Войти
По Уоллесу– Теорема Больяи – Гервиена, квадрат можно разрезать на части и преобразовать в треугольник равной площади. В геометрии, теорема Уоллеса – Бойяи – Гервиена m, названный в честь Уильяма Уоллеса, Фаркаса Бойяи и является теоремой, относящейся к разрезанию многоугольников. Он отвечает на вопрос, когда один многоугольник может быть образован из другого, разрезав его на конечное количество частей и перекомпоновав их с помощью перемещений и поворотов. Теорема Уоллеса-Больяи-Гервиена утверждает, что это может быть сделано тогда и только тогда, когда два многоугольника имеют одинаковую площадь.
Фаркас Бойяи первым сформулировал вопрос. Гервин доказал теорему в 1833 году, но на самом деле Уоллес доказал тот же результат уже в 1807 году.
Согласно другим источникам, Бойяи и Гервин независимо друг от друга доказали теорему в 1833 и 1835 годах, соответственно.
Эта теорема может быть сформулирована несколькими способами. В наиболее распространенной версии используется концепция «равносоставимости» многоугольников: два многоугольника равносоставимы, если их можно разделить на конечное число треугольников, которые отличаются только некоторой изометрией (фактически только комбинацией перевода и поворота). В этом случае теорема Уоллеса – Бойя – Гервиена утверждает, что два многоугольника равносоставимы тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую площадь.
Другая формулировка основана на конгруэнтности ножниц : два многоугольника конгруэнтны ножницам, если их можно разложить на конечное число многоугольников, попарно конгруэнтных. Ножницы-конгруэнтность - это отношение эквивалентности. В этом случае теорема Уоллеса – Бойя – Гервиена утверждает, что классы эквивалентности этого отношения содержат в точности те многоугольники, которые имеют одинаковую площадь.
Теорему можно понять в несколько шагов. Во-первых, каждый многоугольник можно разрезать на треугольники. Для этого есть несколько способов. Для выпуклых многоугольников можно по очереди обрезать каждую вершину, а для вогнутых многоугольников это требует большей осторожности. Общий подход, который работает и для непростых многоугольников, - выбрать линию , не параллельную какой-либо из сторон многоугольника, и провести линию, параллельную этой, через каждую из вершин многоугольника.. Это разделит многоугольник на треугольники и трапеции, которые, в свою очередь, можно преобразовать в треугольники.
Во-вторых, каждый из этих треугольников может быть преобразован в прямоугольный треугольник, а затем в прямоугольник с одной стороной длины 1. В качестве альтернативы, треугольник можно сначала преобразовать в один такой прямоугольник. превратив его в параллелограмм , а затем превратив его в такой прямоугольник. Сделав это для каждого треугольника, многоугольник можно разложить на прямоугольник, ширина и высота которого равны его площади.
Так как это можно сделать для любых двух многоугольников, "общее разбиение" прямоугольника между ними доказывает теорему. То есть разрезание общего прямоугольника (размером 1 по его площади) по обоим многоугольникам будет промежуточным звеном между обоими многоугольниками.
Прежде всего, это доказательство требует промежуточного многоугольника. В формулировке теоремы с использованием ножниц-конгруэнций использование этого промежуточного звена можно переформулировать, используя тот факт, что ножницы-конгруэнции транзитивны. Поскольку и первый многоугольник, и второй многоугольники конгруэнтны промежуточному звену как ножницы, они конгруэнтны друг другу как ножницы.
Доказательство этой теоремы является конструктивным и не требует аксиомы выбора, хотя некоторые другие задачи рассечения (например, проблема квадрата круга Тарского ) делают нужно это. В этом случае разложение и повторная сборка могут быть фактически выполнены «физически»: теоретически куски можно вырезать ножницами из бумаги и собрать вручную.
Тем не менее, количество частей, необходимых для составления одного многоугольника из другого с использованием этой процедуры, обычно намного превышает минимальное количество необходимых многоугольников.
Рассмотрим два равносоставимые многоугольники P и Q. Минимальное количество n частей, необходимое для составления одного многоугольника Q из другого многоугольника P, обозначается σ (P, Q).
В зависимости от полигонов можно оценить верхнюю и нижнюю границы для σ (P, Q). Например, Альфред Тарский доказал, что если P выпукло и диаметры P и Q соответственно задаются d (P) и d (Q), то
Если P x - прямоугольник со сторонами a · x и a · (1 / x) и Q - прямоугольник размера a, тогда P x и Q равноразложимы для любого x>0. Верхняя граница для σ (P x, Q) задается как
Поскольку σ (P x, Q) = σ (P (1 / x), Q), мы также имеем, что
Аналогичное утверждение о многогранники в трех измерениях, известная как третья проблема Гильберта, ложна, как было доказано Максом Деном в 1900 году. Эта проблема также рассматривалась в некоторых не- Евклидовы геометрии. В двумерной гиперболической и сферической геометрии теорема верна. Однако проблема для этих геометрических форм в трех измерениях остается открытой.
