Тетраконтагон

Многоугольник с 40 гранями

Правильный четырехугольник
Правильный четырехугольник
Тип	Правильный многоугольник
Края и вершины	40
символ Шлефли	{40}, t {20}, tt {10}, ttt {5}
диаграмма Кокстера	.
группа симметрии	диэдр (D40), порядок 2 × 40
Внутренний угол (градусов )	171 °
Двойной многоугольник	Собственный
Свойства	Выпуклый, циклический, равносторонний, изогональный, изотоксальный

В геометрии, тетраконтагон или тессараконтагон представляет собой сорокугольный многоугольник или 40-угольник. Сумма внутренних углов любого тетраконтагона составляет 6840 градусов.

• 1 Правильный четырехугольник
• 2 Построение правильного четырехугольника
  • 2.1 Дана окружность
  • 2.2 Дана длина стороны
• 3 Симметрия
• 4 Рассечение
• 5 Тетрактаграмма
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

A обычный тетраконтагон изображен передается символом Шлефли {40}, а также может быть сконструирован как усеченный икосогон, t {20}, который чередует два типа ребер. Кроме того, он также может быть сконструирован как дважды усеченный десятиугольник, tt {10} или трижды усеченный пятиугольник, ttt {5}.

Один внутренний угол в правильном четырехугольнике равен 171 °, что означает, что один внешний угол будет равен 9 °.

Площадь правильного четырехугольника составляет (с t = длина ребра)

$A = 10 t 2 кроватка ⁡ π 40 = 10 (1 + 5 + 5 + 2 5 + (1 + 5 + 5 + 2 5) 2 + 1) t 2 = 10 (1 + 5 + 5 + 2 5 + (1 + 5) 2 + (2 1) (1 + 5) 5 + 2 5 + ( 5 + 2 5) 2 + 1) t 2 = 10 (1 + 5 + 5 + 2 5 + (6 + (2 1) 5) + (2 1) (1 + 5) 5 + 2 5 + (5 + 2 5) + 1) t 2 = 10 (1 + 5 + 5 + 2 5 + (11 + 4 5 + (2 1) (1 + 5) 5 + 2 5) + 1) t 2 = 10 (1 + 5 + 5 + 2 5 + 12 + 4 5 + (2 1) (1 + 5) 5 + 2 5) t 2 {\ displaystyle {\ begin {align} A = 10t ^ {2} \ cot {\ frac { \ pi} {40}} = 10 \ left (1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} + {\ sqrt {\ left (1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} \ right) ^ {2} +1}} \ right) t ^ {2} \\ = 10 \ left (1+ {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} + {\ sqrt {\ left (1 + {\ sqrt {5}} \ right) ^ {2} + { \ binom {2} {1}} \ left (1 + {\ sqrt {5}} \ right) {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} + \ left ({\ sqrt {5+ 2 {\ sqrt {5}}}} \ right) ^ {2} +1}} \ right) t ^ {2} \\ = 10 \ left (1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt { 5 + 2 {\ sqrt {5}}}} + {\ sqrt {\ left (6 + {\ binom {2} {1}} {\ sqrt {5}} \ right) ^ { } + {\ binom {2} {1}} \ left (1 + {\ sqrt {5}} \ right) {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} + \ left (5 + 2 {\ sqrt {5}} \ right) ^ {} + 1}} \ right) t ^ {2} \\ = 10 \ left (1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {5 + 2 { \ sqrt {5}}}} + {\ sqrt {\ left (11 + 4 {\ sqrt {5}} + {\ binom {2} {1}} \ left (1 + {\ sqrt {5}} \ right) {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} \ right) +1}} \ right) t ^ {2} \\ = 10 \ left (1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} + {\ sqrt {12 + 4 {\ sqrt {5}} + {\ binom {2} {1}} \ left (1 + {\ sqrt {5}} \ right) {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}}} \ right) t ^ {2} \ end {align}}}$

и его inradius равно

$r\; =\; 1\; 2\; t\; кроватка\; \; \pi \; 40\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; t\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{40\}\}\}$

Фактор $детская\; кроватка\; \; \pi \; 40\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{40\}\}\}$является корнем октического уравнения $x\; 8-8\; x\; 7\; -\; 60\; x\; 6\; -\; 8\; x\; 5\; +\; 134\; x\; 4\; +\; 8\; x\; 3\; -\; 60\; x\; 2\; +\; 8\; x\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{8\}\; -8x\; ^\; \{7\}\; -60x\; ^\; \{6\}\; -8x\; ^\; \{5\}\; +\; 134x\; ^\; \{4\}\; +\; 8x\; ^\; \{3\}\; -60x\; ^\; \{2\}\; +\; 8x\; +\; 1\}$.

описанный радиус правильного четырехугольника составляет

$R\; =\; 1\; 2\; t\; csc\; \; \pi \; 40\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; R\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; t\; \backslash \; csc\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{40\}\}\; \backslash \; end\; \{\; выровнен\}\}\}$

Поскольку 40 = 2 × 5, правильный четырехугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Как усеченный икосагон, он может быть построен путем деления ребра пополам правильного икосагона. Это означает, что значения $sin\; \; \pi \; 40\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{40\}\}\}$и $cos\; \; \pi \; 40\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{40\}\}\}$может быть выражено в радикалах следующим образом:

$sin\; \; \pi \; 40\; =\; 1\; 4\; (2\; -\; 1)\; 1\; 2\; (2\; +\; 2)\; (5\; +\; 5)\; -\; 1\; 8\; 2\; -\; 2\; (1\; +\; 2)\; (5\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{40\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\; 2\}\}\; -\; 1)\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; (5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{8\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; (\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; 1)\}$

$cos\; \; \pi \; 40\; Знак\; равно\; 1\; 8\; (2-1)\; 2\; +\; 2\; (5-1)\; +\; 1\; 4\; (1\; +\; 2)\; 1\; 2\; (2-2)\; (5\; +\; 5)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{40\; \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; -\; 1)\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; 1)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; (5+\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\}\}\}$

Правильный четырехугольник с заданной описанной окружностью

Дана окружность

1. Сначала постройте длину стороны JE 1 a пятиугольник.
2. Перенесите его на описанную окружность, e возникает пересечение E 39.
3. . Соедините точку E 39 с центральной точкой M, образуется угол E 39ME1с 72 °.
4. Уменьшите угол E 39ME1вдвое., возникает пересечение E 40 и угол E 40ME1с углом 9 °.
5. Соедините точку E 1 с точкой E 40, возникает первая длина стороны a четырехугольника.
6. Наконец, вы переносите сегмент E 1E40(длина стороны a) несколько раз против часовой стрелки по описанной окружности, пока не появится правильный четырехугольник.

Золотой соотношение

$JM\; ¯\; BJ\; ¯\; =\; BM\; ¯\; JM\; ¯\; =\; 1\; +\; 5\; 2\; =\; \phi \; \approx \; 1,618\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; overline\; \{JM\}\}\; \{\backslash \; overline\; \{BJ\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; overline\; \{BM\}\}\; \{\backslash \; overline\; \{JM\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{2\}\}\; =\; \backslash \; varphi\; \backslash \; приблизительно\; 1,618\}$

Задана длина стороны

Обычный четырехугольник с заданной длиной стороны. (конструкция очень похожа на конструкцию икосагона с заданной длиной стороны )

1. . Нарисуйте отрезок E 40E1, длина которого равна заданной длине стороны a четырехугольника.
2. Расширить отрезок E 40E1более чем в два раза.
3. Нарисуйте каждую дугу окружности вокруг точек E 1 и E 40, возникнут пересечения A и B.
4. Проведите вертикальную прямую из точки B через точку A.
5. Проведите параллельную линию отрезку AB от точки E 1 до дуги окружности, возникнет пересечение D.
6. Нарисуйте дугу окружности вокруг точки C с радиусом CD до тех пор, пока на продолжении длины стороны не появится пересечение F.
7. Нарисуйте дугу окружности вокруг точки E 40 с радиусом E 40 F до вертикальной прямой возникает пересечение G и угол E 40GE1с 36 °.
8. Нарисуйте окружность Дуга вокруг точки G с радиусом E 40 G до вертикальной прямой, возникает пересечение H и угол E 40HE1с 18 °.
9. Нарисуйте дугу окружности вокруг от точки H с радиусом E 40 H до вертикальной прямой возникает центральная точка M описанной окружности и угол le E 40ME1с углом 9 °.
10. Нарисуйте вокруг центральной точки M радиусом E 40 M описанную окружность четырехугольника.
11. Наконец перенесите сегмент E 40E1(длина стороны a) несколько раз против часовой стрелки по описанной окружности до тех пор, пока не образуется правильный четырехугольник.

Золотое сечение

$E\; 40\; E\; 1\; ¯\; E\; 1\; F\; ¯\; =\; E\; 40\; F\; ¯\; E\; 40\; E\; 1\; ¯\; =\; 1\; +\; 5\; 2\; =\; \phi \; \approx \; 1,618\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; overline\; \{E\_\; \{40\}\; E\_\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; overline\; \{E\_\; \{1\}\; F\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; overline\; \{E\_\; \{40\}\; F\}\}\; \{\backslash \; overline\; \{E\_\; \{40\}\; E\_\; \{1\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{2\}\}\; =\; \backslash \; varphi\; \backslash \; приблизительно\; 1,618\}$

Симметрии правильного четырехугольника. Голубыми линиями показаны подгруппы индекса 2. Левый и правый подграфы позиционно связаны подгруппами индекса 5.

Правильный четырехугольник имеет диэдральную симметрию порядка 80 Dih 40, представленную 40 линиями отражения. Dih 40 имеет 7 двугранных подгрупп: (Dih 20, Dih 10, Dih 5) и (Dih 8, Dih 4, Dih 2, Dih 1). Он также имеет еще восемь циклических симметрий в качестве подгрупп: (Z 40, Z 20, Z 10, Z 5) и (Z 8, Z 4, Z 2, Z 1), с Z n представляет π / n радианальную вращательную симметрию.

Джон Конвей обозначает эти более низкие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой. Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями через вершины, p с зеркальными линиями через ребра (перпендикулярно), i с зеркальными линиями через вершины и ребра, и g для симметрии вращения. a1 означает отсутствие симметрии.

Эти более низкие симметрии позволяют степеням свободы определять неправильные четырехугольники. Только подгруппа g40 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра.

40-угольник с 560 ромбами

. обычный

. Isotoxal

Coxeter утверждает, что каждый зоногон (2m-угольник, противоположные стороны которого параллельны и равной длины) может быть разрезан на m (m-1) / 2 параллелограмма. Эти мозаики содержатся в виде подмножеств вершин, ребер и граней в ортогональных проекциях m-кубов В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для правильного четырехугольника m = 20, и его можно разделить на 190: 10 квадратов и 9 наборов по 20 ромбов. Это разложение основано на проекции многоугольника Петри 20-куба.

Примеры

Тетрактаграмма - это 40-сторонний звездный многоугольник. Существует семь обычных форм, задаваемых символами Шлефли {40/3}, {40/7}, {40/9}, {40/11}, {40/13}, {40/17}, и {40/19}, и 12 составных звездных фигур с одинаковой конфигурацией вершин .

Правильные звездчатые многоугольники {40 / k}

Изображение	. {40/3}	. {40/7}	. {40/9}	. {40/11}	. {40/13}	. {40/17}	. { 40/19}
Внутренний угол	153 °	117 °	99 °	81 °	63 °	27 °	9 °

Правильные составные многоугольники

Изображение	. {40/2} = 2 {20}	. {40/4} = 4 {10}	. {40/5} = 5 {8}	. {40/6} = 2 {20/3}	. {40/8} = 8 {5}	. {40/10} = 10 { 4}
Внутренний угол	162 °	144 °	135 °	126 °	108 °	90 °
Изображение	. {40/12} = 4 {10/3}	. {40/14} = 2 {20/7}	. {40/15} = 5 { 8/3}	. {40/16} = 8 {5/2}	. {40/18} = 2 {20/9}	. {40/20} = 20 {2}
Внутренний угол	72 °	54 °	45 °	36 °	18 °	0 °

Многие изогональные тетраконты граммы также могут быть построены как более глубокие усечения обычного икосагона {20} и икосаграмм {20/3}, {20/7} и {20/9}. Они также создают четыре квазиусечения: t {20/11} = {40/11}, t {20/13} = {40/13}, t {20/17} = {40/17} и t {20 / 19} = {40/19}. Некоторые изогональные тетраконтаграммы изображены ниже в виде усеченной последовательности с конечными точками t {20} = {40} и t {20/19} = {40/19}.

. t {20} = {40}.
				. t {20/19} = {40/19}.

• Вайсштейн, Эрик У. «Тетрактагон». MathWorld.
• Именование многоугольников и многогранников
• tessaracontagon