Мультифрактальная система

редактировать

Странный аттрактор, который проявляет мультифрактальное масштабирование Пример мультифрактального собственного электронного состояния на переходе локализации Андерсона в системе с 1367631 атомами.

Мультифрактал является обобщением фрактальной системы, в которой один показатель ( фрактальной размерности ) не достаточно, чтобы описать ее динамику; вместо этого необходим непрерывный спектр показателей (так называемый спектр сингулярностей ).

Мультифрактальные системы распространены в природе. Они включают длину береговой линии, полностью развитую турбулентность, сцены из реального мира, динамику сердцебиения, походку и активность человека, активность человеческого мозга и временные ряды естественной светимости. Модели предлагались в различных контекстах, начиная от турбулентности в динамике жидкости и заканчивая интернет-трафиком, финансами, моделированием изображений, синтезом текстур, метеорологией, геофизикой и т. Д. Происхождение мультифрактальности в последовательных (временных рядах) данных было приписано эффектам математической сходимости, связанным с центральной предельной теоремой, которые имеют в качестве фокусов сходимости семейство статистических распределений, известных как модели экспоненциальной дисперсии Твиди, а также геометрические модели Твиди.. Первый эффект сходимости дает монофрактальные последовательности, а второй эффект сходимости отвечает за изменение фрактальной размерности монофрактальных последовательностей.

Мультифрактальный анализ используется для исследования наборов данных, часто в сочетании с другими методами фрактального и лакунарного анализа. Этот метод влечет за собой искажение наборов данных, извлеченных из шаблонов, для создания мультифрактальных спектров, которые иллюстрируют, как масштабирование изменяется в наборе данных. Методы мультифрактального анализа применялись в различных практических ситуациях, таких как прогнозирование землетрясений и интерпретация медицинских изображений.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Определение
  • 2 Оценка
  • 3 Оценка мультифрактального масштабирования по подсчету ящиков
  • 4 Приложения
    • 4.1 Анализ искажения набора данных
      • 4.1.1 D Q против Q
      • 4.1.2 Порядок размеров
      • 4.1.3 против ж ( α ) {\ Displaystyle е (\ альфа)} α {\ displaystyle \ alpha}
    • 4.2 Обобщенные измерения распределения численности видов в космосе
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки
  • 7 Дальнейшее чтение
  • 8 Внешние ссылки

Определение

В мультифрактальной системе поведение вокруг любой точки описывается локальным степенным законом : s {\ displaystyle s}

s ( Икс + а ) - s ( Икс ) а час ( Икс ) . {\ displaystyle s ({\ vec {x}} + {\ vec {a}}) - s ({\ vec {x}}) \ sim a ^ {h ({\ vec {x}})}.}

Показатель степени называется показателем сингулярности, поскольку он описывает локальную степень особенности или регулярности вокруг точки. час ( Икс ) {\ displaystyle h ({\ vec {x}})} Икс {\ displaystyle {\ vec {x}}}

Ансамбль, образованный все точки, которые разделяют тот же особенность показателя называется сингулярность многообразием экспоненты ч, и представляет собой фрактальное множество из фрактальной размерности особенности спектра. Кривая зависимости от называется спектром сингулярности и полностью описывает статистическое распределение переменной. D ( час ) : {\ displaystyle D (h):} D ( час ) {\ displaystyle D (h)} час {\ displaystyle h} s {\ displaystyle s}

На практике мультифрактальное поведение физической системы напрямую не характеризуется ее спектром сингулярностей. Скорее, анализ данных дает доступ к показателям множественного масштабирования. Действительно, мультифрактальные сигналы обычно подчиняются свойству масштабной инвариантности, которое дает степенное поведение для величин с разным разрешением в зависимости от их масштаба. В зависимости от исследуемого объекта эти величины с разным разрешением, обозначаемые как, могут быть локальными средними в прямоугольниках размера, градиентами по расстоянию, вейвлет-коэффициентами в масштабе и т. Д. Для мультифрактальных объектов обычно наблюдается глобальное степенное масштабирование формы: Икс {\ displaystyle X} D ( час ) {\ displaystyle D (h)} ζ ( q ) ,   q р {\ displaystyle \ zeta (q), \ q \ in {\ mathbb {R}}} а {\ displaystyle a} Т Икс ( а ) {\ Displaystyle T_ {X} (а)} а {\ displaystyle a} а {\ displaystyle a} а {\ displaystyle a}

Т Икс ( а ) q а ζ ( q )   {\ Displaystyle \ langle T_ {X} (а) ^ {q} \ rangle \ sim a ^ {\ zeta (q)} \}

по крайней мере, в каком-то диапазоне масштабов и в каком-то диапазоне заказов. Когда такое поведение наблюдается, говорят о масштабной инвариантности, самоподобии или многомасштабности. q {\ displaystyle q}

Предварительный расчет

Используя так называемый мультифрактальный формализм, можно показать, что при некоторых хорошо подходящих предположениях существует соответствие между спектром сингулярностей и многомасштабными показателями через преобразование Лежандра. В то время как определение требует некоторого исчерпывающего локального анализа данных, который приведет к сложным и численно нестабильным вычислениям, оценка основывается на использовании статистических средних и линейных регрессий в логарифмических диаграммах. Как только известны, можно вывести оценку благодаря простому преобразованию Лежандра. D ( час ) {\ displaystyle D (h)} ζ ( q ) {\ displaystyle \ zeta (q)} D ( час ) {\ displaystyle D (h)} ζ ( q ) {\ displaystyle \ zeta (q)} ζ ( q ) {\ displaystyle \ zeta (q)} D ( час ) , {\ displaystyle D (h),}

Мультифрактальные системы часто моделируются случайными процессами, такими как мультипликативные каскады. Статистически интерпретированы, так как они характеризуют эволюцию распределений, как идет от больших к меньшим шкалам. Эта эволюция часто называется статистической перемежаемостью и свидетельствует об отходе от гауссовых моделей. ζ ( q ) {\ displaystyle \ zeta (q)} Т Икс ( а ) {\ Displaystyle T_ {X} (а)} а {\ displaystyle a}

Моделирование как мультипликативный каскад также приводит к оценке мультифрактальных свойств. Roberts amp; Cronin 1996 Этот метод работает достаточно хорошо даже для относительно небольших наборов данных. Максимально вероятное соответствие мультипликативного каскада набору данных не только оценивает полный спектр, но и дает разумные оценки ошибок. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFRobertsCronin1996 ( справка )

Оценка мультифрактального масштабирования по подсчету ящиков

Мультифрактальные спектры могут быть определены из ящика на цифровых изображениях. Сначала выполняется сканирование с подсчетом блоков, чтобы определить, как распределены пиксели; затем это «массовое распределение» становится основой для серии расчетов. Основная идея состоит в том, что для мультифракталов вероятность того, что количество пикселей, появившихся в прямоугольнике, варьируется от размера прямоугольника до некоторой экспоненты, которая изменяется по изображению, как в уравнении 0.0 ( NB : для монофракталов, напротив, показатель степени не меняется значимо по набору). вычисляется из распределения пикселей с подсчетом ящиков, как в уравнении 2.0. п {\ displaystyle P} м {\ displaystyle m} я {\ displaystyle i} ϵ {\ displaystyle \ epsilon} α {\ displaystyle \ alpha} п {\ displaystyle P}

п [ я , ϵ ] ϵ - α я α я бревно п [ я , ϵ ] бревно ϵ - 1 {\ displaystyle P _ {[i, \ epsilon]} \ varpropto \ epsilon ^ {- \ alpha _ {i}} \ поэтому \ alpha _ {i} \ varpropto {\ frac {\ log {P _ {[i, \ epsilon ]}}} {\ log {\ epsilon ^ {- 1}}}}}

 

 

 

 

( Ур. 0.0)

ϵ {\ displaystyle \ epsilon}= произвольный масштаб ( размер ящика при подсчете ящиков), в котором исследуется набор
я {\ displaystyle i} = индекс для каждого блока, наложенного на набор для ϵ {\ displaystyle \ epsilon}
м [ я , ϵ ] {\ Displaystyle м _ {[я, \ epsilon]}}= количество пикселей или масса в любом блоке, при размере я {\ displaystyle i} ϵ {\ displaystyle \ epsilon}
N ϵ {\ displaystyle N _ {\ epsilon}} = общее количество блоков, содержащих более 0 пикселей, для каждого ϵ {\ displaystyle \ epsilon}
M ϵ знак равно я знак равно 1 N ϵ м [ я , ϵ ] знак равно {\ displaystyle M _ {\ epsilon} = \ sum _ {i = 1} ^ {N _ {\ epsilon}} m _ {[i, \ epsilon]} =} общая масса или сумма пикселей во всех полях для этого ϵ {\ displaystyle \ epsilon}

 

 

 

 

( Уравнение 1.0)

п [ я , ϵ ] знак равно м [ я , ϵ ] M ϵ знак равно {\ displaystyle P _ {[я, \ epsilon]} = {\ frac {m _ {[i, \ epsilon]}} {M _ {\ epsilon}}} =}вероятность этой массы по отношению к общей массе для размера коробки я {\ displaystyle i}

 

 

 

 

( Уравнение 2.0)

п {\ displaystyle P}используется для наблюдения за поведением распределения пикселей при определенном искажении, как в уравнениях 3.0 и 3.1:

Q {\ displaystyle Q} = произвольный диапазон значений для использования в качестве показателей для искажения набора данных
я ( Q ) [ ϵ ] знак равно я знак равно 1 N ϵ п [ я , ϵ ] Q знак равно {\ displaystyle I _ {{(Q)} _ {[\ epsilon]}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N _ {\ epsilon}} {P _ {[i, \ epsilon]} ^ {Q}} знак равно сумма всех вероятностей масс, искаженная при увеличении до этого Q, для этого размера коробки

 

 

 

 

( Ур. 3.0)

  • Когда, Eq.3.0 равен 1, обычная сумма всех вероятностей, и когда каждый член равен 1, так что сумма равна числу подсчитанных коробок,. Q знак равно 1 {\ displaystyle Q = 1} Q знак равно 0 {\ displaystyle Q = 0} N ϵ {\ displaystyle N _ {\ epsilon}}
μ ( Q ) [ я , ϵ ] знак равно п [ я , ϵ ] Q я ( Q ) [ ϵ ] знак равно {\ displaystyle \ mu _ {{(Q)} _ {[i, \ epsilon]}} = {\ frac {P _ {[i, \ epsilon]} ^ {Q}} {I _ {{(Q)} _ {[\ epsilon]}}}} =} как вероятность искаженной массы в ящике сравнивается с искаженной суммой по всем ящикам с этим размером ящика

 

 

 

 

( Уравнение 3.1)

Эти искажающие уравнения далее используются для выяснения того, как набор ведет себя при масштабировании, разрешении или разрезании на серию кусков такого размера и искажении на Q, чтобы найти различные значения для измерения набора, как показано ниже: ϵ {\ displaystyle \ epsilon}

  • Важной особенностью уравнения 3.0 является то, что оно также может варьироваться в зависимости от масштаба, возведенного в степень в уравнении 4.0: τ {\ Displaystyle \ тау}
я ( Q ) [ ϵ ] ϵ τ ( Q ) {\ Displaystyle I _ {{(Q)} _ {[\ epsilon]}} \ varpropto \ epsilon ^ {\ tau _ {(Q)}}}

 

 

 

 

( Ур. 4.0)

Таким образом, ряд значений для может быть найден из наклонов линии регрессии для журнала уравнения 3.0 в сравнении с журналом для каждого, на основе уравнения 4.1: τ ( Q ) {\ Displaystyle \ тау _ {(Q)}} ϵ {\ displaystyle \ epsilon} Q {\ displaystyle Q}

τ ( Q ) знак равно Lim ϵ 0 [ бревно я ( Q ) [ ϵ ] бревно ϵ ] {\ displaystyle \ tau _ {(Q)} = {\ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ left [{\ frac {\ log {I _ {{(Q)} _ {[\ epsilon]}}} } {\ log {\ epsilon}}} \ right]}}}

 

 

 

 

( Уравнение 4.1)

  • Для обобщенного измерения:
D ( Q ) знак равно Lim ϵ 0 [ бревно я ( Q ) [ ϵ ] бревно ϵ - 1 ] ( 1 - Q ) - 1 {\ Displaystyle D _ {(Q)} = {\ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ left [{\ frac {\ log {I _ {{(Q)} _ {[\ epsilon]}}}} { \ log {\ epsilon ^ {- 1}}}} \ right]}} {(1-Q) ^ {- 1}}}

 

 

 

 

( Уравнение 5.0)

D ( Q ) знак равно τ ( Q ) Q - 1 {\ Displaystyle D _ {(Q)} = {\ frac {\ tau _ {(Q)}} {Q-1}}}

 

 

 

 

( Уравнение 5.1)

τ ( Q ) знак равно D ( Q ) ( Q - 1 ) {\ Displaystyle \ тау _ {{(Q)} _ {}} = D _ {(Q)} \ влево (Q-1 \ вправо)}

 

 

 

 

( Уравнение 5.2)

τ ( Q ) знак равно α ( Q ) Q - ж ( α ( Q ) ) {\ Displaystyle \ тау _ {(Q)} = \ альфа _ {(Q)} Q-е _ {\ влево (\ альфа _ {(Q)} \ вправо)}}

 

 

 

 

( Уравнение 5.3)

  • α ( Q ) {\ displaystyle \ alpha _ {(Q)}}оценивается как наклон линии регрессии для log A, Q по ϵ {\ displaystyle \ epsilon} сравнению с log, ϵ {\ displaystyle \ epsilon} где:
А ϵ , Q знак равно я знак равно 1 N ϵ μ я , ϵ Q п я , ϵ Q {\ displaystyle A _ {\ epsilon, Q} = \ sum _ {i = 1} ^ {N _ {\ epsilon}} {\ mu _ {{i, \ epsilon} _ {Q}} {P _ {{i, \ эпсилон} _ {Q}}}}}

 

 

 

 

( Уравнение 6.0)

  • Тогда находится из уравнения 5.3. ж ( α ( Q ) ) {\ Displaystyle е _ {\ влево (\ альфа _ {(Q)} \ вправо)}}
  • Среднее значение оценивается как наклон линии логарифмической регрессии для versus, где: τ ( Q ) {\ Displaystyle \ тау _ {(Q)}} τ ( Q ) [ ϵ ] {\ Displaystyle \ тау _ {{(Q)} _ {[\ epsilon]}}} ϵ {\ displaystyle \ epsilon}
τ ( Q ) [ ϵ ] знак равно я знак равно 1 N ϵ п [ я , ϵ ] Q - 1 N ϵ {\ displaystyle \ tau _ {(Q) _ {[\ epsilon]}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N _ {\ epsilon}} {P _ {[i, \ epsilon]} ^ {Q-1}}} {N _ {\ epsilon}}}}

 

 

 

 

( Уравнение 6.1)

На практике распределение вероятностей зависит от того, как производится выборка набора данных, поэтому были разработаны алгоритмы оптимизации для обеспечения адекватной выборки.

Приложения

Мультифрактальный анализ успешно используется во многих областях, включая физические, информационные и биологические науки. Например, количественная оценка остаточных трещин на поверхности железобетонных стен с поперечным сдвигом.

Анализ искажения набора данных

Мультифрактальный анализ аналогичен просмотру набора данных через серию искажающих линз для выявления различий в масштабировании. Показанный образец представляет собой карту Энона.

Мультифрактальный анализ использовался в нескольких научных областях для характеристики различных типов наборов данных. По сути, мультифрактальный анализ применяет искажающий фактор к наборам данных, извлеченным из шаблонов, чтобы сравнить, как данные ведут себя при каждом искажении. Это делается с помощью графиков, известных как мультифрактальные спектры, аналогично просмотру набора данных через «искажающую линзу», как показано на рисунке. На практике используются несколько типов мультифрактальных спектров.

D Q против Q

Спектры D Q vs Q для нефрактальной окружности (размерность подсчета эмпирической коробки = 1,0), монофрактального квадратичного креста (размерность подсчета эмпирической коробки = 1,49) и мультифрактальной карты Хенона (размерность подсчета эмпирической коробки = 1,29).

Одним из практических мультифрактальных спектров является график зависимости D Q от Q, где D Q - это обобщенное измерение для набора данных, а Q - произвольный набор показателей. Таким образом, выражение обобщенное измерение относится к набору измерений для набора данных (подробные вычисления для определения обобщенного измерения с использованием подсчета ячеек описаны ниже).

Порядок размеров

Общий шаблон графика D Q vs Q может использоваться для оценки масштабирования в шаблоне. График обычно убывающий, сигмоидальный вокруг Q = 0, где D (Q = 0) ≥ D (Q = 1) ≥ D (Q = 2). Как показано на рисунке, изменение этого графического спектра может помочь различать шаблоны. На изображении представлены спектры D (Q), полученные в результате мультифрактального анализа бинарных изображений не-, моно- и мультифрактальных множеств. Как и в случае с образцами изображений, не- и монофракталы имеют более плоский спектр D (Q), чем мультифракталы.

Обобщенное измерение также дает важную конкретную информацию. D (Q = 0) равно измерению емкости, которое - в анализе, показанном на рисунках здесь, - является измерением подсчета ящиков. D (Q = 1) равно информационному измерению, а D (Q = 2) - корреляционному измерению. Это относится к «мульти» в мультифрактале, где мультифракталы имеют несколько измерений в спектрах D (Q) по сравнению с Q, но монофракталы остаются довольно плоскими в этой области.

ж ( α ) {\ Displaystyle е (\ альфа)} против α {\ displaystyle \ alpha}

Еще один полезный мультифрактальный спектр - это график зависимости (см. Расчеты). Эти графики обычно поднимаются до максимума, который приближается к фрактальной размерности при Q = 0, а затем падают. Как и спектры D Q по сравнению с Q, они также показывают типичные паттерны, полезные для сравнения нефрактальных, монофрактальных и мультифрактальных паттернов. В частности, для этих спектров не- и монофракталы сходятся на определенных значениях, тогда как спектры мультифрактальных паттернов обычно образуют горбы на более широкой площади. ж ( α ) {\ Displaystyle е (\ альфа)} α {\ displaystyle \ alpha}

Обобщенные измерения распределения численности видов в космосе

Одно из применений D q по сравнению с Q в экологии - характеристика распределения видов. Традиционно относительная численность видов рассчитывается для района без учета местонахождения особей. Эквивалентным представлением относительной численности видов являются ранги видов, используемые для создания поверхности, называемой поверхностью видового ранга, которую можно анализировать с использованием обобщенных измерений для обнаружения различных экологических механизмов, подобных тем, которые наблюдаются в нейтральной теории биоразнообразия, динамике метасообщества или нишевая теория.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2024-01-08 02:54:52
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте