Алгебраическое выражение

В математике алгебраическое выражение является выражением составлен из целочисленных констант, переменных и алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень на показатель степени, который является рациональным числом ). Например, 3x - 2xy + c - алгебраическое выражение. Поскольку извлечение квадратного корня аналогично возведению в степень 1/2,

$1\; -\; x\; 2\; 1\; +\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{1-x\; ^\; \{2\; \}\}\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

также является алгебраическим выражением.

Напротив, трансцендентные числа, такие как π и e, не являются алгебраическими, поскольку они не являются производными от целочисленных констант и алгебраических операций. Обычно Pi строится как геометрическое отношение, а определение e требует бесконечного числа алгебраических операций.

A рациональное выражение - это выражение, которое может быть переписано в рациональную дробь с использованием свойств арифметических операций (коммутативные свойства и ассоциативные свойства сложения и умножения, распределительное свойство и правила операций над дробями). Другими словами, рациональное выражение - это выражение, которое может быть построено из переменных и констант, используя только четыре операции арифметики. Таким образом,

$3\; x\; 2\; -\; 2\; xy\; +\; cy\; 3\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{3x\; ^\; \{2\}\; -2xy\; +\; c\}\; \{y\; ^\; \{3\}\; -1\}\}\}$

является рациональным выражение, тогда как

$1\; -\; x\; 2\; 1\; +\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

- нет.

A рациональное уравнение - это уравнение, в котором две рациональные дроби (или рациональные выражения) имеют форму

$P\; (x)\; Q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{P\; (x)\}\; \{Q\; (\; x)\}\}\}$

равны друг другу. Эти выражения подчиняются тем же правилам, что и дроби. Уравнения можно решить путем перекрестного умножения. Деление на ноль не определено, поэтому решение, вызывающее формальное деление на ноль, отклоняется.

Содержание

• 1 Терминология
• 2 В корнях многочленов
• 3 Условные обозначения
  • 3.1 Переменные
  • 3.2 Экспоненты
• 4 Алгебраические и другие математические выражения
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Терминология

Алгебра имеет свою собственную терминологию для описания частей выражения:

В корнях многочленов

Корни полиномиального выражения степени n или, что эквивалентно, решения полиномиального уравнения, всегда можно записать как алгебраические выражения, если n < 5 (see квадратная формула, кубическая функция и уравнение четвертой степени ). Такое решение уравнения называется алгебраическим решением. Но теорема Абеля – Руффини утверждает, что алгебраические решения не существуют для всех таких уравнений (только для некоторых из них), если n $\ge \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; geq\}$5.

Условные обозначения

Переменные

По соглашению, буквы в начале алфавита (например, $a,\; b,\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b,\; c\}$) обычно используются для представления констант, а также констант в конце алфавита (например, $x,\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\}$и $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$) используются для представления переменных. Обычно они пишутся курсивом.

Показатели

По соглашению, члены с наивысшей степенью (показатель ) пишутся слева, например, $x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\}$записывается слева от $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Когда коэффициент равен единице, он обычно опускается (например, $1\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1x\; ^\; \{2\}\}$записывается $x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\}$). Аналогично, когда показатель степени (степень) равен единице (например, $3\; x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 3x\; ^\; \{1\}\}$записывается $3\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; 3x\}$), а когда показатель степени равен нулю, результат всегда равен 1 (например, $3\; x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 3x\; ^\; \{0\}\}$записывается $3\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\}$, поскольку $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{0\}\}$всегда равно $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$).

Алгебраические и другие математические выражения

В таблице ниже показано, как алгебраические выражения сравниваются с несколькими другими типами математических выражений по типу элементов, которые они могут содержать, в соответствии с общими, но не универсальными соглашениями.

Рациональное алгебраическое выражение (или рациональное выражение) представляет собой алгебраическое выражение, которое может быть записано как частное от многочленов, например x + 4x + 4. Иррациональное алгебраическое выражение - это выражение, которое не является рациональным, например √x + 4.

См. Также

• Алгебраическое уравнение
• Алгебраическая функция
• Аналитическое выражение
• Arit математическое выражение
• Выражение в закрытой форме
• Выражение (математика)
• Предварительное вычисление
• Полином
• Термин (логика)

Примечания

Ссылки

• Джеймс, Роберт Кларк; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь. п. 8.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик У. «Алгебраическое выражение». MathWorld.