Обратный (логика)

В логике обратный - это тип условного предложения, которое является немедленный вывод сделан из другого условного предложения. Более конкретно, учитывая условное предложение формы $P\; \to \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; rightarrow\; Q\}$, обратное относится к предложению $\neg \; P\; \to \; \neg \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; P\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; neg\; Q\}$. Поскольку обратное является противоположным обратным, обратное и обратное логически эквивалентны друг другу.

Например, замена логических переменных предложениями на естественном языке, обратное к следующему условному утверждению

«Если идет дождь, то Сэм встретит Джека в кино»

будет

«Если не будет дождя, то Сэм не встретит Джека в кино».

Обратное обратное, то есть обратное $\neg \; P\; \to \; \neg \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; P\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; neg\; Q\}$, есть $\neg \; \neg \; P\; \to \; \neg \; \neg \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; \backslash \; neg\; P\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; neg\; \backslash \; neg\; Q\}$, и поскольку двойное отрицание любого оператора эквивалентно исходному утверждению в классической логике, обратное к обратному логически эквивалентно исходному условному условию $P\; \to \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; rightarrow\; Q\}$. Таким образом, можно сказать, что $\neg \; P\; \to \; \neg \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; P\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; neg\; Q\}$и $P\; \to \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; rightarrow\; Q\}$противоположны друг другу. Аналогично, $P\; \to \; \neg \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; neg\; Q\}$и $\neg \; P\; \to \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; P\; \backslash \; rightarrow\; Q\}$противоположны друг другу.

Обратное и обратное условное выражение логически эквивалентно друг другу, так же как условное выражение и его противоположность логически эквивалентны друг другу. Но обратное условию нельзя вывести из самого условия (например, условное выражение может быть истинным, а его обратное - ложным). Например, предложение

«Если не будет дождя, Сэм не встретит Джека в кино»

не может быть выведено из предложения

«Если идет дождь, Сэм встретит Джека в кино»

потому что в случае отсутствия дождя дополнительные условия могут побудить Сэма и Джека встретиться в кино, например:

«Если не будет дождя и Джек жаждет попкорна, Сэм встретит Джека в кино».

В традиционной логике, где есть четыре именованных типа категориальных предложений, только формы A (т. Е. «Все S суть P») и E («Все S не являются P ") имеют обратное. Чтобы найти обратное этим категориальным суждениям, нужно: заменить подлежащее и сказуемое перевернутого их соответствующими противоречиями и изменить количество с универсального на частное. То есть:

• «Все S не являются P» (форма A) становится «Некоторые не-S не являются P».
• «Все S не являются P» (форма E) становится «Некоторые не- S не являются не-P ».

См. Также

• Противопоставление
• Конверс (логика)
• Противодействие
• Транспонирование (логика)

Примечания