Фрактал Ляпунова

редактировать

Стандартный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AB, в области [2, 4] × [2, 4].

Обобщенный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AABAB в области [2, 4] × [2, 4].

Обобщенный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью BBBBBBAAAAAA в области параметров роста ( A, B) в [3.4, 4.0] × [2.5, 3.4], известный как Zircon Zity.

В математике, ляпуновские фрактал (также известные как фракталов Маркус-Ляпунов) являются бифуркационными фрактал, полученные из расширения логистического отображения, в котором степень роста населения, г, периодически переключается между двумя значениями A и B.

Ляпуновская фрактальной строится путем отображения областей устойчивости и хаотического поведения (измеренные с помощью ляпуновского ) в - Ь плоскости при заданных периодических последовательностей и б. На изображениях желтый цвет соответствует (стабильности), а синий соответствует (хаосу). ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ ${\ displaystyle \ lambda lt;0}$ $\ lambda lt;0$ ${\ displaystyle \ lambdagt; 0}$ $\ лямбдаgt; 0$

Фракталы Ляпунова были открыты в конце 1980-х гг. Германо-чилийским физиком Марио Маркусом из Института молекулярной физиологии Макса Планка. Они были представлены широкой публике благодаря научно-популярной статье о развлекательной математике, опубликованной в журнале Scientific American в 1991 году.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Недвижимость
2 Алгоритм генерации фракталов Ляпунова
3 Больше размеров
4 Примечания
5 ссылки
6 Внешние ссылки

Характеристики

Фракталы Ляпунова обычно рисуются для значений A и B в интервале. Для больших значений интервал [0,1] больше не является стабильным, и последовательность, вероятно, будет притягиваться бесконечностью, хотя сходящиеся циклы конечных значений продолжают существовать для некоторых параметров. Для всех итерационных последовательностей диагональ a = b всегда такая же, как для стандартной логистической функции с одним параметром. ${\ displaystyle [0,4]}$ $[0,4]$

Последовательность обычно начинается со значения 0,5, которое является критической точкой итерационной функции. Другие (даже комплексные) критические точки итерационной функции в течение всего одного раунда - это те, которые проходят через значение 0,5 в первом раунде. Сходящийся цикл должен привлечь хотя бы одну критическую точку. Следовательно, все сходящиеся циклы могут быть получены путем простого сдвига итерационной последовательности и сохранения начального значения 0,5. На практике смещение этой последовательности приводит к изменению фрактала, так как одни ветви перекрываются другими. Например, фрактал Ляпунова для итерационной последовательности AB (см. Верхний рисунок справа) не является идеально симметричным относительно a и b.

Алгоритм генерации фракталов Ляпунова

Алгоритм для вычисления ляпуновских фрактал работает следующим образом:

Выберите строку As и B любой нетривиальной длины (например, AABAB).
Постройте последовательность, состоящую из следующих друг за другом членов в строке, повторяемых столько раз, сколько необходимо. ${\ displaystyle S}$ $S$
Выберите точку. ${\ displaystyle (a, b) \ in [0,4] \ times [0,4]}$ $(a, b) \ в [0,4] \ раз [0,4]$
Определите функцию if и if. ${\ displaystyle r_ {n} = а}$ $r_ {n} = а$ ${\ displaystyle S_ {n} = A}$ $S_ {n} = А$ ${\ displaystyle r_ {n} = b}$ $г_ {п} = б$ ${\ displaystyle S_ {n} = B}$ $S_ {n} = B$
Позвольте, и вычислить итерации. ${\ displaystyle x_ {0} = 0,5}$ $x_ {0} = 0,5$ ${\ Displaystyle x_ {n + 1} = r_ {n} x_ {n} (1-x_ {n})}$ $x _ {{n + 1}} = r_ {n} x_ {n} (1-x_ {n})$
Вычислите показатель Ляпунова: на практике, аппроксимируется путем выбора достаточно большого и отбрасывания первого слагаемого как для. ${\ displaystyle \ lambda = \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} {1 \ over N} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ log \ left | {dx_ {n + 1} \ over dx_ { n}} \ right | = \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} {1 \ over N} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ log | r_ {n} (1-2x_ {n}) |}$ $\ lambda = \ lim _ {{N \ rightarrow \ infty}} {1 \ over N} \ sum _ {{n = 1}} ^ {N} \ log \ left | {dx _ {{n + 1}} \ над dx_ {n}} \ right | = \ lim _ {{N \ rightarrow \ infty}} {1 \ over N} \ sum _ {{n = 1}} ^ {N} \ log | r_ {n} ( 1-2x_ {n}) |$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ ${\ displaystyle N}$ $N$ ${\ displaystyle r_ {0} (1-2x_ {0}) = r_ {n} \ cdot 0 = 0}$ ${\ displaystyle r_ {0} (1-2x_ {0}) = r_ {n} \ cdot 0 = 0}$ ${\ displaystyle x_ {0} = 0,5}$ ${\ displaystyle x_ {0} = 0,5}$
Раскрасьте точку в соответствии с полученным значением. ${\ Displaystyle (а, б)}$ $(а, б)$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$
Повторите шаги (3–7) для каждой точки на плоскости изображения.

Больше размеров

Воспроизвести медиа Анимация трехмерного фрактала Ляпунова с последовательностью ABBBCA

Фракталы Ляпунова можно вычислить более чем в двух измерениях. Строка последовательности для n- мерного фрактала должна быть построена из алфавита с n символами, например «ABBBCA» для трехмерного фрактала, который может быть визуализирован либо как трехмерный объект, либо как анимация, показывающая «срез» в направлении C. для каждого кадра анимации, как в примере, приведенном здесь.

Примечания

использованная литература

Дьюдни, АК (1991). «Прыжок в пространство Ляпунова». Scientific American. 265 (3): 130–132. DOI : 10.1038 / Scientificamerican0991-178.
Маркус, Марио; Гесс, Бенно (1989). «Показатели Ляпунова логистической карты с периодическим форсированием». Компьютеры и графика. 13 (4): 553–558. DOI : 10.1016 / 0097-8493 (89) 90019-8.
Маркус, Марио (1990). «Хаос на картах с непрерывными и разрывными максимумами». Компьютеры в физике. 4 (5): 481. DOI : 10,1063 / 1,4822940.
Маркус, Марио; Гесс, Бенно (1998). «Глава 12. Показатели Ляпунова логистической карты с периодическим форсированием». В Клиффорде А. Пиковере (ред.). Хаос и фракталы. Компьютерное графическое путешествие. Эльзевир. стр. 73 -78. DOI : 10.1016 / B978-0-444-50002-1.X5000-0. ISBN 978-0-444-50002-1.

внешние ссылки

Фракталы и хаос EFG - экспоненты Ляпунова
Элерт, Гленн. «Пространство Ляпунова». Гипертекстовый книгу Хаоса.