Оптическое уравнение

Целочисленные решения оптического уравнения 1 / a + 1 / b = 1 / c для 1 ≤ a, b ≤ 99. число в круге - c. В файле SVG наведите указатель мыши на кружок, чтобы увидеть его решение.

В теории чисел оптическое уравнение - это уравнение, которое требует суммы обратные двух положительных целых чисел a и b, чтобы равняться обратной величине третьего положительного целого числа c:

$1\; a\; +\; 1\; b\; =\; 1\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{b\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\}\}.\}$

Умножение обеих частей на abc показывает, что оптическое уравнение эквивалентно диофантову уравнению (полиномиальному уравнению от нескольких целочисленных переменных).

• 1 Решение
• 2 Внешний вид в геометрии
• 3 Внешний вид
  • 3.1 Уравнение тонкой линзы
  • 3.2 Электротехника
  • 3.3 Складывание бумаги
  • 3.4 Среднее гармоническое
• 4 Связь с Великой теоремой Ферма
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Все решения в целых числах a, b, c даны в терминах положительных целочисленных параметров m, n, k формулой

$a\; =\; км\; (m\; +\; n),\; b\; =\; kn\; (m\; +\; n),\; c\; =\; kmn\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; km\; (m\; +\; n),\; \backslash \; quad\; b\; =\; kn\; (m\; +\; n),\; \backslash \; quad\; c\; =\; kmn\}$

где m и n - взаимно простые.

Перекрещенные лестницы. $1\; ч\; =\; 1\; А\; +\; 1\; В.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{h\}\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{A\}\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{B\}\}.\}$

Оптическое уравнение, разрешающее, но не требующее целочисленных решений, появляется в нескольких контекстах в геометрии.

В двухцентровом четырехугольнике, inradius r, окружной радиус R и расстояние x между центром и центром описанной окружности связаны по теореме Фусса в соответствии с

$1\; (R\; -\; x)\; 2\; +\; 1\; (R\; +\; x)\; 2\; =\; 1\; r\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(Rx)\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(R\; +\; x)\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\},\}$

и расстояния Inventor I из вершин A, B, C, D связаны с внутренним радиусом согласно

$1\; IA\; 2\; +\; 1\; IC\; 2\; =\; 1\; IB\; 2\; +\; 1\; ID\; 2\; =\; 1\; r\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{IA\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{IC\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{IB\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{ID\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

В задаче о перекрещенных лестницах две лестницы закреплены на дне вертикальных стен пересекаются на высоте h и опираются на противоположные стены на высотах A и B. Имеем $1\; h\; =\; 1\; A\; +\; 1\; B.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{h\}\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{A\}\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{B\}\}.\}$Более того, формула продолжает выполняться если стены наклонные и все три измерения сделаны параллельно стенам.

Пусть P - точка на описанной окружности равностороннего треугольника ABC на вспомогательной дуге AB. Пусть a - расстояние от P до A, а b - расстояние от P до B. На прямой, проходящей через P и дальнюю вершину C, пусть c будет расстоянием от P до стороны треугольника AB. Тогда $1\; a\; +\; 1\; b\; =\; 1\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{a\}\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{b\}\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{c\}\}.\}$

В трапеции , нарисуйте отрезок, параллельный двум параллельным сторонам, проходящий через пересечение диагоналей и имеющий концы на непараллельных сторонах. Тогда, если мы обозначим длины параллельных сторон как a и b, а половину длины отрезка, проходящего через диагональное пересечение, как c, сумма обратных величин a и b будет равна обратной величине c.

особый случай, когда целые числа, обратные значения которых принимаются, должны быть квадратными числами. появляется двумя способами в контексте прямоугольных треугольников. Во-первых, сумма квадратов высот от катетов (эквивалентно квадратов самих катетов) равна обратной величине квадрата высоты от гипотенузы. Это справедливо независимо от того, являются ли числа целыми или нет; есть формула (см. здесь ), которая генерирует все целые регистры. Во-вторых, также в прямоугольном треугольнике сумма квадрата, обратного стороне одного из двух вписанных квадратов, и квадрата, обратного гипотенузы, равна квадрату, обратному стороне другого вписанного квадрата.

Стороны семиугольного треугольника, который имеет общие вершины с правильным семиугольником, удовлетворяют оптическому уравнению.

Уравнение тонкой линзы

Расстояния в уравнении тонкой линзы

Для линзы незначительной толщины и фокусного расстояния f расстояния от линзы до объекта, S 1, и от линзы до ее изображения, S 2, связаны формулой тонкой линзы :

$1\; S\; 1\; +\; 1\; S\; 2\; =\; 1\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{S\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{S\_\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\}\}\}$.

Электротехника

Сравнение эффективное сопротивление, индуктивность и емкость двух резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, включенных последовательно и параллельно

Компоненты электрической цепи или электронной схемы могут быть соединены в так называемой последовательной или параллельной конфигурации. Например, общее значение сопротивления R t двух резисторов с подключенными сопротивлениями R 1 и R 2 параллельно следует оптическое уравнение:

$1\; R\; 1\; +\; 1\; R\; 2\; =\; 1\; R\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{R\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{R\_\; \{2\}\}\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{R\_\; \{t\}\}\}\}$.

Аналогично, общая индуктивность Ltдвух катушек индуктивности с индуктивностями L 1 и L 2, соединенные параллельно, задается следующим образом:

$1\; L\; 1\; +\; 1\; L\; 2\; =\; 1\; L\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{L\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{L\_\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{L\_\; \{t\}\}\}\}$

и общая емкость Ctдвух конденсаторов с емкостями C 1 и C 2, соединенные последовательно, выглядит следующим образом:

$1\; C\; 1\; +\; 1\; C\; 2\; =\; 1\; C\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{C\_\; \{1\}\; \}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{C\_\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{C\_\; \{t\}\}\}\}$.

Складывание бумаги

Складывание прямоугольного листа бумаги втрое с помощью скрещенных Задача о лестницах

Оптическое уравнение задачи о скрещенных лестницах можно применить для складывания прямоугольной бумаги на три равные части. Одна сторона (изображенная здесь левая) частично сложена пополам и защемлена, чтобы оставить след. Пересечение линии от этой отметки до противоположного угла с диагональю составляет ровно одну треть от нижнего края. Затем верхний край может быть загнут вниз до пересечения.

Среднее гармоническое

Среднее гармоническое для a и b равно $2\; 1\; a\; +\; 1\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{b\}\}\}\}\}$или 2c. Другими словами, c - половина гармонического среднего значений a и b.

Последняя теорема Ферма утверждает, что сумма двух целых чисел, каждое из которых возведено в одну и ту же целую степень n, не может равняться другому целому числу в степени n, если n>2. Это означает, что никакие решения оптического уравнения не имеют всех трех целых чисел, равных совершенных степеней с одинаковой степенью n>2. Если $1\; xn\; +\; 1\; yn\; =\; 1\; zn,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{x\; ^\; \{n\}\}\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{y\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{z\; ^\; \{n\}\}\},\}$затем умножение на $(xyz)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (xyz)\; ^\; \{n\}\}$даст $(yz)\; n\; +\; (xz)\; n\; =\; (xy)\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; (yz)\; ^\; \{n\}\; +\; (xz)\; ^\; \{n\}\; =\; (xy)\; ^\; \{n\},\}$что невозможно по Последней теореме Ферма.

• гипотезу Эрдеша – Штрауса, другое диофантово уравнение, включающее суммы обратных целых чисел
• Суммы обратных значений