Алгебраическое решение

редактировать

Выражение сложения, вычитания, умножения, деления, степеней и корней в закрытой форме

Алгебраическое решение или решение в радикалах - это выражение в замкнутой форме, а точнее, в замкнутой форме алгебраическое выражение, то есть решение алгебраическое уравнение в терминах коэффициентов, основанное только на сложении, вычитании, умножении, делении, возведении в целое число степени и извлечение корней n-й степени (квадратные корни, кубические корни и другие целочисленные корни).

Хорошо известным примером является решение

x = - b ± b 2 - 4 ac 2 a {\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2 } -4ac \}}} {2a}}}

{\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac \}}} {2a}}}

квадратного уравнения

ax 2 + bx + c = 0. {\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0.}

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0.}

Существуют более сложные алгебраические решения для кубических уравнений и уравнений четвертой степени. Теорема Абеля – Руффини и, в более общем смысле, теория Галуа, утверждают, что некоторые уравнения пятой степени, такие как

x 5 - x + 1 = 0, {\ displaystyle x ^ {5} -x + 1 = 0,}

{\ displaystyle x ^ {5} -x + 1 = 0,}

не имеют алгебраического решения. То же верно для всех высших степеней. Однако для любой степени существуют полиномиальные уравнения, имеющие алгебраические решения; например, уравнение $x 10 = 2 {\ displaystyle x ^ {10} = 2}$ ${\ displaystyle x ^ {10 } = 2}$ может быть решено как $x = 2 10. {\ displaystyle x = {\ sqrt [{10}] {2}}.}$ ${\ displaystyle x = {\ sqrt [{10}] {2}}.}$ См. также Квинтическая функция § Другие разрешимые квинтики для различных других примеров в степени 5.

Эварист Галуа ввел критерий, позволяющий решить, какие уравнения разрешимы в радикалах. См. Радикальное расширение для точной формулировки его результата.

Алгебраические решения образуют подмножество выражений в замкнутой форме, потому что последние допускают трансцендентные функции (неалгебраические функции), такие как экспоненциальная функция, логарифмическая функция, а также тригонометрические функции и их обратные.

См. Также

Ссылки