Септическое уравнение

Полиномиальное уравнение 7 степени График полинома степени 7, с 7 действительными корнями (пересечения оси x) и 6 критическими точками. В зависимости от количества и вертикального расположения минимумов и максимумов, септик может иметь 7, 5, 3 или 1 действительный корень с учетом их множественности; количество сложных не действительных корней равно 7 минус количество действительных корней.

В алгебре, септическое уравнение является уравнением формы

$ax\; 7\; +\; bx\; 6\; +\; cx\; 5\; +\; dx\; 4\; +\; ex\; 3\; +\; fx\; 2\; +\; gx\; +\; h\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{7\}\; +\; bx\; ^\; \{6\}\; +\; cx\; ^\; \{5\}\; +\; dx\; ^\; \{4\}\; +\; ex\; ^\; \{3\}\; +\; fx\; ^\; \{2\}\; +\; gx\; +\; h\; =\; 0,\; \backslash ,\}$

, где a ≠ 0.

A септическая функция - это функция вида

$f\; (x)\; =\; ax\; 7\; +\; bx\; 6\; +\; cx\; 5\; +\; dx\; 4\; +\; ex\; 3\; +\; fx\; 2\; +\; gx\; +\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; ax\; ^\; \{7\; \}\; +\; bx\; ^\; \{6\}\; +\; cx\; ^\; \{5\}\; +\; dx\; ^\; \{4\}\; +\; ex\; ^\; \{3\}\; +\; fx\; ^\; \{2\}\; +\; gx\; +\; h\; \backslash ,\}$

где a ≠ 0. Другими словами, это многочлен степени семь. Если a = 0, то f является секстической функцией (b ≠ 0), пятой функцией (b = 0, c ≠ 0) и т. Д.

уравнение можно получить из функции, установив f (x) = 0.

Коэффициенты a, b, c, d, e, f, g, h могут быть либо целыми числами, рациональные числа, действительные числа, комплексные числа или, в более общем смысле, элементы любого поля .

, поскольку они имеют нечетную степень, септические функции выглядят похожими на квинтическую или кубическую функцию на графике, за исключением того, что они могут иметь дополнительные локальные максимумы и локальные минимумы (до трех максимумов и три минимума). производная септической функции - это секстическая функция.

• 1 Решаемые септики
• 2 Группы Галуа
• 3 Септическое уравнение для квадрата площади циклического пятиугольника или шестиугольник
• 4 См. также
• 5 Ссылки

Некоторые уравнения седьмой степени могут быть решены путем разложения на радикалы, но другие септики не могут. Эварист Галуа разработал методы определения того, можно ли решить данное уравнение с помощью радикалов, которые положили начало области теории Галуа. Чтобы привести пример неразрешимого, но разрешимого септика, можно обобщить разрешимую de Moivre quintic, чтобы получить

$x\; 7\; +\; 7\; \alpha \; x\; 5\; +\; 14\; \alpha \; 2\; x\; 3\; +\; 7\; \alpha \; 3\; x\; +\; \beta \; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{7\}\; +7\; \backslash \; alpha\; x\; ^\; \{5\}\; +14\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; x\; ^\; \{3\}\; +7\; \backslash \; alpha\; ^\; \{3\}\; x\; +\; \backslash \; beta\; =\; 0\; \backslash ,\}$,

, где вспомогательное уравнение:

$y\; 2\; +\; \beta \; y\; -\; \alpha \; 7\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; beta\; y-\; \backslash \; alpha\; ^\; \{7\}\; =\; 0\; \backslash ,\}$.

Это означает, что септик получается путем исключения u и v между x = u + v, uv + α = 0 и u + v + β = 0.

Отсюда следует, что семь корней септика являются задано

$xk\; =\; \omega \; ky\; 1\; 7\; +\; \omega \; k\; 6\; y\; 2\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; omega\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{7\}]\; \{y\_\; \{1\}\}\}\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{k\}\; ^\; \{6\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{7\}]\; \{y\_\; \{2\}\}\}\}$

где ω k - любой из 7 седьмых корней из единицы. Группа Галуа этого септика является максимальной разрешимой группой порядка 42. Это легко обобщается на любые другие степени k, не обязательно простые.

Еще одно разрешимое семейство:

$x\; 7\; -\; 2\; x\; 6\; +\; (\alpha \; +\; 1)\; x\; 5\; +\; (\alpha \; -\; 1)\; x\; 4\; -\; \alpha \; x\; 3\; -\; (\alpha \; +\; 5)\; x\; 2-6.\; х\; -\; 4\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; ^\; \{7\}\; -2x\; ^\; \{6\}\; +\; (\backslash \; альфа\; +1)\; х\; ^\; \{5\}\; +\; (\backslash \; альфа\; -1)\; х\; ^\; \{4\}\; -\; \backslash \; альфа\; х\; ^\; \{3\; \}\; -\; (\backslash \; alpha\; +5)\; x\; ^\; \{2\}\; -6x-4\; =\; 0\; \backslash ,\}$

, члены которого появляются в базе данных числовых полей Клунера. Его дискриминант равен

$\Delta \; =\; -\; 4\; 4\; (4\; \alpha \; 3\; +\; 99\; \alpha \; 2-34\; \alpha \; +\; 467)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; -4\; ^\; \{4\}\; \backslash \; left\; (4\; \backslash \; alpha\; ^\; \{3\}\; +99\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; -34\; \backslash \; alpha\; +467\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}\; \backslash ,\}$

Группа Галуа этих септиков - это группа диэдра порядка 14.

Общее септическое уравнение может быть решено с помощью чередующихся или симметричных групп Галуа A7или S 7. Такие уравнения требуют для своего решения гиперэллиптических функций и связанных с ними тета-функций рода 3. Однако математики девятнадцатого века, изучающие решения алгебраических уравнений, специально не изучали эти уравнения, потому что решения шестнадцатеричных уравнений уже были на пределе своих вычислительных возможностей без компьютеров.

Септики - это уравнения низшего порядка, для которых не очевидно, что их решения могут быть получены путем наложения непрерывных функций двух переменных. 13-я проблема Гильберта заключалась в предположении, что это невозможно в общем случае для уравнений седьмой степени. Владимир Арнольд решил это в 1957 году, продемонстрировав, что это всегда было возможно. Однако сам Арнольд считал, что настоящая проблема Гильберта состоит в том, могут ли септики их решения быть получены путем наложения алгебраических функций двух переменных (проблема все еще остается открытой).

плоскость Фано

• Септические уравнения, решаемые радикалами, имеют группу Галуа, которая является либо циклической группой порядка 7, либо диэдральной группой порядка 14, либо метациклической группой. группа порядка 21 или 42.
• Группа L (3, 2) Галуа (порядка 168) образована перестановками из 7 метки вершин, которые сохраняют 7 "прямых" в плоскости Фано. Септические уравнения с этой группой Галуа L (3, 2) требуют для своего решения эллиптических функций, но не гиперэллиптических функций.
• В противном случае - Галуа. Группа септика представляет собой либо чередующуюся группу порядка 2520, либо симметричную группу порядка 5040.

Квадрат площади циклического пятиугольника является корнем септического уравнения, коэффициенты которого являются симметричными функциями сторон пятиугольника. То же самое верно и для квадрата площади циклического шестиугольника.

• Кубическая функция
• Четвертая функция
• Квинтическая функция
• Секстическое уравнение
• Лабораторный септик

1. ^ Р. Брюс Кинг (16 января 2009 г.), По ту сторону уравнения четвертой степени, Birkhaüser, стр. 143 и 144, ISBN 9780817648497
2. ^Васко Браттка (13 сентября 2007 г.), «Теорема Колмогорова о суперпозиции», наследие Колмогорова в математике, Springer, ISBN 9783540363514
3. ^VI Арнольд, От проблемы суперпозиции Гильберта к динамическим системам, с. 4
4. ^Вайсштейн, Эрик У. «Циклический Пентагон». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. [1]
5. ^Вайсштейн, Эрик У. «Циклический шестиугольник». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. [2 ]