Выражение (математика)

В математике, выражение или математическое выражение - это конец комбинация символов, которая является правильно сформированной в соответствии с правилами, которые зависят от контекста. Математические символы могут обозначать числа (константы ), переменные, операции, функции, скобки, знаки препинания и группировка для определения порядка операций и других аспектов логического синтаксиса.

Многие авторы различают выражение от формулы, первая обозначает математический объект, а последнее обозначает утверждение о математических объектах. Например, $8\; x\; -\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; 8x-5\}$является выражением, а $8\; x\; -\; 5\; \ge \; 5\; x\; -\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; 8x-5\; \backslash \; geq\; 5x-\; 8\}$- формула. Однако в современной математике, и в частности в компьютерной алгебре, формулы рассматриваются как выражения, которые могут быть оценены как истинные или ложные, в зависимости от значений, которые присваиваются переменным, присутствующим в выражениях. Например, $8\; x\; -\; 5\; \ge \; 5\; x\; -\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; 8x-5\; \backslash \; geq\; 5x-8\}$принимает значение false, если x задано значение меньше –1, а значение в противном случае верно.

• 1 Примеры
• 2 Синтаксис и семантика
  • 2.1 Синтаксис
  • 2.2 Семантика
  • 2.3 Формальные языки и лямбда-исчисления
• 3 Переменные
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Использование выражений варьируется от простых:

$3\; +\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; +\; 8\}$

$8\; x\; -\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; 8x-\; 5\}$(линейный многочлен )

$7\; x\; 2\; +\; 4\; x\; -\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; 7\; \{\{x\}\; ^\; \{2\}\}\; +\; 4x-10\}$(квадратичный многочлен )

$x\; -\; 1\; x\; 2\; +\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x-1\}\; \{\{\{x\}\; ^\; \{2\}\}\; +\; 12\}\}\}$(рациональная дробь )

до комплекса:

$f\; (a)\; +\; \sum \; k\; =\; 1\; п\; 1\; к!\; д\; к\; д\; т\; к\; |\; Т\; знак\; равно\; 0\; е\; (и\; (т))\; +\; \int \; 0\; 1\; (1\; -\; т)\; N\; N!\; d\; n\; +\; 1\; d\; t\; n\; +\; 1\; f\; (u\; (t))\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{k\}\}\; \{dt\; ^\; \{k\}\; \}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}\; f\; (u\; (t))\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{(1-t)\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{dt\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; f\; (u\; (t))\; \backslash ,\; dt.\}$

Синтаксис

Выражение - это синтаксическая конструкция. Он должен быть правильно сформированным : разрешенные операторы должны иметь правильное количество входов в правильных местах, символы, составляющие эти входы, должны быть действительными, иметь четкое значение порядок операций и т. д. Строки символов, нарушающие правила синтаксиса, имеют неправильный формат и не являются допустимыми математическими выражениями.

Например, в обычной записи из арифметики выражение 1 + 2 × 3 правильно сформировано, а следующее выражение - нет:

$\times \; 4)\; x\; +,\; /\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; times\; 4)\; x\; +,\; /\; y\}$.

Семантика

Семантика - это изучение значения. Формальная семантика - это придание значения выражениям.

В алгебре выражение может использоваться для обозначения значения, которое может зависеть от значений, присвоенных переменным, встречающимся в выражении. Определение этого значения зависит от семантики, связанной с символами выражения. Выбор семантики зависит от контекста выражения. Одно и то же синтаксическое выражение 1 + 2 × 3 может иметь разные значения (математически 7, но также и 9), в зависимости от порядка операций, подразумеваемого контекстом (см. Также Операции § Калькуляторы ).

Семантические правила могут объявлять, что определенные выражения не обозначают никакого значения (например, когда они включают деление на 0); считается, что такие выражения имеют неопределенное значение, но, тем не менее, они являются выражениями правильного формата. Как правило, значение выражений не ограничивается обозначением значений; например, выражение может обозначать условие или уравнение , которое должно быть решено, или оно может рассматриваться как самостоятельный объект, которым можно управлять согласно определенным правилам. Некоторые выражения, обозначающие значение, одновременно выражают условие, которое предполагается выполненным, например, те, которые включают оператор $\oplus \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oplus\}$для обозначения внутренней прямой суммы.

Формальные языки и лямбда-исчисление

Формальные языки позволяют формализовать концепцию правильно сформированных выражений.

В 1930-х годах новый тип выражений, названный лямбда-выражениями, был введен Алонзо Черч и Стивеном Клини для формализации функции и их оценка. Они составляют основу лямбда-исчисления, формальной системы, используемой в математической логике и теории языков программирования.

Эквивалентность двух лямбда выражения - это неразрешимый. Это также относится к выражениям, представляющим действительные числа, которые строятся из целых чисел с помощью арифметических операций, логарифма и экспоненты (теорема Ричардсона ).

Многие математические выражения включают переменные. Любая переменная может быть классифицирована как свободная переменная или связанная переменная.

Для данной комбинации значений свободных переменных выражение может быть оценено, хотя для некоторых комбинаций значений свободных переменных значение выражения может быть неопределенным. Таким образом, выражение представляет собой функцию , входными данными которой являются значения, присвоенные свободным переменным, а выходом - результирующее значение выражения.

Например, выражение

$x\; /\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; /\; y\}$

вычислено для x = 10, y = 5, даст 2; но это undefined для y = 0.

Оценка выражения зависит от определения математических операторов и от системы значений, которая является его контекстом.

Два выражения считаются эквивалентными, если для каждой комбинации значений свободных переменных они имеют одинаковый вывод, т.е. они представляют одну и ту же функцию. Пример:

Выражение

$\sum \; n\; =\; 1\; 3\; (2\; nx)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; (2nx)\}$

имеет свободную переменную x, связанную переменная n, константы 1, 2 и 3, два вхождения неявного оператора умножения и оператор суммирования. Выражение эквивалентно более простому выражению 12x. Значение для x = 3 равно 36.

• Алгебраическое замыкание
• Алгебраическое выражение
• Аналитическое выражение
• Замкнутое выражение
• Комбинатор
• Выражение компьютерной алгебры
• Определенное и неопределенное
• Уравнение
• Выражение (программирование)
• Формальная грамматика
• Формула
• Функциональное программирование
• Логическое выражение
• Термин (логика)

• Редден, Джон (2011). «Элементарная алгебра». Знание плоского мира.