Авраам де Муавр

Абрахам де Муавр(французское произношение:[abʁaam də mwavʁ] ; 26 мая 1667 г. - 27 ноября 1754 г.) был французским математиком, известным благодаря формуле де Муавра, формуле, которая связывает комплексные числа и тригонометрию, а также его работа над нормальным распределением и теорией вероятности.

Он переехал в Англию в молодом возрасте из-за религиозных преследований гугенотов во Франции который начался в 1685 году. Он был друг Исаака Ньютона, Эдмонда Галлея и Джеймса Стирлинга. Среди своих товарищей-гугенотов в Англии он был коллегой редактора и переводчика Пьера де Мезо.

Де Муавра написал книгу по теории вероятностей, Доктрине шансов, который, как говорят, был выигран игроками. Де Муавр первым обнаружил формулу Бине, выражение в замкнутой форме для чисел Фибоначчи, связывающее n-ю степень золотого сечения φ с n-е число Фибоначчи. Он также был первым, кто постулировал центральную предельную теорему, краеугольный камень теории вероятностей.

• 1 Жизнь
  • 1.1 Ранние годы
  • 1.2 Средние годы
  • 1.3 Поздние годы
• 2 Вероятность
  • 2.1 Приоритет относительно распределения Пуассона
• 3 Формула Де Муавра
• 4 Приближение Стирлинга
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература

Ранние годы

Авраам де Муавр родился в Витри-ле-Франсуа в Шампань 26 мая 1667 года. Его отец, Даниэль де Муавр, был хирургом, который верил в ценность образования. Хотя родители Авраама де Муавра были протестантами, он сначала посещал католическую школу христианских братьев в Витри, которая была необычайно терпимой, учитывая религиозную напряженность во Франции в то время. Когда ему было одиннадцать, родители отправили его в Протестантскую академию в Седан, где он четыре года изучал греческий под руководством Жака дю Ронделя. Протестантская Академия Седана была основана в 1579 году по инициативе Франсуазы де Бурбон, вдовы Анри-Робера де ла Марка.

В 1682 году протестантская академия в Седане была запрещена, и де Муавр записался на два года изучать логику в Сомюр. Хотя математика не входила в его курсовую работу, де Муавр самостоятельно прочитал несколько работ по математике, в том числе Éléments des mathématiques французского священника-оратория и математика Жана Престе и небольшой трактат по этой теме. азартные игры, De Ratiociniis in Ludo Aleae, написанные Христианом Гюйгенсом голландским физиком, математиком, астрономом и изобретателем. В 1684 году де Муавр переехал в Париж, чтобы изучать физику, и впервые получил формальное обучение математике с частными уроками от Жака Озанама.

25 ноября 2017 года коллоквиум был организован в Сомюре. д-ром Конором Магуайром, при патронаже Французской национальной комиссии ЮНЕСКО, в честь 350-летия со дня рождения Авраама де Муавра и того факта, что он проучился в течение двух лет в Академии Сомюр. Коллоквиум назывался Abraham de Moivre: le Mathématicien, sa vie et son œuvre и освещал важный вклад Де Муавра в развитие комплексных чисел, см. формулу Де Муавра и теорию вероятностей, см. De Теорема Муавра – Лапласа. Коллоквиум проследил жизнь Де Муавра и его изгнание в Лондоне, где он стал очень уважаемым другом Исаака Ньютона. Тем не менее, он жил на скромные средства, которые он частично зарабатывал на своих сессиях, консультируя игроков в Old Slaughter's Coffee House о вероятностях, связанных с их усилиями! 27 ноября 2016 года профессор Кристиан Дженест из Университета Макгилла (Монреаль) отметил 262-ю годовщину смерти Авраама де Муавра коллоквиумом в Лиможе под названием Abraham de Moivre: Génie en exil, на котором обсуждался знаменитый приближение биномиального закона, вдохновившего центральную предельную теорему.

Религиозные преследования во Франции стали серьезными, когда король Людовик XIV издал эдикт Фонтенбло в 1685 году, который отменил Нантский эдикт, который дал значительные права французским протестантам. Он запрещал протестантское богослужение и требовал, чтобы все дети крестились от католических священников. Де Муавра отправили в Приере Сен-Мартен-де-Шам, школу, куда власти отправляли протестантских детей для обучения католицизму.

Неизвестно, когда де Муавр покинул Приор-де-Сен-Мартен и переехал в Англию, поскольку записи Приоре де Сен-Мартен указывают на то, что он покинул школу в 1688 году, но де Муавр и его брат представили как гугеноты признались в Савойской церкви в Лондоне 28 августа 1687 года.

Средние годы

К тому времени, когда он прибыл в Лондон, де Муавр был компетентным математиком, хорошо знавшим многие из стандартные тексты. Чтобы заработать на жизнь, де Муавр стал частным репетитором математики, навещая своих учеников или преподавая в кофейнях Лондона. Де Муавр продолжил свои исследования математики после посещения графа Девоншира и недавней книги Ньютона Principia Mathematica. Просматривая книгу, он понял, что она намного глубже, чем книги, которые он изучал ранее, и решил прочитать и понять ее. Однако, поскольку ему приходилось совершать длительные прогулки по Лондону, чтобы путешествовать между учениками, у де Муавра было мало времени на учебу, поэтому он вырывал страницы из книги и носил их в кармане, чтобы читать между уроками.

Согласно возможно апокрифической истории, Ньютон в последние годы своей жизни отсылал людей, задающих ему математические вопросы, к де Муавру, говоря: «Он знает все эти вещи лучше меня».

К 1692 году де Муавр подружился с Эдмондом Галлеем, а вскоре после этого и с самим Исааком Ньютоном. В 1695 году Галлей передал первую математическую работу де Муавра, которая возникла в результате его исследования флуктуаций в Principia Mathematica, в Королевское общество. Эта статья была опубликована в журнале Philosophical Transactions в том же году. Вскоре после публикации этой статьи де Муавр также обобщил замечательную биномиальную теорему Ньютона в полиномиальную теорему. Королевское общество узнало об этом методе в 1697 году, и два месяца спустя де Муавр стал его членом.

После того, как де Муавр был принят, Галлей призвал его обратить свое внимание на астрономию. В 1705 году де Муавр интуитивно обнаружил, что «центростремительная сила любой планеты напрямую связана с ее расстоянием от центра сил и обратно пропорциональна произведению диаметра эволюции и куба перпендикуляра на касательной.. " Другими словами, если планета M движется по эллиптической орбите вокруг фокуса F и имеет точку P, где PM касается кривой, а FPM - прямой угол, так что FP - перпендикуляр к касательной, то центростремительная сила в точке P пропорционально FM / (R * (FP)), где R - радиус кривизны в точке M. Математик Иоганн Бернулли доказал эту формулу в 1710 году.

Несмотря на это Благодаря успеху, де Муавр не смог добиться назначения на кафедру математики в каком-либо университете, что освободило бы его от зависимости от трудоемкого обучения, которое обременяло его больше, чем это делали большинство других математиков того времени. По крайней мере, отчасти причиной было предубеждение против его французского происхождения.

В ноябре 1697 года он был избран членом Королевского общества, а в 1712 году был назначен в комиссию, созданную общество, наряду с М.М. Арбетнота, Хилла, Галлея, Джонса, Мачина, Бернета, Робартса, Бонета, Астона и Тейлора, чтобы пересмотреть утверждения Ньютона и Лейбница относительно того, кто открыл исчисление. Полную информацию об этом противоречии можно найти в статье Противоречие между исчислениями Лейбница и Ньютона.

Всю свою жизнь де Муавр оставался бедным. Сообщается, что он был постоянным клиентом old Slaughter's Coffee House, St. Martin's Lane на Cranbourn Street, где он немного подрабатывал игрой в шахматы.

Более поздние годы

Де Муавр продолжал изучать области вероятности и математики до своей смерти в 1754 году, и после его смерти было опубликовано несколько дополнительных статей. С возрастом он становился все более летаргическим, и ему требовалось более продолжительное время сна. Обычным, хотя спорно, утверждают, что он отметил, что он спит дополнительные 15 минут каждую ночь, и правильно рассчитали дату его смерти, как день, когда время сна достиг 24 часов, 27 ноября 1754. В тот же день он сделал на самом деле умереть в Лондоне, и его тело было похоронено на Сен-Мартен-ин-зе-Филдс, хотя его тело позже было перемещено.

Де Муавр стал пионером в развитии аналитической геометрии и теории вероятностей, расширив работы своих предшественников, в частности, Христиана Гюйгенса и нескольких членов семьи Бернулли. Он также выпустил второй учебник по теории вероятностей, Доктрина шансов: метод вычисления вероятностей событий в игре. (Первая книга об азартных играх, Liber de ludo aleae (О бросании кости), была написана Джироламо Кардано в 1560-х годах, но не была опубликована до 1663 года.) Эта книга вышла в четырех изданиях. изданий, 1711 г. на латыни и на английском языке в 1718, 1738 и 1756 гг. В более поздние издания своей книги де Муавр включил свой неопубликованный результат 1733 г., который является первым утверждением приближения к биномиальному распределению с точки зрения того, что теперь мы вызываем нормальную или функцию Гаусса. Это был первый метод определения вероятности возникновения ошибки заданного размера, когда эта ошибка выражается в терминах изменчивости распределения как единицы, и первая идентификация вычисления вероятной ошибки. Кроме того, он применил эти теории к проблемам с азартными играми и актуарным таблицам.

Обычно для вероятности встречается выражение n! но до времен калькуляторов вычисляющих! для большого n было трудоемким. В 1733 году де Муавр предложил формулу для оценки факториала как n! = cne. Он получил приблизительное выражение для константы c, но именно Джеймс Стирлинг обнаружил, что c равно √2π.

Де Муавр также опубликовал статью под названием «Рента на жизни», в которой он рассказал нормальное распределение уровня смертности по возрасту человека. Исходя из этого, он вывел простую формулу для аппроксимации дохода, получаемого от ежегодных выплат, исходя из возраста человека. Это похоже на типы формул, используемых сегодня страховыми компаниями.

Приоритет в отношении распределения Пуассона

Некоторые результаты по распределению Пуассона были впервые представлены де Муавром в De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus в Philosophical Transactions of the Royal Society, p. 219. В результате некоторые авторы утверждали, что распределение Пуассона должно носить имя де Муавра.

В 1707 году де Муавр вывел уравнение, из которого можно вывести :

$соз\; \; Икс\; знак\; равно\; 1\; 2\; (соз\; \; (nx)\; +\; я\; грех\; \; (nx))\; 1\; /\; n\; +\; 1\; 2\; (соз\; \; (nx)\; -\; я\; грех\; \; (nx))\; 1\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; x\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; cos\; (nx)\; +\; i\; \backslash \; sin\; (nx))\; ^\; \{1\; /\; n\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; cos\; (nx\; )\; -i\; \backslash \; sin\; (nx))\; ^\; \{1\; /\; n\}\}$

, которое он смог доказать для всех положительных целых чисел n. В 1722 году он представил уравнения, из которых можно вывести более известную форму формулы де Муавра :

$(cos\; \; x\; +\; i\; sin\; \; x)\; n\; =\; cos\; \; (n\; x)\; +\; i\; sin\; \; (n\; x).\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; cos\; x\; +\; i\; \backslash \; sin\; x)\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; cos\; (nx)\; +\; i\; \backslash \; sin\; (nx).\; \backslash ,\}$

В 1749 году Эйлер доказал эту формулу для любого действительного n, используя Формула Эйлера, что делает доказательство достаточно простым. Эта формула важна, потому что она связывает комплексные числа и тригонометрию. Кроме того, эта формула позволяет выводить полезные выражения для cos (nx) и sin (nx) в терминах cos (x) и sin (x).

Де Муавр изучал вероятность, и его исследования потребовали от него вычисления биномиальных коэффициентов, что, в свою очередь, потребовало от него вычисления факториалов. В 1730 году де Муавр опубликовал свою книгу «Аналитическое собрание рядов и интегралов» [Аналитическое собрание рядов и интегралов], которая включала в себя таблицы логарифмов (n!). Для больших значений n де Муавр аппроксимировал коэффициенты членов биномиального разложения. В частности, учитывая положительное целое число n, где n четное и большое, тогда коэффициент среднего члена (1 + 1) аппроксимируется уравнением:

$(n\; n\; /\; 2)\; =\; n!\; ((n\; 2)!)\; 2\; \approx \; 2\; n\; 2\; 21\; 125\; (n\; -\; 1)\; n\; -\; 1\; 2\; nn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{n\; \backslash \; choose\; n\; /\; 2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{((\{\backslash \; frac\; \{\; n\}\; \{2\}\})!)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{2\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{21\}\; \{125\}\}\; \{(n-1)\}\; ^\; \{\; n\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\; \{\{n\}\; ^\; \{n\}\}\}\}$

19 июня 1729 года Джеймс Стирлинг отправил де Муавру письмо, в котором проиллюстрировал, как он рассчитал коэффициент при среднем члене биномиального разложения (a + b) для больших значений n. В 1730 году Стирлинг опубликовал свою книгу Methodus Differentialis [Дифференциальный метод], в которую он включил свой ряд для log (n!):

$log\; 10\; \; (n\; +\; 1\; 2)!\; \approx \; журнал\; 10\; \; 2\; \pi \; +\; n\; журнал\; 10\; \; N\; -\; N\; пер\; \; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; (n\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\})!\; \backslash \; Приблизительно\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; +\; n\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; n\; -\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{\backslash \; ln\; 10\}\}\}$,

так, чтобы для больших $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, $n\; !\; \approx \; 2\; \pi \; (ne)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\; \backslash \; Приблизительно\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{e\}\})\; ^\; \{n\}\}$.

12 ноября 1733 г., de Муавр в частном порядке опубликовал и распространил брошюру - Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (a + b) in Seriem expansi [Приближение суммы членов бинома (a + b), расширенное в серию], в которой он признал письмо Стирлинга и предложил альтернативное выражение для центрального члена биномиального разложения.

• См. «Miscellanea Analytica» де Муавра (Лондон: 1730), стр. 26–42.
• H. Дж. Р. Мюррей, 1913. История шахмат. Oxford University Press: стр. 846.
• Шнайдер, И., 2005, «Доктрина шансов» в Граттан-Гиннесс, I., изд., «Основные труды по западной математике». Elsevier: pp 105–20

Викиисточник содержит оригинальные работы, написанные или о:. Абрахам де Муавр

Викискладе есть средства массовой информации, связанные с Авраамом де Муавром .

• «де Муавр, Авраам». Архивировано из оригинала 19 декабря 2007 г. Получено 15 июня 2002 г.
• Доктрина шанса на MathPages.
• Биография (PDF), Мэтью Мэти Биография Авраама Де Муавра, переведенная, аннотированная и дополненная.
• Отрывок из «Тригонометрических наслаждений» (мертвая ссылка)
• де Муавр, О законе нормальной вероятности