Перекрестное умножение

В математике, особенно в элементарной арифметике и элементарной алгебра, учитывая уравнение между двумя дробями или рациональными выражениями, можно перемножить, чтобы упростить уравнение или определить значение переменной.

Этот метод также иногда называют методом «скрестить сердце», потому что можно нарисовать сердце, чтобы запомнить, какие элементы умножать вместе, а линии напоминают контур сердца.

Дано уравнение вида:

$ab\; =\; cd\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{d\}\}\}$

(где b и d не равны нулю), можно перемножить и получить:

$ad\; =\; bcora\; =\; bcd.\; \{\backslash \; displaystyle\; ad\; =\; bc\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{or\}\; \backslash \; qquad\; a\; =\; \{\backslash \; frac\; \{bc\}\; \{d\}\}.\}$

В евклидовой геометрии такой же расчет может быть выполнен с учетом соотношения как у подобных треугольников.

Содержание

• 1 Процедура
• 2 Использование
• 3 Правило трех
  • 3.1 Двойное правило трех
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Дополнительная литература
• 7 Внешние ссылки

Процедура

На практике метод перекрестного умножения означает, что мы умножаем числитель каждой (или одной) стороны на знаменатель другой стороны, фактически перечеркивая условия.

$а\; б\; \nwarrow \; в\; г\; а\; б\; \nearrow \; в\; г.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\}\; \backslash \; nwarrow\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{d\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\}\; \backslash \; nearrow\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{d\}\}.\; \}$

Математическое обоснование метода происходит из следующей более длинной математической процедуры. Если мы начнем с основного уравнения:

$ab\; =\; cd\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{d\}\}\}$

, мы можем умножить члены с каждой стороны на такое же количество, и сроки останутся равными. Следовательно, если мы умножим дробь с каждой стороны на произведение знаменателей обеих частей - bd - мы получим:

$a\; b\; \times \; b\; d\; =\; c\; d\; \times \; b\; d.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\}\; \backslash \; times\; bd\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{d\}\}\; \backslash \; times\; bd.\}$

Мы можем сократить дроби до наименьших членов, заметив, что два вхождения $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$слева отменяется, как и два вхождения d справа, в результате остается:

$ad\; =\; bc\; \{\backslash \; displaystyle\; ad\; =\; bc\}$

, и мы можем разделить обе части уравнения на любой из элементов - в этом случае мы будем использовать d - получив:

$a\; =\; bcd.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; \{\backslash \; frac\; \{bc\}\; \{d\}\}.\}$

Другое обоснование перекрестного умножения состоит в следующем. Начиная с данного уравнения:

$ab\; =\; cd\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{d\}\}\}$

умножить на d / d = 1 слева и по b / b = 1 справа, получаем:

$ab\; \times \; dd\; =\; cd\; \times \; bb\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{d\}\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{c\}\; \{d\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{b\}\}\}$

и так:

$adbd\; =\; cbdb.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{ad\}\; \{bd\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{cb\}\; \{db\}\}.\}$

Отмените общий знаменатель bd = db, оставив:

$a\; d\; =\; c\; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; ad\; =\; cb.\}$

Каждый шаг в этих процедурах основан на единственном фундаментальном свойстве уравнений. Перекрестное умножение - это кратчайший путь, легко понятная процедура, которой можно научить студентов.

Используйте

Это обычная процедура в математике, используемая для сокращения дробей или вычисления значения для данной переменной в дроби. Если у нас есть подобное уравнение, где x - это переменная, которую мы хотим найти:

$xb\; =\; cd\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{b\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{d\}\}\; \}$

мы можем использовать перекрестное умножение, чтобы определить, что:

$x\; =\; bcd.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{bc\}\; \{d\}\}.\}$

Например, предположим, что мы хотим знать, как далеко автомобиль проедет за 7 часов, если мы знаем, что его скорость постоянна и что он уже проехал 90 миль за последние 3 часа. Преобразуя словесную задачу в соотношения, мы получаем

$x\; 7\; часов\; =\; 90\; метров\; 3\; часа.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{7\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{hours\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{90\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{miles\}\}\; \{3\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{hours\}\}\}.\}$

Перекрестное умножение дает:

$x\; =\; 7\; часов\; \times \; 90\; миль\; 3\; часа\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{7\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{hours\}\; \backslash \; times\; 90\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{miles\}\}\; \{3\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{hours\}\}\}\; \}$

и так:

$x\; =\; 210\; миль.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 210\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{miles\}.\}$

Обратите внимание, что даже простые уравнения вроде этого:

$a\; =\; xd\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{d\}\}\}$

решаются с помощью перекрестного умножения, поскольку отсутствующий член b неявно равен 1:

$a\; 1\; =\; xd.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{d\}\}.\}$

Любое уравнение, содержащее дроби или рациональные выражения, можно упростить, умножив обе части на наименее распространенное знаменатель. Этот шаг называется очистка дробей.

Правило трех

Правило трех было исторической сокращенной версией особой формы перекрестного умножения, которой можно было научить студентов. наизусть. Это считалось вершиной колониального математического образования и до сих пор фигурирует во французской национальной учебной программе для среднего образования.

Для уравнения вида:

$ab\; =\; cx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{x\}\}\}$

где переменная, которая должна быть оценена, находится в правом знаменателе, Правило трех гласит, что:

$x\; =\; до\; н.э.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{bc\}\; \{a\}\}.\}$

В этом контексте a называется крайней пропорцией, а b и c называются средними.

Это правило было известно китайским математикам еще до II века н.э., хотя в Европе оно использовалось гораздо позже.

Правило трех получило известность тем, что его трудно объяснить. Арифметика Кокера, главный учебник 17-го века, вводит обсуждение правила трех с проблемой: «Если 4 ярда ткани стоят 12 шиллингов, сколько будут стоить 6 ярдов по этой ставке?» Правило трех дает прямой ответ на эту проблему; тогда как в современной арифметике мы могли бы решить эту проблему, введя переменную x для обозначения стоимости 6 ярдов ткани, записав уравнение:

$4\; ярда\; 12\; шиллингов\; =\; 6\; ярдов\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{ярды\}\}\; \{12\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{шиллинги\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{6\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{ярды\}\}\; \{x\}\}\}$

, а затем с помощью перекрестного умножения для вычисления x:

$x\; =\; 12\; шиллингов\; \times \; 6\; ярдов\; 4\; ярда\; =\; 18\; шиллингов.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{12\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{шиллингов\}\; \backslash \; times\; 6\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{ярдов\}\}\; \{4\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{ярдов\}\}\}\; =\; 18\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{шиллингов\}.\}$

анонимный манускрипт, датированный 1570 годом, гласит: «Умножение - это досада, / Разделение так же плохо; / Правило трех меня озадачивает, / И практика сводит меня с ума».

Двойное правило трех

Расширением правила трех было двойное правило трех, которое включало поиск неизвестного значения, в котором пять, а не три других значения известный.

Пример такой проблемы: если 6 строителей могут построить 8 домов за 100 дней, сколько дней потребуется 10 строителям, чтобы построить 20 домов с той же скоростью? и это можно настроить как

$8\; домов\; 100\; дней\; 6\; строителей\; =\; 20\; домов\; x\; 10\; строителей\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{домов\}\}\; \{100\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{days\}\}\}\; \{\; 6\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{builders\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{20\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{homes\}\}\; \{x\}\}\; \{10\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{builders\}\}\}\}$

которые при двойном умножении, дает

$x\; =\; 20\; домов\; \times \; 100\; дней\; \times \; 6\; строителей\; 8\; домов\; \times \; 10\; строителей\; =\; 150\; дней\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{20\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{дома\}\; \backslash \; times\; 100\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{days\}\; \backslash \; times\; 6\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{builders\}\}\; \{8\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{homes\}\; \backslash \; times\; 10\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{builders\}\}\}\; =\; 150\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{days\}\}$

Песня безумного садовника Льюиса Кэрролла включает строки «Ему показалось, что он видел Дверь в сад / Которая открывалась ключом: / Он посмотрел еще раз и обнаружил, что это / Двойное правило трех»

См. также

• Перекрестное соотношение
• Отношение шансов

Ссылки

1. ^Иногда это также называли Золотым правилом, хотя такое использование редко по сравнению с другими применениями Золотого правила. См. E. Кобэм Брюэр (1898). "Золотое правило". Словарь фраз и басен Брюера. Филадельфия: Генри Альтемус.
2. ^Убиратан Д'Амброзио; Джозеф В. Даубен; Карен Хунгер Паршалл (2014). «Математическое образование в Америке в досовременный период». У Александра Карпа; Герт Шубринг (ред.). Справочник по истории математического образования. Springer Science. п. 177. ISBN 978-1-4614-9155-2.
3. ^"Socle de connaissances, pilier 3". Министерство образования Франции. 30 декабря 2012 г. Дата обращения 24 сентября 2015 г.
4. ^Шен Каншен; Джон Н. Кроссли; Энтони В.-К. Лун (1999). Девять глав по математическому искусству: компаньоны и комментарии. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета.
5. ^Эдвард Кокер (1702). Арифметика Кокера. Лондон: Джон Хокинс. п. 103.
6. ^Краткий Оксфордский словарь цитат, 1964
7. ^Сильви и Бруно, Глава 12

Дополнительная литература

• Брайан Бурелл: Руководство Мерриам-Вебстера по повседневной математике: Справочник по дому и бизнесу. Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213, стр. 85-101
• «Dr Math», «Правило трех»
• «Dr Math», Авраам Линкольн и Правило трех
• Система арифметики Пайка в сокращенном виде: предназначена для облегчения изучения науки о числах, постижения наиболее наглядных и точных правил, проиллюстрированных полезными примерами: к которым добавлены соответствующие вопросы для исследование ученых и краткая система бухгалтерского учета., 1827 - факсимиле соответствующего раздела
• Правило трех в применении Майклом Родосским в пятнадцатом веке
• Правило трех в матери Гусь
• Редьярд Киплинг: Вы можете решить это дробями или простым правилом трех, но Путь Твидл-дум - это не путь Твидл-ди.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с Перекрестное умножение на Wikimedia Commons