмысленное) - это операция над двумя логические значения, обычно значения двух предложений , которые дают значение истина тогда и только тогда, когда оба операнда ложны или оба операнда верны.

Таблица истинности

Следующая таблица истинности для P ↔ Q {\ displaystyle P \ leftrightarrow Q}P \ leftrightarrow Q (также записывается как P ≡ Q {\ displaystyle P \ Equiv Q}P \ Equiv Q , P = Q {\ displaystyle P = Q}P = Q или P EQ Q ):

P {\ displaystyle P}P Q {\ displaystyle Q}Q P ↔ Q {\ displaystyle P \ leftrightarrow Q}{\ displaystyle P \ leftrightarrow Q}
TTT
TFF
FTF
FFT

Если задействовано более двух операторов, их сочетание с ↔ {\ displaystyle \; \ leftrightarrow}{\ displaystyle \; \ leftrightarrow} может быть неоднозначный. Например, выражение

x 1 ↔ x 2 ↔ x 3 ↔... ↔ xn {\ displaystyle x_ {1} \ leftrightarrow x_ {2} \ leftrightarrow x_ {3} \ leftrightarrow... \ leftrightarrow x_ {n}}{\ displaystyle x_ {1} \ leftrightarrow x_ {2} \ leftrightarrow x_ {3} \ leftrightarrow... \ leftrightarrow x_ {n}}

может интерпретироваться как

(((x 1 ↔ x 2) ↔ x 3) ↔...) ↔ xn {\ displaystyle (((x_ {1} \ leftrightarrow x_ {2}) \ leftrightarrow x_ {3}) \ leftrightarrow...) \ leftrightarrow x_ {n}}{\ displaystyle (((x_ {1} \ leftrightarrow x_ {2}) \ leftrightarrow x_ {3}) \ leftrightarrow...) \ leftrightarrow x_ {n}} ,

или может быть истолковано как утверждение, что все xi {\ displaystyle x_ {i}}x_ {i} вместе являются истинными или вместе ложными:

(x 1 ∧... ∧ xn) ∨ (¬ x 1 ∧... ∧ ¬ xn) {\ displaystyle (x_ {1} \ land... \ land x_ {n}) \ lor (\ neg x_ {1} \ land... \ land \ neg x_ {n})}{\ Displaystyle (x_ {1} \ земля... \ земля x_ {n}) \ lor (\ neg x_ {1} \ land... \ land \ neg x_ {n})}

Как оказалось, эти два оператора одинаковы только тогда, когда задействованы ноль или два аргумента. Фактически, следующие таблицы истинности показывают один и тот же битовый шаблон только в строке без аргумента и в строках с двумя аргументами:

x 1 ↔... ↔ xn {\ displaystyle ~ x_ {1} \ leftrightarrow... \ leftrightarrow x_ {n}}~ x_ {1} \ leftrightarrow... \ leftrightarrow x_ {n} . означает эквивалент. ¬ (¬ x 1 ⊕... ⊕ ¬ xn) {\ displaystyle \ neg ~ (\ neg x_ {1} \ oplus... \ oplus \ neg x_ {n})}\ neg ~ (\ neg x_ {1} \ oplus... \ oplus \ neg x_ {n}) .. Центральная диаграмма Венна ниже,. и линия (ABC) в этой матрице. представляют та же операция. x 1 ↔... ↔ xn {\ displaystyle ~ x_ {1} \ leftrightarrow... \ leftrightarrow x_ {n}}~ x_ {1} \ leftrightarrow... \ leftrightarrow x_ {n} . означает сокращение от. (x 1 ∧.... Xn) {\ displaystyle (~ x_ {1} \ земля... \ земля x_ {n} ~)}{\ displaystyle (~ x_ {1} \ land... \ land x_ {n} ~)} . ∨ (¬ x 1 ∧... ¬ xn) {\ displaystyle \ lor ~ (\ neg x_ {1} \ land... \ land \ neg x_ {n})}{\ displaystyle \ lor ~ (\ neg x_ {1} \ land... \ land \ neg x_ {n})} .. Диаграмма Венна непосредственно ниже,. и линия (ABC) в этой матрице. представляют одну и ту же операцию.

Левая диаграмма Венна ниже, и линии (AB) в этих матрицах представляют одну и ту же операцию.

Диаграммы Венна

Красные области означают истину (как в Venn0001.svg для и ).

Venn1001.svg
Двуусловное выражение из двух утверждений. - это отрицание исключающего или :
A ↔ B ⇔ ¬ (A ⊕ B) {\ displaystyle ~ A \ leftrightarrow B ~~ \ Leftrightarrow ~~ \ neg (A \ oplus B)}~ A \ leftrightarrow B ~~ \ Leftrightarrow ~~ \ neg (A \ oplus B)

Venn1001.svg ⇔ ¬ {\ displaystyle \ Leftrightarrow \ neg}\ Leftrightarrow \ neg Venn0110.svg

Venn 0110 1001.svg
Двузначное и. исключающее или трех операторов. дают одинаковый результат:.

A ↔ B ↔ C ⇔ {\ displaystyle ~ A \ leftrightarrow B \ leftrightarrow C ~~ \ Leftrightarrow}~ A \ leftrightarrow B \ leftrightarrow C ~~ \ Leftrightarrow . A ⊕ B ⊕ C {\ displaystyle ~ A \ oplus B \ oplus C}~ A \ oplus B \ oplus C

Venn 1001 1001.svg ↔ {\ displaystyle \ leftrightarrow}\ leftrightarrow Venn 0000 1111.svg ⇔ {\ displaystyle ~~ \ Leftrightarrow ~~}~~ \ Leftrightarrow ~~

Венн 0110 0110.svg ⊕ {\ displaystyle \ oplus}\ oplus Venn 0000 1111.svg ⇔ {\ displaystyle ~~ \ Leftrightarrow ~~}~~ \ Leftrightarrow ~~ Venn 0110 1001.svg

Venn 1000 0001.svg
Но A ↔ B ↔ C {\ displaystyle ~ A \ leftrightarrow B \ leftrightarrow C}~ A \ leftrightarrow B \ leftrightarrow C . также может использоваться как сокращение. для (A ↔ B) ∧ (B ↔ C) {\ displaystyle (A \ leftrightarrow B) \ land (B \ leftrightarrow C)}{\ displaystyle (A \ leftrightarrow B) \ land (B \ leftrightarrow C)}

Venn 1001 1001.svg ∧ {\ displaystyle \ land}\ land Venn 1100 0011.svg ⇔ {\ displaystyle ~~ \ Leftrightarrow ~~}~~ \ Leftrightarrow ~~ Venn 1000 0001.svg

Свойства

Коммутативность : Да

A ↔ B {\ displaystyle A \ leftrighta rrow B}A \ leftrightarrow B ⇔ {\ displaystyle \ Leftrightarrow}\ Leftrightarrow B ↔ A {\ displaystyle B \ leftrightarrow A}B \ leftrightarrow A
Venn1001.svg ⇔ {\ displaystyle \ Leftrightarrow}\ Leftrightarrow Venn1001.svg

Ассоциативность : Да

A {\ displaystyle ~ A}~A↔ {\ displaystyle ~~~ \ leftrightarrow ~~~}~~~ \ leftrightarrow ~~~ (B ↔ C) {\ displaystyle (B \ leftrightarrow C)}(B \ leftrightarrow C) ⇔ {\ displaystyle \ Leftrightarrow}\ Leftrightarrow (A ↔ B) {\ displaystyle (A \ leftrightarrow B)}(A \ leftrightarrow B) ↔ {\ displaystyle ~~~ \ leftrightarrow ~~~}~~~ \ leftrightarrow ~~~ C {\ displaystyle ~ C}~ C
Venn 0101 0101.svg ↔ {\ displaystyle ~~~ \ leftrightarrow ~~~}~~~ \ leftrightarrow ~~~ Venn 1100 0011.svg ⇔ {\ displaystyle \ Leftrightarrow}\ Leftrightarrow Venn 0110 1001.svg ⇔ {\ displaystyle \ Leftrightarrow}\ Leftrightarrow Venn 1001 1001.svg ↔ {\ displaystyle ~~~ \ leftrightarrow ~~~}~~~ \ leftrightarrow ~~~ Venn 0000 1111.svg

Распределимость : Бикондиционная функция не распределяет по какой-либо двоичной функции (даже самой себе), но логическая дизъюнкция распределяет по двусмысленной.

идемпотентность : нет .

A {\ displaystyle ~ A ~}~ A ~ ↔ {\ displaystyle ~ \ leftrightarrow ~}~ \ leftrightarrow ~ A {\ displaystyle ~ A ~}~ A ~ ⇔ {\ displaystyle \ Leftrightarrow}\ Leftrightarrow 1 {\ displaystyle ~ 1 ~}~ 1 ~ ⇎ {\ displaystyle \ nLeftrightarrow}\ nLeftrightarrow A {\ displaystyle ~ A ~}~ A ~
Venn01.svg ↔ {\ displaystyle ~ \ leftrightarrow ~}~ \ leftrightarrow ~ Venn01.svg ⇔ {\ displaystyle \ Leftrightarrow}\ Leftrightarrow Venn11.svg ⇎ {\ displaystyle \ nLeftrightarrow}\ nLeftrightarrow Venn01.svg

Монотонность : нет

A → B {\ displaystyle A \ rightarrow B}A \ rightarrow B ⇏ {\ displaystyle \ nRightarrow}\ nRightarrow (A ↔ C) {\ displaystyle (A \ leftrightarrow C)}(A \ leftrightarrow C) → {\ displaystyle \ rightarrow}\ rightarrow (B ↔ C) {\ displaystyle (B \ leftrightarrow C)}(B \ leftrightarrow C)
Venn 1011 1011.svg ⇏ {\ displaystyle \ nRightarrow}\ nRightarrow Venn 1101 1011.svg ⇔ {\ displaystyle \ Leftrightarrow}\ Leftrightarrow Venn 1010 0101.svg → {\ displaystyle \ rightarrow}\ rightarrow Venn 1100 0011.svg

Сохранение истины: Да . Когда все входные данные верны, выход верен.

A ∧ B {\ displaystyle A \ land B}A \ land B ⇒ {\ displaystyle \ Rightarrow}\ Rightarrow A ↔ B {\ displaystyle A \ leftrightarrow B}A \ leftrightarrow B
Venn0001.svg ⇒ {\ displaystyle \ Rightarrow}\ Rightarrow Venn1001.svg

Сохранение ложности: Нет . Когда все входы ложны, выход не ложный.

A ↔ B {\ displaystyle A \ leftrightarrow B}A \ leftrightarrow B ⇏ {\ displaystyle \ nRightarrow}\ nRightarrow A ∨ B {\ displaystyle A \ lor B}A \ lor B
Venn1001.svg ⇏ {\ displaystyle \ nRightarrow}\ nRightarrow Venn0111.svg

Спектр Уолша : (2,0,0,2)

Не линейность : 0 (функция линейна)

Правила вывода

Как и все связки в логике первого порядка, у биконусловия есть правила вывода, которые регулируют его использование в формальных доказательствах.

Двуусловное введение

Двуусловное введение позволяет сделать вывод, что если B следует из A, а A следует из B, то A тогда и только тогда, когда B.

Например, из утверждений «если я дышу, значит я жив» и «если я жив, то я дышу», можно сделать вывод, что «я дышу если и только если я жив »или, что то же самое,« я жив тогда и только тогда, когда я дышу ». Или более схематично:

B → A A → B ∴ A ↔ B
B → A A → B ∴ B ↔ A

Двуусловное исключение

Двуусловное исключение позволяет вывести условное из двусмысленного: если A ↔ B истинно, то можно вывести либо A → B или B → A.

Например, если это правда, что я дышу тогда и только тогда, когда я жив, то это правда, что если я дышу, то я жив; Точно так же верно, что если я жив, то я дышу. Или, более схематично:

A ↔ B ∴ A → B
A ↔ B ∴ B → A

Разговорное употребление

Одно недвусмысленное выражение biconditional в простом английском языке означает принять форму «b, если a и a, если b» - если стандартная форма «a if and only if b» не используется. Чуть более формально можно было бы также сказать, что «b подразумевает a, а a подразумевает b» или «a необходимо и достаточно для b». Простое английское «if '» иногда может использоваться как двоякое (особенно в контексте математического определения). В этом случае при интерпретации этих слов необходимо учитывать окружающий контекст.

Например, утверждение «Я куплю вам новый кошелек, если он вам понадобится» может быть истолковано как двоякое условие, поскольку говорящий не предполагает, что покупка кошелька будет правильным результатом, независимо от того, кошелек нужен (как в условном). Однако «облачно, если идет дождь», как правило, не подразумевается как двоякое условие, поскольку может быть облачно, даже если нет дождя.

См. Также

  • Философский портал
  • Психологический портал

Ссылки

Внешние ссылки

  • Средства массовой информации, относящиеся к Logical biconditional на Wikimedia Commons

Эта статья включает материал из Biconditional на PlanetMath, на который распространяется лицензия под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike.

Последняя правка сделана 2021-05-28 05:33:07
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте