Zonogon

Восьмиугольный зоногон Тесселяция неправильными шестиугольными зоногонами Правильный восьмиугольник мозаикой из квадратов и ромбов

В геометрии зоногон - это центрально-симметричный выпуклый многоугольник. Эквивалентно, это выпуклый многоугольник, стороны которого могут быть сгруппированы в параллельные пары одинаковой длины и противоположной ориентации.

• 1 Примеры
• 2 Мозаика и равномерный разрез
• 3 Другие свойства
• 4 Связанные формы
• 5 Ссылки

A правильный многоугольник является зоногоном, если и только если у него четное количество сторон. Таким образом, квадрат, правильный шестиугольник и правильный восьмиугольник - все это зоногоны. Четырехсторонние зоногоны - это квадрат, прямоугольники, ромбы и параллелограммы.

Четырехсторонний и Шестисторонние зоногоны - это параллелогоны, способные замостить плоскость путем перевода своих копий, и все выпуклые параллелогоны имеют эту форму.

Каждые $2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2n\}$-сторонний зоногон может быть разбит на $(n\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{2\}\}\}$четырехсторонний зоногон. В этой мозаике существует один четырехсторонний зоногон для каждой пары наклонов сторон в $2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2n\}$-стороннем зоногоне. По крайней мере, три вершины зоногона должны быть вершинами только одного из четырехсторонних зоногонов в любом таком замощении. Например, правильный восьмиугольник можно выложить двумя квадратами и четырьмя ромбами под 45 °.

В обобщении теоремы Монского, Пол Монски (1990) доказал, что ни один зоногон не имеет равномерного разреза на нечетное количество треугольников равной площади.

В $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-сторонний зоногон, не более $2\; n\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 2n-3\}$пары вершин могут находиться на единичном расстоянии друг от друга. Существуют $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-сторонние зоногоны с $2\; n\; -\; O\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2n-O\; (\{\backslash \; sqrt\; \{n\}\})\}$пары единица-расстояние.

Зоногоны - это двумерные аналоги трехмерных зоноэдров и зонотопов более высокой размерности. Таким образом, каждый зоногон может быть сгенерирован как сумма Минковского набора отрезков прямых на плоскости. Если никакие два сегмента образующей линии не параллельны, будет одна пара параллельных ребер для каждого сегмента линии. Каждая грань зоноэдра является зоногоном, и каждый зоногон является гранью по крайней мере одного зоноэдра, призмы над этим зоногоном. Кроме того, каждое плоское поперечное сечение через центр центрально-симметричного многогранника (такого как зоноэдр) является зоногоном.