Губка Менгера

редактировать

Иллюстрация M 4, губка после четырех итераций процесса строительства.

В математике, то губка Менгера (также известная как куб менгеровском, менгеровский универсальных кривой, Серпинский куб, или Серпинской губка) является фрактальным кривой. Это трехмерное обобщение одномерного множества Кантора и двумерного ковра Серпинского. Впервые он был описан Карлом Менгером в 1926 году в его исследованиях концепции топологической размерности.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Строительство
2 свойства
3 Формальное определение
4 мегаменжер
5 похожих фракталов
- 5.1 Иерусалимский куб
- 5.2 Другое
6 См. Также
7 ссылки
8 Дальнейшее чтение
9 Внешние ссылки

Строительство

Изображение 3: скульптурное изображение итераций от 0 (внизу) до 3 (вверху).

Строение губки Менгера можно описать следующим образом:

Начнем с куба.
Разделите каждую грань куба на девять квадратов, как кубик Рубика. Это делит куб на 27 кубиков меньшего размера.
Удалите меньший куб в середине каждой грани и удалите меньший куб в самом центре большего куба, оставив 20 кубиков меньшего размера. Это губка Менгера 1-го уровня (напоминающая куб пустоты ).
Повторите шаги два и три для каждого из оставшихся меньших кубиков и продолжайте повторять до бесконечности.

Вторая итерация дает губку уровня 2, третья итерация дает губку уровня 3 и так далее. Сама губка Менгера является пределом этого процесса после бесконечного количества итераций.

Иллюстрация итеративного построения губки Менгера до M 3, третья итерация

Анимация губки Менгера с помощью (4) шагов рекурсии

Характеристики

Гексагональное сечение губки Менгера 4-го уровня. Посмотрите на серию разрезов, перпендикулярных диагонали пространства.

Й этап губки менгеровской,, состоит из более мелких кубиков, каждый с длиной стороны (1/3) ^п. Общий объем таков. Общая площадь поверхности определяется выражением. Поэтому объем конструкции приближается к нулю, а площадь ее поверхности неограниченно увеличивается. Тем не менее, любая выбранная поверхность в конструкции будет тщательно проколота по мере продолжения строительства, так что предел не будет ни твердым телом, ни поверхностью; он имеет топологическую размерность 1 и, соответственно, обозначается как кривая. ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ displaystyle M_ {n}}$ $M_ {n}$ ${\ displaystyle 20 ^ {n}}$ ${\ displaystyle 20 ^ {n}}$ ${\ displaystyle M_ {n}}$ $M_ {n}$ ${\ displaystyle ({\ frac {20} {27}}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle ({\ frac {20} {27}}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle M_ {n}}$ $M_ {n}$ ${\ displaystyle 2 (20/9) ^ {n} +4 (8/9) ^ {n}}$ ${\ displaystyle 2 (20/9) ^ {n} +4 (8/9) ^ {n}}$

Каждая грань конструкции становится ковром Серпинского, а пересечение губки с любой диагональю куба или любой средней линией граней является канторовым множеством. Поперечное сечение губки через ее центр тяжести и перпендикулярно пространственной диагонали представляет собой правильный шестиугольник с проколотыми гексаграммами, расположенными в шестикратной симметрии. Количество этих гексаграмм в порядке убывания равно, с. ${\ displaystyle a_ {n} = 9a_ {n-1} -12a_ {n-2}}$ ${\ displaystyle a_ {n} = 9a_ {n-1} -12a_ {n-2}}$ ${\ displaystyle a_ {0} = 1, \ a_ {1} = 6}$ ${\ displaystyle a_ {0} = 1, \ a_ {1} = 6}$

Размерность губки по Хаусдорфу составляетжурнал 20/журнал 32,727. Размер покрытия Лебега губки Менгера такой же, как и у любой кривой. Менгер показал в конструкции 1926 года, что губка является универсальной кривой, поскольку каждая кривая гомеоморфна подмножеству губки Менгера, где кривая означает любое компактное метрическое пространство Лебега, покрывающее размерность один; сюда входят деревья и графы с произвольным счетным числом ребер, вершин и замкнутых контуров, соединенных произвольным образом. Аналогичным образом, ковер Серпинского является универсальной кривой для всех кривых, которые могут быть нарисованы на двумерной плоскости. Губка Менгера, построенная в трех измерениях, расширяет эту идею на графы, которые не являются планарными и могут быть встроены в любое количество измерений.

Губка Менгера - закрытый набор ; поскольку он также ограничен, теорема Гейне – Бореля влечет его компактность. Он имеет меру Лебега 0. Поскольку он содержит непрерывные пути, это несчетное множество.

Эксперименты также показали, что для одного и того же материала кубики со структурой губки Менгера могут рассеивать удары в пять раз лучше, чем кубы без пор.

Кубы с фрактальными структурами Менгера после ударно-волнового нагружения. Цвет указывает на повышение температуры, связанное с пластической деформацией.

Формальное определение

Равнопрямоугольная проекция на 360 ° из середины губки Менгера уровня 5 ( просмотр как интерактивная панорама на 360 ° )

Формально губку Менгера можно определить так:

{\ Displaystyle M: ​​= \ bigcap _ {п \ in \ mathbb {N}} M_ {n}}

M: = \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} M_ {n}

где - единичный куб, а ${\ displaystyle M_ {0}}$ $М_ {0}$

{\ displaystyle M_ {n + 1}: = \ left \ {{\ begin {matrix} (x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: amp; {\ begin {matrix} \ exists i, j, k \ in \ {0,1,2 \}:( 3x-i, 3y-j, 3z-k) \ in M_ {n} \\ {\ t_dv {и не более одного}} i, j, k {\ t_dv {равно 1}} \ end {matrix}} \ end {matrix}} \ right \}.}

M_ {n + 1}: = \ left \ {{\ begin {matrix} (x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: amp; {\ begin {matrix} \ exists i, j, k \ in \ {0,1,2 \}:( 3x-i, 3y-j, 3z-k) \ in M_ {n} \\ {\ t_dv {и не более одного}} i, j, k {\ t_dv {равно 1}} \ end {matrix}} \ end {matrix}} \ right \}.

MegaMenger

MegaMenger был проектом, направленным на построение самой большой фрактальной модели, пионером которого выступили Мэтт Паркер из Лондонского университета Королевы Марии и Лаура Таалман из Университета Джеймса Мэдисона. Каждый маленький кубик состоит из шести сложенных вместе визитных карточек, что в сумме дает 960 000 штук для губки четвертого уровня. Затем внешние поверхности покрываются панелями из бумаги или картона, на которых напечатан рисунок ковра Серпинского, чтобы сделать его более эстетичным. В 2014 году было сконструировано двадцать губок Менгера третьего уровня, которые в совокупности образуют распределенную губку Менгера четвертого уровня.

Один из мегаменжеров из Университета Бата
Модель тетрикс, просматриваемая через центр Кембриджского мегаменгера уровня 3 на Кембриджском научном фестивале 2015 года.

Подобные фракталы

Иерусалимский куб

Иерусалим куб является фрактальный объект описывается Eric Baird в 2011 году создается рекурсивно бурения греческого креста образных отверстий в куб. Название происходит от грани куба, напоминающего узор Иерусалимского креста.

Построение Иерусалимского куба можно описать следующим образом:

Начнем с куба.
Вырежьте крест на каждой стороне куба, оставив восемь кубиков (ранга +1) в углах исходного куба, а также двенадцать меньших кубиков (ранга +2), центрированных по краям исходного куба между кубиками куба. ранг +1.
Повторите процесс с кубиками 1 и 2 ранга.

Каждая итерация добавляет восемь кубов первого ранга и двенадцать кубиков второго ранга, что в двадцать раз больше. (Подобно губке Менгера, но с двумя кубиками разного размера.) Итерация бесконечное количество раз приводит к кубу Иерусалима.

Третья итерация Иерусалимского куба
3D-модель куба Иерусалима
Снежинка Серпинского-Менгера. Сохраняются восемь угловых кубиков и один центральный куб.

Другие

Мозли Снежинка представляет собой куб на основе фрактальной с углами рекурсивно удалены.
Тетрис является тетраэдр на основе фрактальной сделаны из четырех меньше копий, расположенных в виде тетраэдра.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

Иванец, Тадеуш ; Мартин, Гавен (2001), геометрическая теория функций и нелинейный анализ, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850929-5, Руководство по ремонту 1859913.
Чжоу, Ли (2007), «Проблема 11208: Хроматические числа губок Менгера», American Mathematical Monthly, 114 (9): 842, JSTOR 27642353

внешние ссылки

Губка Менгера в Wolfram MathWorld
«Визитная карточка Менгера Губка» доктора Жаннин Мозли - онлайн-выставка об этом гигантском фрактале оригами в Институте фигурного моделирования.
Интерактивная губка Менгера
Интерактивные модели Java
Puzzle Hunt - Видео, объясняющее парадоксы Зенона с помощью губки Менгера – Серпинского
Сфера Менгера, визуализированная в SunFlow
Post-It Menger Sponge - губка Менгера 3-го уровня, созданная из Post- it
Тайна губки Менгера. Нарезанный по диагонали, чтобы раскрыть звезды
Последовательность OEIS A212596 (количество карт, необходимых для создания губки Менгера уровня n в оригами)
Губка Менгера 2-го уровня в шерстяных мыслях от двух "математиков"
Дикау, Р.: Иерусалимский куб. Дальнейшее обсуждение.