Шестигранный треугольник

Правильный семиугольник (с красными сторонами), его более длинные диагонали (зеленые) и более короткие диагонали (синие). У каждого из четырнадцати конгруэнтных семиугольных треугольников есть одна зеленая сторона, одна синяя сторона и одна красная сторона.

A семиугольный треугольник - это тупой масштабный треугольник, вершины совпадают с первой, второй и четвертой вершинами правильного семиугольника (из произвольной начальной вершины). Таким образом, его стороны совпадают с одной стороной и соседними более короткими и длинными диагоналями правильного семиугольника. Все семиугольные треугольники подобны (имеют одинаковую форму), поэтому вместе они известны как семиугольный треугольник. Его углы имеют меры $\pi \; /\; 7,\; 2\; \pi \; /\; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; /\; 7,2\; \backslash \; pi\; /\; 7,\}$и $4\; \pi \; /\; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; \backslash \; pi\; /\; 7,\}$и это единственный треугольник с углами в соотношении 1: 2: 4. Гептагональный треугольник имеет различные замечательные свойства

• 1 Ключевые точки
• 2 Отношения расстояний
  • 2.1 Стороны
  • 2.2 Высота
  • 2.3 Биссектрисы внутреннего угла
  • 2.4 Окружной радиус, внутренний радиус и exradius
• 3 Ортический треугольник
• 4 Тригонометрические свойства

Девятиточный центр семиугольного треугольника также является его первым точкой Брокара.

вторая точка Брокара лежит на окружности из девяти точек.

центр описанной окружности и точки Ферма семиугольного треугольника образуют равносторонний треугольник.

расстояние между центром описанной окружности O и ортоцентром H задается как

$OH\; =\; R\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; OH\; =\; R\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\},\}$

где R - радиус окружности. Квадрат расстояния от центра в центре I до ортоцентра равен

$IH\; 2\; =\; R\; 2\; +\; 4\; r\; 2\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; IH\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; ^\; \{2\}\; +\; 4r\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\},\}$

где r - внутренний радиус.

Две касательные от ортоцентра к описанной окружности взаимно перпендикулярны.

Стороны

Стороны семиугольного треугольника a < b < c coincide respectively with the regular heptagon's side, shorter diagonal, and longer diagonal. They satisfy

$a\; 2\; =\; c\; (c\; -\; b),\; b\; 2\; =\; a\; (c\; +\; a),\; c\; 2\; =\; b\; (a\; +\; b),\; 1\; a\; Знак\; равно\; 1\; б\; +\; 1\; с\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; a\; ^\; \{2\}\; =\; c\; (cb),\; \backslash \backslash \; [5pt]\; b\; ^\; \{2\}\; =\; a\; (c\; +\; a),\; \backslash \backslash \; [5pt\; ]\; c\; ^\; \{2\}\; =\; b\; (a\; +\; b),\; \backslash \backslash \; [5pt]\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{b\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; c\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

(последнее является оптическим уравнением ) и, следовательно,

$ab\; +\; ac\; =\; bc,\; \{\backslash \; displaystyle\; ab\; +\; ac\; =\; bc,\}$

и

$b\; 3\; +\; 2\; b\; 2\; c\; -\; bc\; 2\; -\; c\; 3\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{3\}\; +\; 2b\; ^\; \{2\}\; c-bc\; ^\; \{2\}\; -c\; ^\; \{3\}\; =\; 0,\}$

$c\; 3\; -\; 2\; c\; 2\; a\; -\; ca\; 2\; +\; a\; 3\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{3\}\; -2c\; ^\; \{2\}\; a-ca\; ^\; \{2\}\; +\; a\; ^\; \{3\}\; =\; 0,\}$

$a\; 3–2\; a\; 2\; b\; -\; ab\; 2\; +\; b\; 3\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{3\}\; -2a\; ^\; \{2\}\; b-ab\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{3\}\; =\; 0.\}$

Таким образом, –b / c, c / a и Все a / b удовлетворяют кубическому уравнению

$t\; 3\; -\; 2\; t\; 2\; -\; t\; +\; 1\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; ^\; \{3\}\; -2t\; ^\; \{2\}\; -t\; +\; 1\; =\; 0.\}$

Однако не существует алгебраических выражений с чисто действительными членами для решений этого уравнения, потому что это пример casus unducibilis.

Примерное соотношение сторон:

$b\; \approx \; 1.80193\; a,\; c\; \approx \; 2.24698\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \backslash \; приблизительно\; 1.80193\; \backslash \; cdot\; a,\; \backslash \; qquad\; c\; \backslash \; приблизительно\; 2.24698\; \backslash \; cdot\; a.\}$

У нас также есть

$a\; 2\; bc,\; -\; b\; 2\; ca,\; -\; c\; 2\; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{2\}\}\; \{bc\}\},\; \backslash \; quad\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\; ^\; \{2\}\}\; \{ca\}\},\; \backslash \; quad\; -\; \{\backslash \; frac\; \{c\; ^\; \{2\}\}\; \{ab\}\}\}$

удовлетворяют кубическому уравнению

$t\; 3\; +\; 4\; t\; 2\; +\; 3\; t\; -\; 1\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; ^\; \{3\}\; +\; 4t\; ^\; \{2\}\; +\; 3t-1\; =\; 0.\}$

У нас также есть

$a\; 3\; bc\; 2,\; -\; b\; 3\; ca\; 2,\; c\; 3\; ab\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{3\}\}\; \{bc\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash \; quad\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; b\; ^\; \{3\}\}\; \{ca\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{c\; ^\; \{3\}\}\; \{ab\; ^\; \{2\}\}\}\}$

удовлетворяют кубическому уравнению

$t\; 3\; -\; t\; 2\; -\; 9\; t\; +\; 1\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; ^\; \{3\}\; -t\; ^\; \{2\}\; -9t\; +\; 1\; =\; 0.\}$

У нас также есть

$a\; 3\; b\; 2\; c,\; b\; 3\; c\; 2\; a,\; -\; c\; 3\; a\; 2\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{3\}\}\; \{b\; ^\; \{2\}\; c\}\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{b\; ^\; \{3\}\}\; \{c\; ^\; \{\; 2\}\; a\}\},\; \backslash \; quad\; -\; \{\backslash \; frac\; \{c\; ^\; \{3\}\}\; \{a\; ^\; \{2\}\; b\}\}\}$

удовлетворяют кубическому уравнению

$t\; 3\; +\; 5\; t\; 2\; -\; 8\; t\; +\; 1\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; ^\; \{3\}\; +\; 5t\; ^\; \{2\}\; -8t\; +\; 1\; =\; 0.\}$

У нас также есть

$b\; 2\; -\; a\; 2\; =\; ac,\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{2\}\; -a\; ^\; \{2\}\; =\; ac,\}$

$c\; 2\; -\; b\; 2\; =\; ab,\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\; =\; ab,\}$

$a\; 2\; -\; c\; 2\; =\; -\; bc,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; -c\; ^\; \{2\}\; =\; -\; bc,\}$

и

$b\; 2\; a\; 2\; +\; c\; 2\; b\; 2\; +\; a\; 2\; c\; 2\; =\; 5.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{b\; ^\; \{2\}\}\; \{a\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{c\; ^\; \{2\}\}\; \{b\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 5.\}$

У нас также есть

$ab\; -\; bc\; +\; ca\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; ab-bc\; +\; ca\; =\; 0,\}$

$a\; 3\; b\; -\; b\; 3\; c\; +\; c\; 3\; a\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{3\}\; bb\; ^\; \{3\}\; c\; +\; c\; ^\; \{3\}\; a\; =\; 0,\}$

$a\; 4\; b\; +\; b\; 4\; c\; -\; c\; 4\; a\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{4\}\; b\; +\; b\; ^\; \{4\}\; cc\; ^\; \{4\}\; a\; =\; 0,\}$

$a\; 11\; b\; 3\; -\; b\; 11\; c\; 3\; +\; c\; 11\; a\; 3\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{11\}\; b\; ^\; \{3\}\; -b\; ^\; \{11\}\; c\; ^\; \{3\}\; +\; c\; ^\; \{11\}\; a\; ^\; \{3\}\; =\; 0.\}$

Других нет (m, n), m, n>0, m, n < 2000 such that

$ambn\; \pm \; bmcn\; \pm \; cman\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{m\}\; b\; ^\; \{n\}\; \backslash \; pm\; b\; ^\; \{m\}\; c\; ^\; \{n\}\; \backslash \; pm\; c\; ^\; \{m\}\; a\; ^\; \{n\}\; =\; 0.\}$

Высота

Высоты h a, h b и h c удовлетворяют

$ha\; =\; hb\; +\; hc\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{a\}\; =\; h\_\; \{b\}\; +\; h\_\; \{c\}\}$

и

$ha\; 2\; +\; hb\; 2\; +\; hc\; 2\; =\; a\; 2\; +\; b\; 2\; +\; c\; 2\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{a\}\; ^\; \{2\}\; +\; h\_\; \{b\}\; ^\; \{2\}\; +\; h\_\; \{c\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\; \}\}\; \{2\}\}.\}$

Высота со стороны b (противоположный угол B) равна половине биссектрисы внутреннего угла $w\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{A\}\}$точки A:

$2\; hb\; =\; w\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; 2h\_\; \{b\}\; =\; w\_\; \{A\}.\}$

Здесь угол A - это наименьший угол, а B - второй наименьший угол.

Биссектрисы внутреннего угла

У нас есть эти свойства биссектрис внутреннего угла $w\; A,\; w\; B,\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{A\},\; w\_\; \{B\; \},\}$и $w\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{C\}\}$углов A, B и C соответственно:

$w\; A\; =\; b\; +\; c,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; w\_\; \{A\}\; =\; b\; +\; c,\}$

$вес\; B\; =\; c\; -\; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{B\}\; =\; ca,\}$

$вес\; C\; =\; b\; -\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{C\}\; =\; ba.\}$

Окружной радиус, внутренний и внешний радиус

Площадь треугольника

$A\; =\; 7\; 4\; R\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; \{4\}\}\; R\; ^\; \{2\},\}$

где R - радиус описанной окружности треугольника.

. Имеем

$a\; 2\; +\; b\; 2\; +\; c\; 2\; =\; 7\; R\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\}\; =\; 7R\; ^\; \{2\}.\}$

У нас также есть

$a\; 4\; +\; b\; 4\; +\; c\; 4\; =\; 21\; R\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{4\}\; +\; b\; ^\; \{4\}\; +\; c\; ^\; \{4\}\; =\; 21R\; ^\; \{4\}.\}$

$a\; 6\; +\; b\; 6\; +\; c\; 6\; =\; 70\; R\; 6.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{6\}\; +\; b\; ^\; \{6\}\; +\; c\; ^\; \{6\}\; =\; 70R\; ^\; \{6\}.\}$

Отношение r / R внутреннего радиуса к радиусу описанной окружности положительное решение кубического уравнения

$8\; x\; 3\; +\; 28\; x\; 2\; +\; 14\; x\; -\; 7\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 8x\; ^\; \{3\}\; +\; 28x\; ^\; \{2\}\; +\; 14x-7\; =\; 0.\}$

In сложение,

$1\; a\; 2\; +\; 1\; b\; 2\; +\; 1\; c\; 2\; =\; 2\; R\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{b\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{R\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

У нас также есть

$1\; a\; 4\; +\; 1\; b\; 4\; +\; 1\; c\; 4\; =\; 2\; R\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\; ^\; \{4\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{b\; ^\; \{4\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{4\}\}\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{2\}\; \{R\; ^\; \{4\}\}\}.\}$

$1\; a\; 6\; +\; 1\; b\; 6\; +\; 1\; c\; 6\; =\; 17\; 7\; R\; 6.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\; ^\; \{6\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{b\; ^\; \{6\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{6\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{17\}\; \{7R\; ^\; \{6\}\}\}.\}$

Как правило, для всех целых n

$a\; 2\; n\; +\; b\; 2\; n\; +\; c\; 2\; n\; =\; g\; (n)\; (2\; R)\; 2\; n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2n\}\; +\; b\; ^\; \{2n\}\; +\; c\; ^\; \{2n\}\; =\; g\; (n)\; (2R)\; ^\; \{2n\}\}$

где

$g\; (-\; 1)\; =\; 8,\; g\; (0)\; =\; 3,\; g\; (1)\; =\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (-1)\; =\; 8,\; \backslash \; quad\; g\; (0)\; =\; 3,\; \backslash \; quad\; g\; (1)\; =\; 7\}$

и

$g\; (n)\; =\; 7\; г\; (n\; -\; 1)\; -\; 14\; г\; (n\; -\; 2)\; +\; 7\; г\; (n\; -\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (n)\; =\; 7g\; (n-1)\; -14g\; (n-2)\; +\; 7g\; (n-3).\}$

У нас также есть

$2\; b\; 2\; -\; a\; 2\; =\; 7\; b\; R,\; 2\; c\; 2\; -\; b\; 2\; =\; 7\; c\; R,\; 2\; a\; 2\; -\; c\; 2\; =\; -\; 7\; a\; R.\; \{\backslash \; displaystyle\; 2b\; ^\; \{2\}\; -a\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; bR,\; \backslash \; quad\; 2c\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; cR,\; \backslash \; quad\; 2a\; ^\; \{2\}\; -c\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; aR.\}$

У нас также есть

$a\; 3\; c\; +\; b\; 3\; a\; -\; c\; 3\; b\; =\; -\; 7\; R\; 4,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{3\}\; c\; +\; b\; ^\; \{3\}\; ac\; ^\; \{3\}\; b\; =\; -7R\; ^\; \{4\},\}$

$a\; 4\; c\; -\; b\; 4\; a\; +\; c\; 4\; b\; =\; 7\; 7\; R\; 5,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{4\}\; cb\; ^\; \{4\}\; a\; +\; c\; ^\; \{4\}\; b\; =\; 7\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; R\; ^\; \{5\},\}$

$a\; 11\; c\; 3\; +\; b\; 11\; a\; 3\; -\; c\; 11\; б\; 3\; =\; -\; 7\; 3\; 17\; R\; 14.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{11\}\; c\; ^\; \{3\}\; +\; b\; ^\; \{11\}\; a\; \{3\}\; -c\; ^\; \{11\}\; b\; ^\; \{3\}\; =\; -\; 7\; ^\; \{3\}\; 17R\; ^\; \{14\}.\}$

эксрадиус ra, соответствующий стороне a, равен радиусу окружности из девяти точек семиугольного треугольника.

семиугольного треугольника ортогональный треугольник с вершинами в основании на высотах, аналогичен семиугольному треугольнику с соотношением подобия 1: 2. Гептагональный треугольник - единственный тупой треугольник, который похож на свой ортогональный треугольник (равносторонний треугольник является единственным острым треугольником).

Различные тригонометрические тождества, связанные с семиугольным треугольником, включают следующие:

$A\; =\; \pi \; 7,\; B\; =\; 2\; \pi \; 7,\; C\; =\; 4\; \pi \; 7.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{7\}\},\; \backslash \; quad\; B\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\},\; \backslash \; quad\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\}.\}$

$соз\; \; A\; =\; b\; /\; 2\; a,\; cos\; \; B\; =\; c\; /\; 2\; b,\; cos\; \; C\; =\; -\; a\; /\; 2\; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; A\; =\; b\; /\; 2a,\; \backslash \; quad\; \backslash \; cos\; B\; =\; c\; /\; 2b,\; \backslash \; quad\; \backslash \; cos\; C\; =\; -a\; /\; 2c,\}$

$cos\; \; A\; cos\; \; B\; cos\; \; C\; =\; -\; 1\; 8,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; A\; \backslash \; cos\; B\; \backslash \; cos\; C\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\},\}$

$соз\; 2\; \; A\; +\; соз\; 2\; \; В\; +\; соз\; 2\; \; C\; =\; 5\; 4,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; A\; +\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; B\; +\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{4\}\},\}$

$cos\; 4\; \; A\; +\; cos\; 4\; \; B\; +\; cos\; 4\; \; C\; =\; 13\; 16,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; ^\; \{4\}\; A\; +\; \backslash \; cos\; ^\; \{4\}\; B\; +\; \backslash \; cos\; ^\; \{4\}\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{13\}\; \{16\}\},\}$

$детская\; кроватка\; \; A\; +\; детская\; кроватка\; \; B\; +\; детская\; кроватка\; \; C\; =\; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; A\; +\; \backslash \; cot\; B\; +\; \backslash \; детская\; кроватка\; C\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\},\}$

$детская\; кроватка\; 2\; \; A\; +\; детская\; кроватка\; 2\; \; B\; +\; детская\; кроватка\; 2\; \; C\; =\; 5,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; ^\; \{2\}\; A\; +\; \backslash \; cot\; ^\; \{2\}\; B\; +\; \backslash \; cot\; ^\; \{2\}\; C\; =\; 5,\}$

$csc\; 2\; \; A\; +\; csc\; 2\; \; B\; +\; csc\; 2\; \; C\; =\; 8,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; csc\; ^\; \{2\}\; A\; +\; \backslash \; csc\; ^\; \{2\}\; B\; +\; \backslash \; csc\; ^\; \{2\}\; C\; =\; 8,\}$

$csc\; 4\; \; A\; +\; csc\; 4\; \; B\; +\; csc\; 4\; \; C\; =\; 32,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; csc\; ^\; \{4\}\; A\; +\; \backslash \; csc\; ^\; \{4\}\; B\; +\; \backslash \; csc\; ^\; \{4\}\; C\; =\; 32,\}$

$сек\; 2\; \; A\; +\; sec\; 2\; \; B\; +\; sec\; 2\; \; C\; =\; 24,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; A\; +\; \backslash \; se\; c\; ^\; \{2\}\; B\; +\; \backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; C\; =\; 24,\}$

$sec\; 4\; \; A\; +\; sec\; 4\; \; B\; +\; sec\; 4\; \; C\; =\; 416,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sec\; ^\; \{4\}\; A\; +\; \backslash \; sec\; ^\; \{4\}\; B\; +\; \backslash \; sec\; ^\; \{4\}\; C\; =\; 416,\}$

$грех\; \; A\; грех\; \; B\; sin\; \; C\; =\; 7\; 8,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; A\; \backslash \; sin\; B\; \backslash \; sin\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; \{8\}\},\}$

$грех\; 2\; \; A\; грех\; 2\; \; B\; грех\; 2\; \; C\; =\; 7\; 64,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; A\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; B\; \backslash \; sin\; ^\; \{\; 2\}\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{64\}\},\}$

$грех\; 2\; \; A\; +\; грех\; 2\; \; B\; +\; sin\; 2\; \; C\; =\; 7\; 4,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; A\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; B\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{4\}\},\}$

$грех\; 4\; \; A\; +\; грех\; 4\; \; B\; +\; грех\; 4\; \; C\; =\; 21\; 16,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{4\}\; A\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{4\}\; B\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{4\}\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{21\}\; \{16\}\},\}$

$tan\; \; A\; tan\; \; B\; tan\; \; C\; =\; tan\; \; A\; +\; tan\; \; В\; +\; загар\; \; С\; =\; -\; 7,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; загар\; А\; \backslash \; загар\; В\; \backslash \; загар\; С\; =\; \backslash \; загар\; А\; +\; \backslash \; загар\; В\; +\; \backslash \; загар\; C\; =\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\},\}$

$загар\; 2\; \; +\; загар\; 2\; \; В\; +\; загар\; 2\; \; C\; =\; 21.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; A\; +\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; B\; +\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; C\; =\; 21.\}$

Кубическое уравнение

$64\; y\; 3\; -\; 112\; y\; 2\; +\; 56\; y\; -\; 7\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 64y\; ^\; \{3\}\; -112y\; ^\; \{2\}\; +\; 56y-7\; =\; 0\}$

имеет решения $sin\; 2\; \; \pi \; 7,\; sin\; 2\; \; 2\; \pi \; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{7\}\},\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\},\}$и $sin\; 2\; \; 4\; \pi \; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\},\}$, которые являются квадратами синусов углов треугольника.

Положительное решение кубического уравнения

$x\; 3\; +\; x\; 2\; -\; 2\; x\; -\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; +\; x\; ^\; \{2\}\; -2x-1\; =\; 0\}$

равно $2\; cos\; \; 2\; \pi \; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\},\}$, что в два раза больше косинуса одного из углов треугольника..

Sin (2π / 7), sin (4π / 7) и sin (8π / 7) являются корнями

$x\; 3\; -\; 7\; 2\; x\; 2\; +\; 7\; 8\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; \{2\}\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; \{8\}\}\; =\; 0.\}$

Мы также иметь:

$грех\; \; A\; -\; грех\; \; B\; -\; грех\; \; C\; =\; -\; 7\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; A-\; \backslash \; sin\; B-\; \backslash \; sin\; C\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; \{2\}\; \},\}$

$грех\; \; A\; грех\; \; B\; -\; грех\; \; B\; грех\; \; C\; +\; грех\; \; C\; грех\; \; A\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; A\; \backslash \; sin\; B-\; \backslash \; sin\; B\; \backslash \; sin\; C\; +\; \backslash \; sin\; C\; \backslash \; sin\; A\; =\; 0,\}$

$sin\; \; A\; sin\; \; B\; sin\; \; C\; =\; 7\; 8.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; A\; \backslash \; sin\; B\; \backslash \; sin\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; \{8\}\}.\}$

$-\; sin\; \; A,\; sin\; \; B,\; sin\; \; C\; являются\; корнями\; x\; 3\; -\; 7\; 2\; x\; 2\; +\; 7\; 8\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; sin\; A,\; \backslash \; sin\; B,\; \backslash \; sin\; C\; \{\backslash \; text\; \{являются\; корнями\}\}\; x\; ^\; \{3\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\; \}\}\; \{2\}\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; \{8\}\}\; =\; 0.\}$

Для целого числа n пусть

$S\; (n)\; =\; (-\; sin\; \; A)\; n\; +\; грех\; n\; \; B\; +\; грех\; n\; \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (n)\; =\; (-\; \backslash \; sin\; \{A\})\; ^\; \{n\}\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{n\}\; \{B\}\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{n\}\; \{C\}.\}$

Для n = 0,..., 20,

$S\; (n)\; =\; 3,\; 7\; 2,\; 7\; 2\; 2,\; 7\; 2,\; 7\; \cdot \; 3\; 2\; 4,\; 7\; 7\; 2\; 4,\; 7\; \cdot \; 5\; 2\; 5,\; 7\; 2\; 7\; 2\; 7,\; 7\; 2\; \cdot \; 5\; 2\; 8,\; 7\; \cdot \; 25\; 7\; 2\; 9,\; 7\; 2\; \cdot \; 9\; 2\; 9,\; 7\; 2\; \cdot \; 13\; 7\; 2\; 11,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (n)\; =\; 3,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; \{2\; \}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{2\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\; \backslash \; cdot\; 3\}\; \{2\; ^\; \{4\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{2\; ^\; \{4\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\; \backslash \; cdot\; 5\}\; \{2\; ^\; \{5\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{2\; ^\; \{7\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 5\}\; \{2\; ^\; \{8\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\; \backslash \; cdot\; 25\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{2\; ^\; \{9\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 9\}\; \{2\; ^\; \{9\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 13\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{2\; ^\; \{11\}\}\},\}$

$7\; 2\; \cdot \; 33\; 2\; 11,\; 7\; 2\; \cdot \; 3\; 7\; 2\; 9,\; 7\; 4\; \cdot \; 5\; 2\; 14,\; 7\; 2\; \cdot \; 179\; 7\; 2\; 15,\; 7\; 3\; \cdot \; 131\; 2\; 16,\; 7\; 3\; \cdot \; 3\; 7\; 2\; 12,\; 7\; 3\; \cdot \; 493\; 2\; 18,\; 7\; 3\; \cdot \; 181\; 7\; 2\; 18,\; 7\; 5\; \cdot \; 19\; 2\; 19.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{7\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 33\}\; \{2\; ^\; \{11\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 3\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{2\; ^\; \{9\; \}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\; ^\; \{4\}\; \backslash \; cdot\; 5\}\; \{2\; ^\; \{14\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 179\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{2\; ^\; \{\; 15\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\; ^\; \{3\}\; \backslash \; cdot\; 131\}\; \{2\; ^\; \{16\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\; ^\; \{3\}\; \backslash \; cdot\; 3\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{2\; ^\; \{12\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\; ^\; \{3\}\; \backslash \; cdot\; 493\}\; \{2\; ^\; \{18\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\; ^\; \{3\}\; \backslash \; cdot\; 181\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{2\; ^\; \{18\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\; ^\; \{5\}\; \backslash \; cdot\; 19\}\; \{2\; ^\; \{19\}\}\}.\}$

Для n = 0, -1,,..- 20,

$S\; (n)\; =\; 3,\; 0,\; 2\; 3,\; -\; 2\; 3\; \cdot \; 3\; 7\; 7,\; 2\; 5,\; -\; 2\; 5\; \cdot \; 5\; 7\; 7,\; 2\; 6\; \cdot \; 17\; 7,\; -\; 2\; 7\; 7,\; 2\; 9\; \cdot \; 11\; 7,\; -\; 2\; 10\; \cdot \; 33\; 7\; 7\; 2,\; 2\; 10\; \cdot \; 29\; 7,\; -\; 2\; 14\; \cdot \; 11\; 7\; 7\; 2,\; 2\; 12\; \cdot \; 269\; 7\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (n)\; =\; 3,0,2\; ^\; \{3\},\; -\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{2\; ^\; \{3\}\; \backslash \; cdot\; 3\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{7\}\},\; 2\; ^\; \{5\},\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{5\}\; \backslash \; cdot\; 5\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{7\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{6\}\; \backslash \; cdot\; 17\}\; \{7\}\},\; -\; 2\; ^\; \{7\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{9\}\; \backslash \; cdot\; 11\}\; \{7\}\},\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{10\}\; \backslash \; cdot\; 33\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{7\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{10\}\; \backslash \; cdot\; 29\}\; \{7\; \}\},\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{14\}\; \backslash \; cdot\; 11\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{7\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{12\}\; \backslash \; cdot\; 269\}\; \{7\; ^\; \{\; 2\}\}\},\}$

$-\; 2\; 13\; \cdot \; 117\; 7\; 7\; 2,\; 2\; 14\; \cdot \; 51\; 7,\; -\; 2\; 21\; \cdot \; 17\; 7\; 7\; 3,\; 2\; 17\; \cdot \; 237\; 7\; 2,\; -\; 2\; 17\; \cdot \; 1445\; 7\; 7\; 3,\; 2\; 19\; \cdot \; 2203\; 7\; 3,\; -\; 2\; 19\; \cdot \; 1919\; 7\; 7\; 3,\; 2\; 20\; \cdot \; 5851\; 7\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{13\}\; \backslash \; cdot\; 117\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{7\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{14\}\; \backslash \; cdot\; 51\}\; \{7\}\},\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{21\}\; \backslash \; cdot\; 17\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{7\; ^\; \{3\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{17\}\; \backslash \; cdot\; 237\}\; \{7\; ^\; \{2\}\; \}\},\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{17\}\; \backslash \; cdot\; 1445\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{7\; ^\; \{3\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{19\}\; \backslash \; cdot\; 2203\}\; \{7\; ^\; \{\; 3\}\}\},\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{19\}\; \backslash \; cdot\; 1919\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{7\; ^\; \{3\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{20\}\; \backslash \; cdot\; 5851\}\; \{7\; ^\; \{3\}\}\}.\}$

$-\; cos\; \; A,\; cos\; \; B,\; cos\; \; C\; являются\; корнями\; x\; 3\; +\; 1\; 2\; x\; 2\; -\; 1\; 2\; x\; -\; 1\; 8\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; cos\; A,\; \backslash \; cos\; B,\; \backslash \; cos\; C\; \{\backslash \; text\; \{являются\; корнями\}\}\; x\; ^\; \{3\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; x\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\; x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; =\; 0.\}$

Для целого числа n пусть

$C\; (n)\; =\; (-\; cos\; \; A)\; n\; +\; cos\; n\; \; B\; +\; cos\; n\; \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (n)\; =\; (-\; \backslash \; cos\; \{A\})\; ^\; \{n\}\; +\; \backslash \; cos\; ^\; \{n\}\; \{B\}\; +\; \backslash \; cos\; ^\; \{n\}\; \{C\}.\}$

Для n = 0, 1,,.. 10,

$C\; (n)\; =\; 3,\; -\; 1\; 2,\; 5\; 4,\; -\; 1\; 2,\; 13\; 16,\; -\; 1\; 2,\; 19\; 32,\; -\; 57\; 128,\; 117\; 256,\; -\; 193\; 512,\; 185\; 512,...\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (n)\; =\; 3,\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{4\}\},\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{13\; \}\; \{16\}\},\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{19\}\; \{32\}\},\; -\; \{\backslash \; frac\; \{57\}\; \{128\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{117\}\; \{256\}\; \},\; -\; \{\backslash \; frac\; \{193\}\; \{512\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{185\}\; \{512\}\},...\}$

$C\; (-\; n)\; =\; 3,\; -\; 4,\; 24,\; -\; 88,\; 416,\; -\; 1824,\; 8256,\; -\; 36992,\; 166400,\; -\; 747520,\; 3359744,...\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (-n)\; =\; 3,\; -4,24,\; -88,416,\; -1824,8256,\; -36992,166400,\; -747520,3359744,...\}$

$загар\; \; A,\; загар\; \; B,\; загар\; \; C\; -\; корни\; x\; 3\; +\; 7\; x\; 2-7\; x\; +\; 7\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; A,\; \backslash \; tan\; B,\; \backslash \; tan\; C\; \{\backslash \; text\; \{корни\}\}\; x\; ^\; \{3\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; x\; ^\; \{2\}\; -7x\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; =\; 0.\}$

$tan\; 2\; \; A,\; tan\; 2\; \; B,\; tan\; 2\; \; C\; являются\; корнями\; x\; 3\; -\; 21\; x\; 2\; +\; 35\; x\; -\; 7\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; A,\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; B,\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; C\; \{\backslash \; text\; \{являются\; корнями\}\}\; x\; ^\; \{3\; \}\; -21x\; ^\; \{2\}\; +\; 35x-7\; =\; 0.\}$

Для целого числа n пусть

$T\; (n)\; =\; tan\; n\; \; A\; +\; tan\; n\; \; B\; +\; tan\; n\; \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (n)\; =\; \backslash \; tan\; ^\; \{n\}\; \{A\}\; +\; \backslash \; tan\; ^\; \{n\}\; \{B\}\; +\; \backslash \; tan\; ^\; \{n\}\; \{C\}.\}$

Для n = 0, 1,,..10,

$T\; (n)\; =\; 3,\; -\; 7,\; 7\; \cdot \; 3,\; -\; 31\; 7,\; 7\; \cdot \; 53,\; -\; 7\; \cdot \; 87\; 7,\; 7\; \cdot \; 1011,\; -\; 7\; 2\; \cdot \; 239\; 7,\; 7\; 2\; \cdot \; 2771,\; -\; 7\; \cdot \; 32119\; 7,\; 7\; 2\; \cdot \; 53189,\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (n)\; =\; 3,\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\},\; 7\; \backslash \; cdot\; 3,\; -31\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\},\; 7\; \backslash \; cdot\; 53,\; -7\; \backslash \; cdot\; 87\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\},\; 7\; \backslash \; cdot\; 1011,\; -7\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 239\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\},\; 7\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 2771,\; -7\; \backslash \; cdot\; 32119\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\},\; 7\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 53189,\}$

$T\; (-\; n)\; =\; 3,\; 7,\; 5,\; 25\; 7\; 7,\; 19,\; 103\; 7\; 7,\; 563\; 7,\; 7\; \cdot \; 9\; 7,\; 2421\; 7,\; 13297\; 7\; 7\; 2,\; 10435\; 7,...\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (-n)\; =\; 3,\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\},\; 5,\; \{\backslash \; frac\; \{25\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{7\}\},\; 19,\; \{\backslash \; frac\; \{103\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 7\}\}\}\; \{7\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{563\}\; \{7\}\},\; 7\; \backslash \; cdot\; 9\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2421\}\; \{7\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{13297\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{7\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{10435\}\; \{7\}\},...\}$

У нас также есть

$tan\; \; A\; -\; 4\; sin\; \; B\; =\; -\; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; A-4\; \backslash \; sin\; B\; =\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\},\}$

$tan\; \; B\; -\; 4\; sin\; \; C\; =\; -\; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; B-4\; \backslash \; sin\; C\; =\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\},\}$

$загар\; \; C\; +\; 4\; грех\; \; A\; =\; -\; 7.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; C\; +\; 4\; \backslash \; sin\; A\; =\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}.\}$

У нас также есть

$детская\; кроватка\; 2\; \; A\; =\; 1-2\; загар\; \; C\; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; ^\; \{2\}\; A\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; tan\; C\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\},\}$

$детская\; кроватка\; 2\; \; B\; =\; 1–2\; загар\; \; A\; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; ^\; \{2\; \}\; B\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; tan\; A\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\},\}$

$детская\; кроватка\; 2\; \; C\; =\; 1–2\; tan\; \; B\; 7.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; ^\; \{2\}\; C\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; tan\; B\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}.\}$

У нас также есть

$cos\; \; A\; =\; -\; 1\; 2\; +\; 4\; 7\; грех\; 3\; \; C,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; A\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; C,\}$

$соз\; 2\; \; A\; =\; 3\; 4\; +\; 2\; 7\; грех\; 3\; \; A,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\; \}\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; A,\}$

$детская\; кроватка\; \; A\; =\; 3\; 7\; +\; 4\; 7\; cos\; \; B,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{4\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \backslash \; cos\; B,\}$

$детская\; кроватка\; 2\; \; A\; =\; 3\; +\; 8\; 7\; грех\; \; A,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; ^\; \{2\}\; A\; =\; 3\; +\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \backslash \; sin\; A,\}$

$детская\; кроватка\; \; A\; =\; 7\; +\; 8\; 7\; sin\; 2\; \; B,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; A\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; B,\}$

$csc\; 3\; \; A\; =\; -\; 6\; 7\; +\; 2\; 7\; tan\; 2\; \; C,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; csc\; ^\; \{3\}\; A\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{6\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; C,\}$

$сек\; \; A\; =\; 2\; +\; 4\; cos\; \; С,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sec\; A\; =\; 2\; +\; 4\; \backslash \; cos\; C,\}$

$sec\; \; A\; =\; 6-8\; грех\; 2\; \; B,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sec\; A\; =\; 6-8\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; B,\}$

$сек\; \; A\; =\; 4\; -\; 16\; 7\; sin\; 3\; \; B,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sec\; A\; =\; 4\; -\; \{\backslash \; frac\; \{16\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; B,\}$

$sin\; 2\; \; A\; =\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; cos\; \; В,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cos\; B,\}$

$sin\; 3\; \; A\; =\; -\; 7\; 8\; +\; 7\; 4\; соз\; \; В,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; A\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; \{8\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; \{4\}\}\; \backslash \; cos\; B,\}$

У нас также есть

$грех\; 3\; \; B\; грех\; \; C\; -\; грех\; 3\; \; C\; грех\; \; A\; -\; грех\; 3\; \; A\; грех\; \; B\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; B\; \backslash \; sin\; C-\; \backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; C\; \backslash \; sin\; A-\; \backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; A\; \backslash \; sin\; B\; =\; 0,\}$

$sin\; \; B\; sin\; 3\; \; C\; -\; sin\; \; C\; sin\; 3\; \; A\; -\; sin\; \; A\; грех\; 3\; \; В\; знак\; равно\; 7\; 2\; 4,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; грех\; В\; \backslash \; грех\; ^\; \{3\}\; С-\; \backslash \; грех\; С\; \backslash \; грех\; ^\; \{3\}\; А-\; \backslash \; грех\; А\; \backslash \; грех\; ^\; \{3\}\; В\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{7\; \}\; \{2\; ^\; \{4\}\}\},\}$

$грех\; 4\; \; B\; грех\; \; C\; -\; грех\; 4\; \; C\; грех\; \; A\; +\; sin\; 4\; \; A\; грех\; \; B\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{4\}\; B\; \backslash \; sin\; C-\; \backslash \; sin\; ^\; \{4\}\; C\; \backslash \; sin\; A\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{4\}\; A\; \backslash \; sin\; B\; =\; 0,\}$

$sin\; \; B\; sin\; 4\; \; C\; +\; sin\; \; C\; sin\; 4\; \; A\; -\; sin\; \; A\; грех\; 4\; \; В\; знак\; равно\; 7\; 7\; 2\; 5,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; грех\; В\; \backslash \; грех\; ^\; \{4\}\; С\; +\; \backslash \; грех\; С\; \backslash \; грех\; ^\; \{4\}\; А-\; \backslash \; грех\; А\; \backslash \; грех\; ^\; \{4\}\; В\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{7\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \{2\; ^\; \{5\}\}\},\}$

$sin\; 11\; \; B\; sin\; 3\; \; C\; -\; sin\; 11\; \; C\; sin\; 3\; \; A\; -\; sin\; 11\; \; A\; sin\; 3\; \; B\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{11\}\; B\; \backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; C-\; \backslash \; sin\; ^\; \{11\}\; C\; \backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; A-\; \backslash \; sin\; ^\; \{11\}\; A\; \backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; B\; =\; 0,\; \}$

$грех\; 3\; \; B\; грех\; 11\; \; C\; -\; грех\; 3\; \; C\; грех\; 11\; \; A\; -\; грех\; 3\; \; A\; грех\; 11\; \; B\; =\; 7\; 3\; \cdot \; 17\; 2\; 14.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; B\; \backslash \; sin\; ^\; \{11\}\; C-\; \backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; C\; \backslash \; sin\; ^\; \{11\}\; A-\; \backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; A\; \backslash \; sin\; ^\; \{11\}\; B\; =\; \{\backslash \; frac\; \{7\; ^\; \{3\}\; \backslash \; cdot\; 17\}\; \{2\; ^\; \{14\}\}\}.\}$

У нас также есть тождества типа Рамануджана,

$2\; sin\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 2\; sin\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 2\; грех\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\; \{3\}]\; \{2\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; =\}$

$.......\; (-\; 7\; 18)\; -\; 7\; 3\; +\; 6\; +\; 3\; (5\; -\; 3\; 7\; 3\; 3\; +\; 4\; -\; 3\; 7\; 3\; 3)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{.......\}\}\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; sqrt\; [\{18\}]\; \{7\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{-\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\; +\; 6\; +\; 3\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{5-3\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4-3\; \{\backslash \; sqrt\; [\; \{3\}]\; \{7\}\}\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

$1\; 2\; sin\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 1\; 2\; sin\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 1\; 2\; sin\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; frac\; \{\; 8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\}\; =\}$

$.......\; (-\; 1\; 7\; 18)\; 6\; +\; 3\; (5\; -\; 3\; 7\; 3\; 3\; +\; 4\; -\; 3\; 7\; 3\; 3)\; 3\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{.......\}\}\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{18\}]\; \{7\}\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqr\; t\; [\{3\}]\; \{6\; +\; 3\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{5-3\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4\; -3\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

$4\; грех\; 2\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 4\; грех\; 2\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 4\; грех\; 2\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\; \}]\; \{4\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; =\}$

$.......\; (49\; 18)\; 49\; 3\; +\; 6\; +\; 3\; (12\; +\; 3\; (49\; 3\; +\; 2\; 7\; 3)\; 3\; +\; 11\; +\; 3\; (49\; 3\; +\; 2\; 7\; 3)\; 3)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{.......\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{18\}]\; \{49\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}\; ]\; \{\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{49\}\}\; +\; 6\; +\; 3\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{12\; +\; 3\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{49\}\}\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{11\; +\; 3\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{49\}\}\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\; 7\}\})\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

$1\; 4\; sin\; 2\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 1\; 4\; sin\; 2\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 1\; 4\; sin\; 2\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\}\; =\}$

$.......\; (1\; 49\; 18)\; 2\; 7\; 3\; +\; 6\; +\; 3\; (12\; +\; 3\; (49\; 3\; +\; 2\; 7\; 3)\; 3\; +\; 11\; +\; 3\; (49\; 3\; +\; 2\; 7\; 3)\; 3)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{.......\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{18\}]\; \{49\}\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\; +\; 6\; +\; 3\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{12\; +\; 3\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{49\}\}\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{11\; +\; 3\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{49\}\}\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\; \}\})\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

$2\; cos\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 2\; cos\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 2\; cos\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; =\; 5\; -\; 3\; 7\; 3\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{5\; -3\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\}\}\}$

$1\; 2\; cos\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 1\; 2\; cos\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 1\; 2\; cos\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; =\; 4\; -\; 3\; 7\; 3\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4-3\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\}\}\}$

$4\; соз\; 2\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 4\; соз\; 2\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 4\; соз\; 2\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; =\; 11\; +\; 3\; (2\; 7\; 3\; +\; 49\; 3)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4\; \backslash \; cos\; ^\; \{\; 2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{11\; +\; 3\; (2\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\; \{3\}]\; \{49\}\})\}\}\}$

$1\; 4\; cos\; 2\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 1\; 4\; cos\; 2\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 1\; 4\; cos\; 2\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; Знак\; равно\; 12\; +\; 3\; (2\; 7\; 3\; +\; 49\; 3)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\})\; \})\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{12\; +\; 3\; (2\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{49\}\})\}\}\}$

$загар\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; +\; загар\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; загар\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; tan\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; tan\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; tan\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; =\}$

$.......\; (-\; 7\; 18)\; 7\; 3\; +\; 6\; +\; 3\; (5\; +\; 3\; (7\; 3\; -\; 49\; 3)\; 3\; +\; -\; 3\; +\; 3\; (7\; 3\; -\; 49\; 3)\; 3)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; текст\; \{.......\}\}\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; sqrt\; [\{18\}]\; \{7\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\; \}\; +\; 6\; +\; 3\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{5\; +\; 3\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{49\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{-\; 3\; +\; 3\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{49\}\})\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

$1\; загар\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 1\; загар\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 1\; загар\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; tan\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{\; 3\}]\; \{\backslash \; tan\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; tan\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\}\; =\}$

$.......\; (-\; 1\; 7\; 18)\; -\; 49\; 3\; +\; 6\; +\; 3\; (5\; +\; 3\; (7\; 3\; -\; 49\; 3)\; 3\; +\; -\; 3\; +\; 3\; (7\; 3\; -\; 49\; 3)\; 3)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{.......\}\}\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{18\}]\; \{7\}\}\}\; \backslash \; справа)\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{-\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{49\}\}\; +\; 6\; +\; 3\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{5\; +\; 3\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\; \}]\; \{7\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{49\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{-\; 3\; +\; 3\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{49\}\})\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

$tan\; 2\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; +\; tan\; 2\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; tan\; 2\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; \}\}\; =\}$

$.......\; (49\; 18)\; 3\; 49\; 3\; +\; 6\; +\; 3\; (89\; +\; 3\; (3\; 49\; 3\; +\; 5\; 7\; 3)\; 3\; +\; 25\; +\; 3\; (3\; 49\; 3\; +\; 5\; 7\; 3)\; 3)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{.......\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{18\}]\; \{49\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{3\; \{\; \backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{49\}\}\; +\; 6\; +\; 3\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{89\; +\; 3\; (3\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{49\}\}\; +\; 5\; \{\backslash \; sqrt\; [\; \{3\}]\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{25\; +\; 3\; (3\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4\; 9\}\}\; +\; 5\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\})\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

$1\; загар\; 2\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 1\; загар\; 2\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; 1\; загар\; 2\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; \}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; \backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\}\; =\}$

$.......\; (1\; 49\; 18)\; 5\; 7\; 3\; +\; 6\; +\; 3\; (89\; +\; 3\; (3\; 49\; 3\; +\; 5\; 7\; 3)\; 3\; +\; 25\; +\; 3\; (3\; 49\; 3\; +\; 5\; 7\; 3)\; 3)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{.......\}\; \}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{18\}]\; \{49\}\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{5\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\; +\; 6\; +3\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{89\; +\; 3\; (3\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{49\}\}\; +\; 5\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\; \backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{25\; +\; 3\; (3\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{49\}\}\; +\; 5\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\})\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

Также имеем

$cos\; \; (2\; \pi \; 7)\; /\; cos\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; cos\; \; (4\; \pi \; 7)\; /\; cos\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; +\; cos\; \; (8\; \pi \; 7)\; /\; cos\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; =\; -\; 7\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}\; ]\; \{\backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\; \}.\}$

$cos\; \; (4\; \pi \; 7)\; /\; cos\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; +\; cos\; \; (8\; \pi \; 7)\; /\; cos\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; cos\; \; (2\; \pi \; 7)\; /\; cos\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\; 7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\; \}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; =\; 0.\}$

$2\; sin\; \; (2\; \pi \; 7\; 3\; +\; 2\; sin\; \; (4\; \pi \; 7\; 3\; +\; 2\; sin\; \; (8\; \pi \; 7\; 3\; =\; (-\; 7\; 18)\; -\; 7\; 3\; +\; 6\; +\; 3\; (5\; -\; 3\; 7\; 3\; 3\; +\; 4–3\; 7\; 3\; 3)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\; \backslash \; sin\; (\{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\; \backslash \; sin\; (\{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\; \backslash \; sin\; (\{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; sqrt\; [\{18\}]\; \{7\}\}\; \backslash \; справа)\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{-\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\; +\; 6\; +\; 3\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{5-3\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}\; ]\; \{7\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4-3\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

$cos\; 4\; \; (4\; \pi \; 7)\; /\; cos\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; +\; cos\; 4\; \; (8\; \pi \; 7)\; /\; co\; s\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; соз\; 4\; \; (2\; \pi \; 7)\; /\; соз\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; =\; -\; 49\; 3/2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{4\; \}\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{4\}\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{4\}\; (\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{49\}\}\; /\; 2.\}$

$cos\; 5\; \; (2\; \pi \; 7)\; /\; cos\; 2\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; cos\; 5\; \; (4\; \pi \; 7)\; /\; cos\; 2\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; +\; cos\; 5\; \; (8\; \pi \; 7)\; /\; соз\; 2\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; знак\; равно\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{5\}\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\; \}\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{5\}\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{5\}\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; =\; 0.\}$

$cos\; 5\; \; (4\; \pi \; 7)\; /\; cos\; 2\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; +\; cos\; 5\; \; (8\; \pi \; 7)\; /\; соз\; 2\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; соз\; 5\; \; (2\; \pi \; 7)\; /\; соз\; 2\; \; (9\; \pi \; 7)\; 3\; =\; -\; 3\; \ast \; 7\; 3/2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{5\}\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{5\}\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{5\}\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{9\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; =\; -3\; *\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\; /\; 2.\}$

$cos\; 14\; \; (2\; \pi \; 7)\; /\; cos\; 5\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; cos\; 14\; \; (4\; \pi \; 7)\; /\; соз\; 5\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; +\; соз\; 14\; \; (8\; \pi \; 7)\; /\; соз\; 5\; \; (2\; \pi \; 7\; 3\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{14\}\; (\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; ^\; \{5\}\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{\; 14\}\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; ^\; \{5\}\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{14\}\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; ^\; \{5\}\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\}\}\}\; =\; 0.\}$

$cos\; 14\; \; (4\; \pi \; 7)\; /\; cos\; 5\; \; (2\; \pi \; 7)\; 3\; +\; cos\; 14\; \; (8\; \pi \; 7)\; /\; cos\; 5\; \; (4\; \pi \; 7)\; 3\; +\; cos\; 14\; \; (2\; \pi \; 7)\; /\; cos\; 5\; \; (8\; \pi \; 7)\; 3\; =\; -\; 61\; \ast \; 7\; 3/8.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{14\}\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; ^\; \{\; 5\}\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{14\}\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; ^\; \{5\}\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{14\}\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\; /\; \backslash \; cos\; ^\; \{5\}\; (\{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}\}\; =\; -\; 61\; *\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{7\}\}\; /\; 8.\}$

1. ^Кай Ван, «Гептагональный треугольник и тригонометрические тождества», Forum Geometricorum 19, 2019, 29-38. http://forumgeom.fau.edu/FG2019volume19/FG201904.pdf
2. ^Кай Ванг, https://www.researchgate.net/publication/335392159_On_cubic_equations_with_zero_sums_of_cubic_sums_of_cubic_sum_of_cubic_ps32, https://www.cubicubic.com/ : //www.researchgate.net/publication/336813631_Topics_of_Ramanujan_type_identities_for_PI7
3. ^Виктор Х. Молл, Элементарное тригонометрическое уравнение, https://arxiv.org/abs/0709.3755, 2007
4. ^Роман Витула и Дамиан Слота, Новые формулы типа Рамануджана и квазифибоначчи числа порядка 7, Журнал целочисленных последовательностей, т. 10 (2007).