Проблема с перекрещенными лестницами

Проблема скрещенных лестниц - это головоломка неизвестного происхождения, которая появлялась в различных публикациях и регулярно снова появляется на веб-страницах и в обсуждениях Usenet.

• 1 Проблема
• 2 Решение
  • 2.1 Первый метод
  • 2.2 Второй метод
• 3 Целочисленные решения
• 4 Применение для фальцовки бумаги
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Перекрещенные лестницы длин a и b. h - половина среднего гармонического A и B; эквивалентно, обратные для A и B суммируются до обратной величины h (оптическое уравнение ). Даны a, b и h, найдите w.

Две лестницы длиной a и b лежат напротив друг друга через переулок, как показано на рисунке. Лестницы пересекаются на высоте h над полом переулка. Какая ширина аллеи?

Мартин Гарднер представляет и обсуждает проблему в своей книге математических головоломок, опубликованной в 1979 году, и цитирует ссылки на нее еще в 1895 году. Проблема скрещенных лестниц может появляться в различных формах, с вариациями названия, с использованием различной длины и высоты, или запрос необычных решений, таких как случаи, когда все значения являются целыми числами. Его очарование приписывают кажущейся простоте, которая может быстро превратиться в «алгебраический беспорядок» (характеристика, приписываемая Гарднером).

Описание проблемы подразумевает, что w>0, что a>w и b>w, что h>0, и что A>h, B>h, где A и B - высота стен, на которые наклонены стороны длиной b и a соответственно (как на приведенном выше графике).

Оба приведенных ниже метода решения основаны на том свойстве, что $1\; A\; +\; 1\; B\; =\; 1\; h,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{A\}\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{B\}\; \}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{h\}\},\}$что можно увидеть следующим образом:

Разделите базовую линию на две части в точке, где она пересекает $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \backslash ,\}$и вызовите левую и правую части $w\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{1\}\; \backslash ,\}$и $w\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{2\; \}\; \backslash ,\}$соответственно. Угол, где $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash ,\}$встречается с $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash ,\}$, является общим для двух подобных треугольников с основаниями $w.\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash ,\}$и $w\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{1\}\; \backslash ,\}$соответственно. Угол, где $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \backslash ,\}$встречается с $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash ,\}$, является общим для двух похожих треугольников с основаниями $w.\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash ,\}$и $w\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{2\}\; \backslash ,\}$соответственно. Это говорит нам, что

$B\; w\; =\; hw\; 1\; и\; A\; w\; =\; hw\; 2,\; где\; w\; 1>0,\; w\; 2>0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{w\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{h\}\; \{\; w\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{w\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{h\}\; \{w\_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{где\}\}\; \backslash \; quad\; w\_\; \{1\}>0,\; w\_\; \{2\}>0,\}$

который затем мы можем переупорядочить (используя $w\; 1\; +\; w\; 2\; =\; w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{1\}\; +\; w\_\; \{2\}\; =\; w\}$), чтобы получить

$1\; A\; +\; 1\; B\; =\; 1\; h.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{A\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{B\; \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\}\}.\}$

Первый метод

Два утверждения теоремы Пифагора (см. рисунок выше)

$A\; 2\; +\; w\; 2\; знак\; равно\; b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{2\}\; +\; w\; ^\; \{2\}\; =\; b\; ^\; \{2\}\}$

и

$B\; 2\; +\; w\; 2\; =\; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; ^\; \{2\}\; +\; w\; ^\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\}$

можно вычесть одно из другого, чтобы исключить w, и результат можно объединить с $1\; A\; +\; 1\; B\; =\; 1\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{\; 1\}\; \{A\}\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{B\}\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{h\}\}\}$с попеременно A o r B решается, чтобы получить уравнения четвертой степени

$A\; 4\; -\; 2\; h\; A\; 3\; +\; (h\; -\; A)\; 2\; (a\; 2\; -\; b\; 2)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{4\}\; -2hA\; ^\; \{3\}\; +\; (hA)\; ^\; \{2\}\; (a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\})\; =\; 0,\}$

$B\; 4\; -\; 2\; h\; B\; 3\; +\; (h\; -\; B)\; 2\; (b\; 2\; -\; a\; 2)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; ^\; \{4\}\; -2hB\; ^\; \{3\}\; +\; (hB)\; ^\; \{2\}\; (b\; ^\; \{2\}\; -a\; ^\; \{2\})\; =\; 0.\}$

Это могут быть решается алгебраически или численно для высот стен A и B, а теорема Пифагора для одного из треугольников может использоваться для решения для ширины w.

Второй метод

Задача может быть сведена к четвертичной уравнение x (x - c) - 1 = 0, которое может быть решено методами аппроксимации, как предлагает Гарднер, или квартика может быть решена в замкнутой форме с помощью метода Феррари. Как только x получен, легко вычисляется ширина переулка. Ниже приводится вывод квартики вместе с желаемой шириной в единицах решения четвертой степени. Обратите внимание, что запрошенное неизвестное, w, не появляется непосредственно в большинстве производных.

Из $1\; A\; +\; 1\; B\; =\; 1\; час,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{A\}\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{B\}\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{h\}\; \},\}$получаем

$(уравнение\; 1)\; AB\; =\; h\; (A\; +\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{(Eq.\; 1)\}\}\; \backslash \; quad\; AB\; =\; h\; (A\; +\; B)\; \backslash ,\}$.

Используя теорему Пифагора, мы можем видеть, что

$w\; 2\; +\; B\; 2\; =\; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; ^\; \{2\}\; +\; B\; ^\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\}$и $w\; 2\; +\; A\; 2\; =\; b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; ^\; \{2\}\; +\; A\; ^\; \{2\}\; =\; b\; ^\; \{2\}\}$.

путем выделения w² на оба уравнения, мы видим, что

$a\; 2\; -\; B\; 2\; =\; b\; 2\; -\; A\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; -B\; ^\; \{2\}\; =\; b\; ^\; \{2\}\; -A\; ^\; \{2\}\}$

который можно переставить и разложить на

$(уравнение\; 2)\; a\; 2\; -\; b\; 2\; =\; (B\; +\; A)\; (B\; -\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{(Eq.\; 2)\}\}\; \backslash \; quad\; a\; ^\; \{\; 2\}\; -b\; ^\; \{2\}\; =\; (B\; +\; A)\; (BA)\; \backslash ,\}$.

Возвести в квадрат (уравнение 2) и объединить с (уравнением 1)

$(a\; 2\; -\; b\; 2)\; 2\; =\; (B\; +\; A)\; 2\; (B\; -\; A)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; (B\; +\; A)\; ^\; \{2\}\; (BA)\; ^\; \{2\},\; \backslash ,\; \}$

$(a\; 2\; -\; b\; 2)\; 2\; =\; (B\; +\; A)\; 2\; (B\; 2\; -\; 2\; AB\; +\; A\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; (B\; +\; A)\; ^\; \{2\}\; (B\; ^\; \{2\}\; -2AB\; +\; A\; ^\; \{2\})\}$

Переставьте так, чтобы получить

$(a\; 2\; -\; b\; 2)\; 2\; =\; (A\; +\; B)\; 2\; (\; A\; 2\; +\; B\; 2\; -\; 2\; AB)\; \{\backslash \; d\; isplaystyle\; (a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; (A\; +\; B)\; ^\; \{2\}\; (A\; ^\; \{2\}\; +\; B\; ^\; \{2\}\; -2AB)\}$

Тогда

$(a\; 2\; -\; b\; 2)\; 2\; =\; (A\; +\; B)\; 2\; (A\; 2\; +\; B\; 2\; +\; 2\; AB\; -\; 4\; AB),\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; (A\; +\; B)\; ^\; \{2\}\; (A\; ^\; \{2\}\; +\; B\; ^\; \{2\}\; +\; 2AB-4AB),\; \backslash ,\}$

$(a\; 2\; -\; b\; 2)\; 2\; =\; (A\; +\; B)\; 2\; (\; (A\; 2\; +\; 2\; AB\; +\; B\; 2)\; -\; 4\; AB),\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; (A\; +\; B)\; ^\; \{2\}\; ((A\; ^\; \{\; 2\}\; +\; 2AB\; +\; B\; ^\; \{2\})\; -\; 4AB),\; \backslash ,\}$

$(a\; 2\; -\; b\; 2)\; 2\; =\; (A\; +\; B)\; 2\; ((A\; +\; B)\; 2\; -\; 4\; AB),\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; (A\; +\; B)\; ^\; \{2\}\; ((A\; +\; B)\; ^\; \{2\}\; -4AB),\}$

Теперь объедините с (Уравнение 1)

$(a\; 2\; -\; b\; 2)\; 2\; =\; (A\; +\; B)\; 2\; ((A\; +\; B)\; 2-4\; h\; (A\; +\; B)),\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; (A\; +\; B)\; ^\; \{2\}\; ((A\; +\; B)\; ^\; \{2\}\; -4h\; (A\; +\; B)),\; \backslash ,\}$

$(a\; 2\; -\; b\; 2)\; 2\; знак\; равно\; (A\; +\; B)\; 2\; (A\; +\; B)\; ((A\; +\; B)\; -\; 4\; час)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; (A\; +\; B)\; ^\; \{2\}\; (A\; +\; B)\; ((A\; +\; B)\; -4h)\; \backslash ,\}$

Наконец,

$(Ур.\; 3)\; (a\; 2\; -\; b\; 2)\; 2\; =\; (A\; +\; B)\; 3\; (A\; +\; B\; -\; 4\; h)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{(Eq.\; 3)\}\}\; \backslash \; quad\; (a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; (A\; +\; B)\; ^\; \{3\}\; (A\; +\; B-4h)\; \backslash ,\}$

Пусть

$x\; =\; A\; +\; B\; a\; 2\; -\; b\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{A\; +\; B\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\}\}\},\; \backslash ,\}$

$c\; =\; 4\; га\; 2\; -\; b\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4h\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\}\}\}.\; \backslash ,\}$

Тогда

$x\; 3\; (x\; -\; c)\; -\; 1\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; (xc)\; -1\; =\; 0.\; \backslash ,\}$(то же, что и уравнение 3 с перевернутыми сторонами)

Вышеупомянутое уравнение четвертой степени может быть решено относительно x любым доступным способом. Затем ширина переулка определяется с помощью значения, найденного для x: Идентификатор

$A\; +\; B\; =\; A\; +\; A\; 2\; +\; (a\; 2\; -\; b\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; +\; B\; =\; A\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{A\; ^\; \{2\}\; +\; (a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\})\}\}\}$

можно использовать для поиска A, а w, наконец, можно найти с помощью

$w\; =\; b\; 2\; -\; A\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{b\; ^\; \{2\}\; -A\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Уравнение четвертой степени имеет четыре решения, и только одно решение для этого уравнения соответствует представленной задаче. Другое решение - для случая, когда одна лестница (и стена) находится ниже уровня земли, а другая - выше уровня земли. В этом случае лестницы фактически не пересекаются, а их удлинения пересекаются на заданной высоте. Два других решения представляют собой пару сопряженных комплексных чисел. В уравнении явно не определены длины лестниц, только разница их квадратов, поэтому можно принять длину как любое значение, которое заставляет их пересекаться, а расстояние между стенами будет определяться как между тем местом, где лестницы пересекаются со стенами.

Когда расстояние между стенками приближается к нулю, высота перехода приближается к $h\; =\; a\; b\; a\; +\; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; =\; \{\backslash \; frac\; \{ab\}\; \{a\; +\; b\}\}.\}$Это потому, что $1\; A\; +\; 1\; B\; =\; 1\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{A\; \}\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{B\}\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{h\}\}\}$(проверено в начале) подразумевает $h\; =\; ABA\; +\; B,\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{AB\}\; \{A\; +\; B\}\},\}$и когда w стремится к нулю, b переходит к A, а a переходит к B согласно верхней диаграмме.

Поскольку решения уравнения включают квадратные корни, отрицательные корни одинаково допустимы. Их можно интерпретировать как лестницы и стены, находящиеся ниже уровня земли, и, в противоположном смысле, их можно менять местами.

Сложные решения можно интерпретировать как стену A с наклоном влево или вправо и стену B под землей, поэтому пересечение происходит между пристройками к лестницам, как показано для случая h, a, b = 3, 2, 1. Лестницы a и b и $a\; 2\; -\; b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\}$не соответствуют заданным. База w является функцией A, B и h, а комплексные значения A и B могут быть найдены из альтернативной квартики

$x\; 4-2\; hx\; 3\; +\; D\; x\; 2-2\; h\; D\; x\; +\; h\; 2\; D\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{4\}\; -2hx\; ^\; \{3\}\; +\; Dx\; ^\; \{2\}\; -2hDx\; +\; h\; ^\; \{2\}\; D\; =\; 0\}$

, где D равно $a\; 2\; -\; b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\}$для одной стены и $b\; 2\; -\; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{2\}\; -a\; ^\; \{2\}\}$для другого (± 5 в примере). Обратите внимание, что воображаемые решения горизонтальны, а реальные - вертикальны. Величина D находится в решении как действительная часть разности квадратов комплексных координат двух стен. Мнимая часть = 2X aYa= 2X bYb(стенки a и b). Короткая лестница в сложном решении в случае 3,2,1 кажется наклоненной под углом 45 градусов, но на самом деле немного меньше с касательной 0,993. Другие комбинации длины лестницы и высоты кроссовера имеют сопоставимые комплексные решения. Для комбинации 105,87,35 касательная к короткой лестнице составляет приблизительно 0,75.

Существуют решения, в которых все параметры являются целыми числами. Например, (a, b, A, B, w 1, w 2, w, h) = (119, 70, 42, 105, 16, 40, 56, 30). Такие решения включают тройки Пифагора для двух прямоугольных треугольников со сторонами (A, w, b) и (B, w, a) и целочисленные решения оптического уравнения $1\; A\; +\; 1\; B\; =\; 1\; час.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{A\}\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{B\}\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{h\}\}.\}$

Складывание прямоугольника лист бумаги на три части с помощью задачи о скрещенных лестницах

Оптическое уравнение задачи о скрещенных лестницах можно применить для складывания прямоугольной бумаги на три равные части:

1 / ½ + 1/1 = 1 / h ∴ 2 + 1 = 1 / h ∴ h = 1/2 + 1 = 1/3

Одна сторона (левая на рисунке) частично сложена пополам и защемлена, чтобы оставить след. Пересечение линии от этой отметки до противоположного угла (красного) с диагональю (синего цвета) составляет ровно одну треть от нижнего края. Затем верхний край можно загнуть вниз до пересечения.

Точно так же, сложив левую сторону дважды, чтобы получить четверти, можно сложить лист на пять равных частей:

1 / ¼ + 1/1 = 1 / h ′ ∴ 4 + 1 = 1 / h ′ ∴ h ′ = 1/4 + 1 = 1/5

и трижды сложив его, чтобы получить восьмерки, можно сложить лист на девять равных частей и т. Д.:

1 / ⅛ + 1/1 = 1 / h ″ ∴ 8 + 1 = 1 / h ″ ∴ h ″ = 1/8 + 1 = 1/9

• Правая трапеция, четырехугольник с вершинами на вершинах и основаниях двух лестниц

• Теорема о перекрещенных лестницах Джея Варендорфа, Демонстрационный проект Wolfram.
• Решение пересечения загадка с лестницами (с Python, GNU GSL, Octave, Maxima и Sage).