Доказательство контрапозитивом

В логике , контрапозитив в условном выражении формируется путем отрицания обоих терминов и изменения направления вывода. Более конкретно, противоположность утверждения «если А, то В» является «если не В, то не А.» Утверждение и его контрапозитив логически эквивалентны в том смысле, что если утверждение истинно, то его контрапозитив истинен, и наоборот.

В математике, доказательство контрапозитивом, или доказательство противопоставлением, - это правило вывода, используемое в доказательствах, где условное утверждение выводится из его контрапозитива. Другими словами, вывод «если A, то B» делается путем построения доказательства утверждения «если не B, то не A». Чаще всего этот подход предпочтительнее, если контрапозитив легче доказать, чем само исходное условное утверждение.

Логически обоснованность контрапозитивного доказательства может быть продемонстрирована с помощью следующей истины. таблица, где показано, что p → q и $\neg \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lnot\}$q → $\neg \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lnot\; \}$pиспользуют одни и те же значения истинности во всех сценариях:

p	q	$\neg \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lnot\}$p	$\neg \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lnot\}$q	p → q	$\neg \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lnot\}$q → $\neg \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lnot\}$p
T	T	F	F	T	T
T	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

Пусть x будет целым числом.

Чтобы доказать: если x четно, то x четно.

Хотя прямое доказательство может быть дано, мы решили доказать это утверждение противопоставлением. Противоположность приведенному выше утверждению:

Если x не четно, то x не четно.

Последнее утверждение можно доказать следующим образом: предположим, что x не четно, тогда x нечетно. Произведение двух нечетных чисел нечетно, следовательно, x = x · x нечетно. Таким образом, x не является четным.

Доказав контрапозитив, мы можем сделать вывод, что исходное утверждение верно.

• Противопоставление
• Modus tollens
• Reductio ad absurdum
• Доказательство от Противоречие : взаимосвязь с другими методами доказательства.

В Викибуке Математическое доказательство есть страница по теме: Доказательство контрапозитивом