Войти
В статистической физике и математика, теория перколяции описывает поведение сети при удалении узлов или ссылок. Это тип фазового перехода, так как при удалении критической доли сеть разбивается на значительно меньшие связанные кластеры. Применение теории перколяции в материаловедении и во многих других дисциплинах обсуждается здесь и в статьях теория сетей и перколяция.
Трехмерный граф перколяции сайтов 
Перколяция связи в квадратной решетке от p = 0,3 до p = 0,52 Теория Флори – Стокмайера была первой теорией, исследующей процессы перколяции.
Типичный вопрос (и источник названия): следует. Предположим, что на какой-то пористый материал налита какая-то жидкость. Сможет ли жидкость пройти от отверстия к отверстию и достигнуть дна? Этот физический вопрос смоделирован математически как трехмерная сеть из n × n × n вершин, обычно называемых «сайтами», в которых край или «связи» между каждыми двумя соседями могут быть открытыми (пропускающими жидкость) с вероятностью p или закрытыми с вероятностью 1 - p, и они считаются независимыми. Следовательно, для данного p, какова вероятность того, что открытый путь (то есть путь, каждая из ссылок которого является «открытой» связью) существует сверху вниз? Наибольший интерес представляет поведение при больших n. Эта проблема, называемая теперь перколяцией связей, была представлена в математической литературе Бродбентом и Хаммерсли (1957), и с тех пор интенсивно изучалась математиками и физиками.
В несколько иной математической модели для получения случайного графа сайт «занят» с вероятностью p или «пуст» (в этом случае его ребра удаляются) с вероятностью 1 - p; соответствующая проблема называется перколяцией сайтов . Вопрос тот же: для данного p, какова вероятность того, что путь существует между верхом и низом? Точно так же можно спросить, учитывая связанный граф, при какой доле отказов 1 - p граф станет отключенным (без большой компоненты).
Определение просачивания в сети трехмерных трубок Те же вопросы можно задать для любого размера решетки. Как это типично, на самом деле легче исследовать бесконечные сети, чем просто большие. В этом случае возникает соответствующий вопрос: существует ли бесконечный рассеянный кластер? То есть существует ли путь из соединенных точек бесконечной длины «сквозь» сеть? Согласно закону нуля к единице Колмогорова для любого заданного p вероятность существования бесконечного кластера равна нулю или единице. Поскольку эта вероятность является возрастающей функцией от p (доказательство с помощью аргумента сцепления ), должно быть критическое p (обозначается p c), ниже которого вероятность всегда равен 0, а выше которого вероятность всегда равна 1. На практике эту критичность очень легко заметить. Даже для такого маленького n, как 100, вероятность открытого пути сверху вниз резко возрастает от очень близкого к нулю до очень близкого к единице в коротком интервале значений p.
Деталь перколяции связей на квадратной решетке в двух измерениях с вероятностью перколяции p = 0,51 Для большинства графов с бесконечной решеткой p c невозможно вычислить точно, хотя в некоторых случаях p c есть точное значение. Например:
, 
равно 
.
, p c = 1 / ⟨k⟩.Принцип универсальности утверждает, что числовое значение p c определяется локальной структурой графа, тогда как поведение вблизи критического порога, p c, характеризуется универсальными критическими показателями. Например, распределение размеров кластеров при критичности затухает по степенному закону с одинаковыми показателями для всех 2d-решеток. Эта универсальность означает, что для данного измерения различные критические показатели, фрактальная размерность кластеров при p c не зависят от типа решетки и типа перколяции (например, связь или узел). Однако недавно была проведена перколяция на взвешенной планарной стохастической решетке (WPSL) и было обнаружено, что, хотя размерность WPSL совпадает с размерностью пространства, в которое он встроен, его класс универсальности отличается от класса универсальности. всех известных планарных решеток.
Основным фактом в докритической фазе является «экспоненциальный распад». То есть, когда p < pc, вероятность того, что конкретная точка (например, начало координат) содержится в открытом кластере (что означает максимальное связное множество «открытых» ребер графа) размера r убывает до нуля экспоненциально по r. Это было доказано для просачивания в трех и более измерениях Меньшиковым (1986) и независимо Айзенманом и Барским (1987). В двух измерениях он составлял часть доказательства Кестена, что p c = 1/2.
дуальный граф квадратной решетки ℤ также является квадратной решеткой. Отсюда следует, что в двух измерениях сверхкритическая фаза двойственна докритическому процессу перколяции. Это дает практически полную информацию о сверхкритической модели с d = 2. Главный результат для сверхкритической фазы в трех и более измерениях заключается в том, что при достаточно большом N в двумерной пластине имеется бесконечный открытый кластер ℤ × [0, N]. Это было доказано Grimmett Marstrand (1990) harvtxt error: множественные цели (2 ×): CITEREFGrimmettMarstrand1990 (help ).
В двух измерениях с p < 1/2, there is with probability one a unique infinite closed cluster (a closed cluster is a maximal connected set of "closed" edges of the graph). Thus the subcritical phase may be described as finite open islands in an infinite closed ocean. When p>1/2 происходит прямо противоположное, с конечными замкнутыми островами в бесконечном открытом океане. Картина усложняется, когда d ≥ 3, поскольку p c< 1/2, and there is coexistence of infinite open and closed clusters for p between pcи 1 - p c. О характере фазового перехода перколяции см. Stauffer, Aharony и Bunde и Хэвлин. Для перколяции сетей см. Коэн и Хэвлин.
Увеличьте критический кластер перколяции (щелкните для анимации) Перколяция имеет сингулярность в критической точке p = p c и многие свойства ведут себя по степенному закону с 
См. Гримметт (1999) ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFGrimmett1999 ( справка ). В 11 или более измерениях эти факты в значительной степени подтверждаются с помощью метода, известного как. Считается, что вариант расширения шнурка должен быть действителен для 7 или более измерений, возможно, с последствиями также для порогового случая 6 измерений. Связь перколяции с расширением шнурка обнаруживается в Hara Slade (1990) harvtxt error: множественные цели (2 ×): CITEREFHaraSlade1990 (help ).
В двух измерениях первый факт ( «отсутствие перколяции в критической фазе») доказано для многих решеток с использованием дуальности. Существенный прогресс был достигнут в двумерной перколяции благодаря гипотезе Одеда Шрамма о том, что предел масштабирования большого кластера можно описать в терминах эволюции Шрамма – Лёвнера. Эта гипотеза была доказана Смирновым (2001) ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFSmirnov2001 (справка ) в частном случае перколяции узлов на треугольной решетке.
Теория перколяции использовалась для успешного прогнозирования фрагментации оболочек биологических вирусов (капсидов) с порогом фрагментации Гепатит В вирус капсид предсказан и обнаружен экспериментально. Когда критическое количество субъединиц было случайным образом удалено из наноскопической оболочки, она фрагментируется, и эта фрагментация может быть обнаружена с помощью масс-спектроскопии с обнаружением заряда (CDMS) среди других методов одночастичных. Это молекулярный аналог обычной настольной игры Jenga, имеющий отношение к разборке вирусов.
Теория просачивания применялась к исследованиям того, как фрагментация окружающей среды влияет на среду обитания животных, и к моделям распространения бактерии чумы Yersinia pestis.
