Случайное блуждание

Математическая формализация пути, состоящего из последовательности случайных шагов

Пять случайных блужданий из восьми шагов от центральной точки. Некоторые пути кажутся короче восьми ступенек, когда маршрут удваивается сам по себе. (анимированная версия )

В математике, случайное блуждание - это математический объект, известный как стохастический или случайный процесс, который описывает путь, состоящий из последовательности случайных шагов в некотором математическом пространстве, таком как целые числа.

. Элементарным примером случайного блуждания является случайное блуждание. пройти по целочисленной строке $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$, которая начинается с 0 и на каждом шаге перемещается на +1 или -1 с равной вероятностью. Другие примеры включают путь, проходимый молекулой , когда она движется в жидкости или газе (см. броуновское движение ), путь поиска кормящегося животного., цена колеблющейся акции и финансовое положение игрока : все это можно приблизительно оценить с помощью моделей случайного блуждания, даже если они не могут быть действительно случайными в действительности.

Как показано на этих примерах, случайные блуждания применяются в инженерии и во многих других областях. научные области, включая экологию, психологию, информатику, физику, химию, биологию, экономика и социология. Случайные блуждания объясняют наблюдаемое поведение многих процессов в этих областях и, таким образом, служат в качестве фундаментальной модели для зарегистрированной стохастической активности. В качестве более математического приложения значение π может быть аппроксимировано использованием случайного блуждания в среде моделирования на основе агентов. Термин случайное блуждание впервые было введено Карлом Пирсоном в 1905 году.

Представляют интерес различные типы случайных блужданий, которые могут различаться по-разному. Сам термин чаще всего относится к особой категории цепей Маркова, но многие зависящие от времени процессы называются случайными блужданиями с модификатором, указывающим их конкретные свойства. Случайные блуждания (марковские или нет) также могут иметь место в различных пространствах: обычно изучаемые включают графы, другие - на целых числах или на вещественной прямой, в плоских или многомерных векторных пространствах, на искривленные поверхности или многомерные римановы многообразия, а также на группах конечных, конечно порожденных или Ли. Параметром времени также можно управлять. В простейшем контексте прогулка происходит в дискретном времени, то есть в последовательности случайных величин (X. t) = (X. 1, X. 2,...), индексированных натуральными числами. Однако также можно определить случайные блуждания, которые совершают свои шаги в случайное время, и в этом случае позиция X. tдолжна быть определена для всех моментов времени t ∈ [0, + ∞). Конкретные случаи или пределы случайных блужданий включают модели полета Леви и диффузии, такие как броуновское движение.

Случайные блуждания являются фундаментальной темой при обсуждении марковских процессов. Их математическое исследование было обширным. Для количественной оценки их поведения были введены несколько свойств, включая распределения, время первого прохождения или попадания, частоту встреч, повторяемость или быстротечность.

• 1 Случайное блуждание по решетке
  • 1.1 Одномерное случайное блуждание
    • 1.1.1 Как цепь Маркова
  • 1.2 Высшие измерения
  • 1.3 Связь с винеровским процессом
• 2 Гауссовское случайное прогулка
  • 2.1 Аномальная диффузия
  • 2.2 Количество отдельных сайтов
  • 2.3 Скорость передачи информации
• 3 Приложения
• 4 Варианты
  • 4.1 На графиках
  • 4.2 Самовзаимодействующие случайные блуждания
  • 4.3 Коррелированные блуждания на большие расстояния
  • 4.4 Предвзятые случайные блуждания на графах
  • 4.5 Случайные блуждания с максимальной энтропией
  • 4.6 Коррелированные случайные блуждания
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Библиография
• 8 Внешняя links

Популярная модель случайного блуждания - это модель случайного блуждания по регулярной решетке, где на каждом шаге местоположение переходит на другой сайт в соответствии с некоторым распределением вероятностей. В простом случайном блуждании местоположение может перескакивать только на соседние узлы решетки, образуя путь решетки. В простом симметричном случайном блуждании на локально конечной решетке вероятности перехода местоположения к каждому из его непосредственных соседей одинаковы. Наиболее изученным примером является случайное блуждание по d-мерной целочисленной решетке (иногда называемой гиперкубической решеткой) $Z\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{d\}\}$.

Если пространство состояний ограничено для конечных размеров модель случайного блуждания называется простым симметричным случайным блужданием с границами,, и вероятности перехода зависят от местоположения состояния, поскольку в граничных и угловых состояниях движение ограничено.

Одномерное случайное блуждание

Элементарным примером случайного блуждания является случайное блуждание по целочисленной строке , $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$, который начинается с 0 и на каждом шаге перемещается на +1 или -1 с равной вероятностью.

Эту прогулку можно проиллюстрировать следующим образом. Маркер ставится на ноль на числовой линии, и честная монета подбрасывается. Если он приземляется на голову, маркер перемещается на одну единицу вправо. Если он приземляется на решку, маркер перемещается на одну единицу влево. После пяти бросков маркер может оказаться на -5, -3, -1, 1, 3, 5. При пяти бросках, трех орлах и двух решках в любом порядке он упадет на 1. Есть 10 способов приземление на 1 (перевернув три решки и два решки), 10 способов приземления на -1 (перевернув три решки и две решки), 5 способов приземления на 3 (перевернув четыре решки и один хвост), 5 способов приземления на −3 (перевернув четыре решки и одну голову), 1 способ приземления на 5 (перевернув пять решек) и 1 способ приземления на −5 (перевернув пять решек). На рисунке ниже показаны возможные результаты 5 флипов.

Все возможные результаты случайного блуждания после 5 подбрасываний честной монеты Случайное блуждание в двух измерениях (анимированная версия ) Случайное блуждание в двух измерениях с 25 тысячами шагов (анимированная версия ) Случайное блуждание в двух измерениях с двумя миллионами шагов даже меньшего размера. Это изображение было сгенерировано таким образом, что точки, которые чаще всего пересекаются, были более темными. В пределе, для очень маленьких шагов, получается Броуновское движение.

Чтобы определите это блуждание формально, возьмите независимые случайные величины $Z\; 1,\; Z\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\},\; Z\_\; \{2\},\; \backslash \; dots\}$, где каждая переменная равна 1 или - 1 с вероятностью 50% для любого значения и установите $S\; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{0\}\; =\; 0\; \backslash ,\; \backslash !\}$и $S\; n\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; Z\; j.\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; Z\_\; \{j\}.\}$Серия $\{S\; n\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{S\_\; \{n\}\; \backslash \}\; \backslash ,\; \backslash !\}$называется простым случайным блужданием по $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$.Этот ряд (сумма последовательности −1 s и 1s) дает чистое пройденное расстояние, если каждая часть пути имеет длину один. ожидание $E\; (S\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (S\_\; \{n\})\; \backslash ,\; \backslash !\}$из $S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$равно нулю. То есть среднее значение всех подбрасываний монеты приближается к нулю по мере увеличения числа подбрасываний. Это следует из свойства конечной аддитивности ожидания:

$E\; (S\; n)\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; E\; (Z\; j)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (S\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\; \}\; ^\; \{n\}\; E\; (Z\_\; \{j\})\; =\; 0.\}$

Аналогичное вычисление с использованием независимости случайных величин и того факта, что $E\; (Z\; n\; 2)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (\; Z\_\; \{n\}\; ^\; \{2\})\; =\; 1\}$, показывает, что:

Это намекает на то, что $E\; (|\; S\; n\; |)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (|\; S\_\; \{n\}\; |)\; \backslash ,\; \backslash !\}$, ожидаемое расстояние перевода после n шагов должно быть порядка $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\}$. Фактически,

$lim\; n\; \to \; \infty \; E\; (|\; S\; n\; |)\; n\; =\; 2\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{E\; (|\; S\_\; \{n\}\; |)\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \}.\}$

.

Этот результат показывает, что диффузия неэффективна для смешивания из-за того, как квадратный корень ведет себя для больших $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$.

Сколько раз случайное блуждание пересечет границу, если это разрешено продолжать идти вечно? Простое случайное блуждание по $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$пересечет каждую точку бесконечное количество раз. У этого результата много названий: феномен пересечения уровней, повторение или крах игрока. Причина использования фамилии следующая: игрок с конечной суммой денег в конечном итоге проиграет, играя в честную игру против банка с бесконечной суммой денег. Деньги игрока совершат случайное блуждание, в какой-то момент они достигнут нуля, и игра будет окончена.

Если a и b - положительные целые числа, то ожидаемое количество шагов до тех пор, пока одномерное простое случайное блуждание, начинающееся с 0, впервые не попадет в b или −a, равно ab. Вероятность того, что эта прогулка достигнет точки b раньше, чем −a, равна $a\; /\; (a\; +\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; /\; (a\; +\; b)\}$, что может быть выведено из того факта, что простой случайный walk - это мартингейл.

Некоторые из результатов, упомянутых выше, могут быть получены из свойств треугольника Паскаля. Количество различных блужданий из n шагов, где каждый шаг равен +1 или -1, равно 2. Для простого случайного блуждания каждый из этих блужданий одинаково вероятен. Для того, чтобы S n было равно числу k, необходимо и достаточно, чтобы число +1 в прогулке превышало число -1 на k. Отсюда следует, что +1 должен появиться (n + k) / 2 раза среди n шагов прогулки, следовательно, количество прогулок, удовлетворяющих $S\; n\; =\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n\}\; =\; k\}$равно количеству способов выбора (n + k) / 2 элементов из набора n элементов, обозначается $(n\; (n\; +\; k)\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; choose\; (n\; +\; k)\; /\; 2\}$. Чтобы это имело смысл, необходимо, чтобы n + k было четным числом, что означает, что n и k либо оба четные, либо оба нечетные. Следовательно, вероятность того, что $S\; n\; =\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n\}\; =\; k\}$равна $2\; -\; n\; (n\; (n\; +\; k)\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{-\; n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; (n\; +\; k)\; /\; 2\}\}$. Представляя элементы треугольника Паскаля в виде факториалов и используя формулу Стирлинга, можно получить хорошие оценки этих вероятностей для больших значений $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$.

Если пространство ограничено $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$+ для краткости, может быть показано количество способов, которыми случайное блуждание приведет к любому заданному числу, имеющему пять переворотов. как {0,5,0,4,0,1}.

Эта связь с треугольником Паскаля демонстрируется для малых значений n. При нулевых оборотах единственная возможность будет оставаться на нуле. Однако за один ход есть один шанс приземлиться на -1 или один шанс приземлиться на 1. За два хода маркер на 1 может переместиться на 2 или снова на ноль. Маркер на -1 может переместиться в -2 или обратно в ноль. Следовательно, есть один шанс приземлиться на -2, два шанса приземлиться на ноль и один шанс приземлиться на 2.

k	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5
$P\; [S\; 0\; =\; k]\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; [S\_\; \{0\}\; =\; k]\}$						1
$2\; P\; [S\; 1\; =\; k]\; \{\backslash \; displaystyle\; 2P\; [S\_\; \{1\}\; =\; k]\}$					1		1
$2\; 2\; P\; [S\; 2\; =\; k]\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{2\}\; P\; [S\_\; \{2\}\; =\; k]\}$				1		2		1
$2\; 3\; P\; [S\; 3\; =\; к]\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{3\}\; P\; [S\_\; \{3\}\; =\; k]\}$			1		3		3		1
$2\; 4\; P\; [S\; 4\; =\; k]\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{4\}\; P\; [S\_\; \{4\}\; =\; k]\; \}$		1		4		6		4		1
$2\; 5\; P\; [S\; 5\; =\; k]\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{5\}\; P\; [S\_\; \{5\}\; =\; k]\}$	1		5		10		10		5		1

центральная предельная теорема и закон повторного логарифма описывают важные аспекты поведения простых случайных блужданий на $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$. В частности, первое влечет за собой, что при увеличении n вероятности (пропорциональные числам в каждой строке) приближаются к нормальному распределению.

В качестве прямого обобщения можно рассматривать случайные блуждания по кристаллическим решеткам (бесконечные абелевы покрывающие графы над конечными графами). На самом деле в этой ситуации можно установить центральную предельную теорему и теорему о большом уклонении.

В качестве цепи Маркова

также можно рассматривать одномерное случайное блуждание at как цепь Маркова, пространство состояний которой задается целыми числами $i\; =\; 0,\; \pm \; 1,\; \pm \; 2,\dots .\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 0,\; \backslash \; pm\; 1,\; \backslash \; pm\; 2,\; \backslash \; dots.\}$Для некоторого числа p, удовлетворяющего , вероятности перехода (вероятность P i, j перехода из состояния i в состояние j) задаются как

$P\; i,\; i\; +\; 1\; =\; p\; =\; 1\; -\; P\; i,\; i\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; P\_\; \{i,\; i\; +\; 1\}\; =\; p\; =\; 1-P\_\; \{i,\; i-1\}.\}$

Более высокие измерения

Три случайных блуждания в трех измерениях

В более высоких измерениях множество случайно пройденных точек обладает интересными геометрическими свойствами. Фактически, получается дискретный фрактал, то есть набор, который демонстрирует стохастическое самоподобие на больших масштабах. В небольших масштабах можно наблюдать «неровности», возникающие из-за сетки, по которой выполняется прогулка. Две книги Лоулера, упомянутые ниже, являются хорошим источником по этой теме. Траектория случайного блуждания - это совокупность посещенных точек, рассматриваемая как совокупность без учета того, когда прогулка достигла точки. В одном измерении траектория - это просто все точки между минимальной высотой и максимальной высотой, достигнутой при прогулке (обе в среднем имеют порядок $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\}$).

Чтобы представить себе двухмерный случай, можно представить себе человека, беспорядочно идущего по городу. Город фактически бесконечен и расположен в квадратной сетке тротуаров. На каждом перекрестке человек случайным образом выбирает один из четырех возможных маршрутов (включая тот, из которого он изначально ехал). Формально это случайное блуждание по набору всех точек в плоскости с целым числом координатами.

Вернется ли человек когда-нибудь в исходную начальную точку ходить? Это двумерный эквивалент проблемы пересечения уровней, обсужденной выше. В 1921 году Джордж Полиа доказал, что человек почти наверняка совершит двумерное случайное блуждание, но для трех измерений или выше вероятность возврата к исходной точке уменьшается по мере того, как габариты увеличиваются. В трех измерениях вероятность снижается примерно до 34%. Математик Шизуо Какутани, как известно, сослался на этот результат следующей цитатой: «Пьяный человек найдет дорогу домой, но пьяная птица может потеряться навсегда».

Другой вариант этого вопроса, который также задавал Полиа: если два человека покинут одну и ту же отправную точку, то встретятся ли они когда-нибудь снова? Можно показать, что разница между их местоположениями (два независимых случайных блуждания) также является простым случайным блужданием, поэтому они почти наверняка снова встретятся в двухмерном блуждании, но для трех измерений и выше вероятность уменьшается с увеличением числа блужданий. размеры. Пол Эрдеш и Сэмюэл Джеймс Тейлор также показали в 1960 году, что для размерностей, меньших или равных 4, два независимых случайных блуждания, начинающиеся из любых двух заданных точек, почти наверняка имеют бесконечно много пересечений, но для размерностей больше 5 они почти наверняка пересекаются только конечное число раз.

Асимптотическая функция для двумерного случайного блуждания при увеличении количества шагов задается распределением Рэлея. Распределение вероятностей является функцией радиуса от начала координат, а длина шага постоянна для каждого шага.

$P\; (r)\; =\; 2\; r\; N\; e\; -\; r\; 2\; /\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (r)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2r\}\; \{N\}\}\; e\; ^\; \{-\; r\; ^\; \{2\}\; /\; N\}\}$

Связь с винеровским процессом

Смоделированные шаги, приближающие винеровский процесс в двух измерениях

A Винеровский процесс - это стохастический процесс с поведением, аналогичным броуновскому движению, физическому явлению диффузии мельчайших частиц в жидкости. (Иногда винеровский процесс называют «броуновским движением», хотя это, строго говоря, путаница модели с моделируемым явлением.)

Винеровский процесс - это масштабирование предел случайного блуждания в измерении 1. Это означает, что если вы совершите случайное блуждание с очень маленькими шагами, вы получите приближение к винеровскому процессу (и, менее точно, к броуновскому движению). Чтобы быть более точным, если размер шага равен ε, необходимо совершить прогулку длиной L / ε, чтобы приблизиться к винеровской длине L. Поскольку размер шага стремится к 0 (и количество шагов увеличивается пропорционально), случайное блуждание сходится в подходящем смысле к винеровскому процессу. Формально, если B - пространство всех путей длины L с максимальной топологией, и если M - пространство меры над B с топологией нормы, то сходимость происходит в пространстве M. Точно так же винеровский процесс в нескольких измерениях - это предел масштабирования случайного блуждания в том же количестве измерений.

Случайное блуждание - это дискретный фрактал (функция с целочисленными измерениями; 1, 2,...), но траектория винеровского процесса является истинным фракталом, и существует связь между двумя. Например, совершите случайную прогулку, пока она не попадет в круг радиуса r, умноженного на длину шага. Среднее количество шагов, которые он выполняет, равно r. Этот факт является дискретной версией того факта, что блуждание винеровского процесса является фракталом размерности Хаусдорфа 2.

В двух измерениях среднее количество точек, которые одно и то же случайное блуждание имеет на границе своей траектории, равно r. Это соответствует тому факту, что граница траектории винеровского процесса представляет собой фрактал размерности 4/3, факт, предсказанный Мандельбротом с помощью моделирования, но доказанный только в 2000 году Лоулером, Шрамм и Вернер.

Винеровский процесс обладает многими симметриями , нет случайного блуждания. Например, блуждание винеровского процесса инвариантно к поворотам, а случайное блуждание - нет, поскольку базовая сетка не является (случайное блуждание инвариантно к поворотам на 90 градусов, но винеровские процессы инвариантны к поворотам, например, на 17 градусов тоже). Это означает, что во многих случаях задачи случайного блуждания легче решить, переведя их в винеровский процесс, решив там проблему и затем переведя обратно. С другой стороны, некоторые проблемы легче решить с помощью случайных блужданий из-за их дискретности.

Случайное блуждание и винеровский процесс могут быть связаны, а именно проявляться в одном и том же вероятностном пространстве зависимым образом, что заставляет их быть достаточно близкими. Простейшей такой связью является вложение Скорохода, но существуют более точные связи, такие как аппроксимационная теорема Комлоша – Майора – Туснади.

Сходимость случайного блуждания к винеровскому процессу контролируется центральной предельной теоремой и теоремой Донскера. Для частицы, находящейся в известном фиксированном положении при t = 0, центральная предельная теорема говорит нам, что после большого числа независимых шагов в случайном блуждании положение пешехода распределяется в соответствии с нормальным распределение общей дисперсии :

$\sigma \; 2\; =\; t\; \delta \; t\; \epsilon \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{\backslash \; delta\; t\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{\; 2\},\}$

где t - время, прошедшее с начала случайного блуждания, $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$- размер шага случайного блуждания, а $\delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; t\}$- время, прошедшее между двумя последовательными шагами.

Это соответствует функции Грина в уравнении диффузии, которое управляет винеровским процессом, что предполагает, что после большого количества шагов случайное блуждание сходится к винеровский процесс.

В 3D дисперсия, соответствующая функции Грина уравнения диффузии, составляет:

$\sigma \; 2\; =\; 6\; D\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; =\; 6\; \backslash ,\; D\; \backslash ,\; t.\}$

Уравнивая эту величину с дисперсией, связанной с положением случайного блуждающего, можно получить эквивалентный коэффициент диффузии, который следует учитывать при асимптотике Винеровский процесс, к которому случайное блуждание сходится после большого количества шагов:

$D\; =\; \epsilon \; 2\; 6\; \delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; ^\; \{2\}\}\; \{6\; \backslash \; delta\; t\}\}\}$(действительно только в 3D).

Примечание: два вышеуказанных выражения дисперсии соответствуют распределению, связанному с вектором $R\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{R\}\}\}$, который связывает два конца случайного блуждания в 3D. Дисперсия, связанная с каждым компонентом $R\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{x\}\}$, $R\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{y\}\}$или $R\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{z\; \}\}$составляет только треть этого значения (все еще в 3D).

Для 2D:

$D\; =\; \epsilon \; 2\; 4\; \delta \; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; ^\; \{2\}\}\; \{4\; \backslash \; delta\; t\}\}.\}$

Для 1D:

$D\; =\; \epsilon \; 2\; 2\; \delta \; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; delta\; t\}\}.\}$

Случайное блуждание с размером шага, который изменяется в зависимости от нормальное распределение используется в качестве модели для данных временных рядов реального мира, таких как финансовые рынки. Например, формула Блэка – Шоулза для моделирования цен опционов использует гауссовское случайное блуждание в качестве основного предположения.

Здесь размер шага - это обратное кумулятивное нормальное распределение $\Phi \; -\; 1\; (z,\; \mu ,\; \sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; ^\; \{-\; 1\}\; (z,\; \backslash \; mu,\; \backslash \; sigma)\}$где 0 ≤ z ≤ 1 - равномерно распределенное случайное число, а μ и σ - среднее и стандартное отклонения нормального распределения соответственно.

Если μ не равно нулю, случайное блуждание будет изменяться по линейному тренду. Если v s является начальным значением случайного блуждания, ожидаемое значение после n шагов будет v s + nμ.

Для особого случая, когда μ равно нулю, после n шагов распределение вероятностей расстояния перемещения определяется выражением N (0, nσ), где N () - обозначение нормального распределения, n - количество шагов, а σ - из обратного кумулятивного нормального распределения, как указано выше.

Доказательство: случайное блуждание по Гауссу можно представить как сумму последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин, X i из обратного кумулятивного нормального распределения со средним равным нулю и σ исходного обратного кумулятивного нормального распределения:

Z = $\sum \; i\; =\; 0\; n\; X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{X\_\; \{i\}\}\}$,

, но мы имеют распределение для суммы двух независимых нормально распределенных случайных величин, Z = X + Y, задается как

$N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\}$(μX+ μ Y, σ X + σ Y) (см. здесь).

В нашем случае μ X = μ Y = 0 и σ X = σ Y = σ yield

$N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\}$(0, 2σ)

По индукции, для n шагов у нас есть

Z ~ $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\}$(0, nσ).

Для шагов, распределенных согласно любому распределению с нулевым средним и конечным дисперсия (не обязательно просто нормальное распределение), среднеквадратичный перевод расстояние после n шагов составляет

$E\; |\; S\; n\; 2\; |\; =\; \sigma \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{E\; |\; S\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\; |\}\}\; =\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}.\}$

Но для гауссовского случайного блуждания это просто стандартное отклонение распределение расстояний перевода после n шагов. Следовательно, если μ равно нулю и поскольку среднеквадратичное расстояние перевода (RMS) составляет одно стандартное отклонение, существует 68,27% вероятность того, что RMS-расстояние перевода после n шагов окажется в пределах ± σ $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\}$. Точно так же существует 50% -ная вероятность того, что расстояние перевода после n шагов окажется в пределах ± 0,6745σ $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\}$.

Аномальная диффузия

В неупорядоченных системах, таких как поскольку пористая среда и фракталы $\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$могут быть не пропорциональны $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$, но $т\; 2\; /\; dw\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; ^\; \{2\; /\; d\_\; \{w\}\}\}$. Показатель $dw\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{w\}\}$называется показателем аномальной диффузии и может быть больше или меньше 2. Аномальная диффузия может также может быть выражено как σ r ~ Dt, где α - параметр аномалии. Некоторые диффузии в случайной среде даже пропорциональны степени логарифма времени, см., Например, прогулку Синая или диффузию Брокса.

Количество различных сайтов

Количество разных сайтов, посещенных одним случайным прохожим $S\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (t)\}$, было широко изучался для квадратных и кубических решеток и фракталов. Эта величина полезна для анализа задач захвата и кинетических реакций. Это также связано с колебательной плотностью состояний, процессами диффузионных реакций и распространением популяций в экологии. Обобщение этой проблемы на количество отдельных сайтов, посещенных $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$случайными блуждающими, $SN\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{N\}\; (t)\}$, недавно был изучен для d-мерных евклидовых решеток. Количество различных сайтов, которые посетили N пешеходов, не просто связано с количеством отдельных сайтов, посещенных каждым пешеходом.

Скорость передачи информации

Скорость передачи информации гауссовского случайного блуждания относительно квадрата расстояния ошибки, то есть ее квадратичной функции искажения скорости, равна задано параметрически

$R\; (D\; \theta )\; =\; 1\; 2\; \int \; 0\; 1\; max\; \{0,\; журнал\; 2\; \; (S\; (\phi )\; /\; \theta )\}\; d\; \phi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (D\; \_\; \{\backslash \; theta\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; max\; \backslash \; \{0,\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (S\; (\backslash \; varphi)\; /\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\; \backslash \}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi,\}$

$D\; \theta \; =\; \int \; 0\; 1\; мин\; \{S\; (\phi ),\; \theta \}\; d\; \phi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; min\; \backslash \; \{S\; (\backslash \; varphi),\; \backslash \; theta\; \backslash \}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi,\}$

где $S\; (\phi )\; =\; (2\; sin\; \; (\pi \; \phi \; /\; 2))\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; sin\; (\backslash \; pi\; \backslash \; varphi\; /\; 2)\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 2\}\}$. Следовательно, невозможно закодировать $\{Z\; n\}\; n\; =\; 1\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; \{Z\_\; \{n\}\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\}\}$с помощью двоичный код меньше $NR\; (D\; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; NR\; (D\; \_\; \{\backslash \; theta\})\}$бит и восстановить его с ожидаемой среднеквадратичной ошибкой менее $D\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}$. С другой стороны, для любого $\epsilon >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon>0\}$, существует $N\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$достаточно большой и двоичный код, состоящий не более чем из $2\; NR\; (D\; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{NR\; (D\; \_\; \{\backslash \; theta\})\}\}$отдельных элементов, таких что ожидаемые среднеквадратичная ошибка при восстановлении $\{Z\; n\}\; n\; =\; 1\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; \{Z\_\; \{n\}\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\}\}$из этого кода самое большее $D\; \theta \; -\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; -\; \backslash \; varepsilon\}$.

Скульптура Энтони Гормли Quantum Cloud в Лондоне был разработан компьютером с использованием алгоритма случайного блуждания.

Как уже упоминалось, диапазон природных явлений, которые можно было описать с помощью некоторых разновидностей случайных блужданий, весьма значителен, в частности в физике и химии, материалы научные ence, биология и другие области. Ниже приведены некоторые конкретные применения случайного блуждания:

• В финансовой экономике «гипотеза случайного блуждания » используется для моделирования цен акций и других факторов. Эмпирические исследования обнаружили некоторые отклонения от этой теоретической модели, особенно в краткосрочных и долгосрочных корреляциях. См. курс акций.
• В популяционной генетике случайное блуждание описывает статистические свойства генетического дрейфа
• В физике случайные блуждания используются как упрощенные модели физического броуновского движения и диффузии, такой как случайное движение молекул в жидкостях и газах. См., Например, агрегирование с ограничением диффузии. Также в физике случайные прогулки и некоторые самовзаимодействующие прогулки играют роль в квантовой теории поля.
• В математической экологии случайные прогулки используются для описания движений отдельных животных, для эмпирической поддержки процессов. биодиффузии, а иногда и для моделирования динамики популяции.
• В физике полимеров случайное блуждание описывает идеальную цепочку. Это простейшая модель для изучения полимеров.
• В других областях математики случайное блуждание используется для вычисления решений уравнения Лапласа, для оценки гармонической меры и для различных конструкций в анализе и комбинаторике.
• В информатике случайные блуждания используются для оценки размера Сети.
• В сегментация изображения, случайные обходы используются для определения меток (т. е. «объект» или «фон») для связи с каждым пикселем. Этот алгоритм обычно называется алгоритмом сегментации случайного блуждания.

Во всех этих случаях броуновское движение часто заменяется случайным блужданием.

• В исследовании мозга случайные блуждания и усиленные случайные блуждания используются для моделирования каскадов возбуждения нейронов в мозге.
• В науке о зрении наблюдается тенденция к дрейфу глаз вести себя как случайное блуждание. По мнению некоторых авторов, фиксирующие движения глаз в целом также хорошо описываются случайным блужданием.
• В психологии случайные блуждания точно объясняют взаимосвязь между необходимым временем для принятия решения и вероятности того, что определенное решение будет принято.
• Случайные блуждания могут использоваться для выборки из пространства состояний, которое неизвестно или очень велико, например, чтобы выбрать случайную страницу в Интернете или, для исследования условий труда, случайный работник в данной стране.

• Когда этот последний подход используется в информатике, он известен как цепь Маркова Монте-Карло или MCMC для короткая. Часто выборка из некоторого сложного пространства состояний также позволяет получить вероятностную оценку размера пространства. Оценка постоянного большой матрицы нулей и единиц была первой серьезной проблемой, решаемой с использованием этого подхода.

• Случайные блуждания также использовались для выборки массивные онлайн-графы, такие как социальные сети в Интернете.
• В беспроводных сетях для моделирования движения узлов используется случайное блуждание.
• Подвижные бактерии участвуют в предвзятое случайное блуждание.
• Случайные блуждания используются для моделирования азартных игр.
• В физике случайные блуждания лежат в основе метода оценки Ферми.
• В Интернете на веб-сайте Twitter используются случайные блуждания, чтобы предлагать за кем следовать
• Дэйв Байер и Перси Диаконис доказали, что 7 тасование карт достаточно, чтобы перемешать колоду карт (подробнее см. тасование ). Этот результат переводится в утверждение о случайном блуждании по симметричной группе , что они и доказывают, с решающим использованием структуры группы с помощью анализа Фурье.

Ряд были рассмотрены типы случайных процессов, которые похожи на чистые случайные блуждания, но в которых простая структура может быть более обобщенной. Чистая структура может быть охарактеризована шагами, определяемыми независимыми и одинаково распределенными случайными величинами.

На графах

Случайным блужданием длины k на возможно бесконечном графе G с корнем 0 - это случайный процесс со случайными величинами $X\; 1,\; X\; 2,\dots ,\; X\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{k\}\}$такие, что $X\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\}\; =\; 0\}$и $X\; i\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{X\_\; \{i\; +\; 1\}\}\}$- это вершина, равномерно выбранная случайным образом из соседей $X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{i\}\}$. Тогда число $pv,\; w,\; k\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{v,\; w,\; k\}\; (G)\}$представляет собой вероятность того, что случайное блуждание длины k, начинающееся в v, закончится на ш. В частности, если G - граф с корнем 0, $p\; 0,\; 0,\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0,0,2k\}\}$- вероятность того, что a $2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; 2k\}$-шаговое случайное блуждание возвращается к 0.

Основываясь на аналогии из предыдущего раздела о более высоких измерениях, предположим, что теперь наш город больше не представляет собой идеальную квадратную сетку. Когда наш человек достигает определенного перекрестка, он с равной вероятностью выбирает между разными доступными дорогами. Таким образом, если на перекрестке семь выходов, человек пойдет к каждому с вероятностью одна седьмая. Это случайное блуждание по графику. Доберется ли наш человек до своего дома? Оказывается, при довольно мягких условиях ответ все равно положительный, но, в зависимости от графика, это ответ на вариантный вопрос «Встречаются ли еще два человека?» не может быть, что они встречаются бесконечно часто, почти наверняка.

Пример случая, когда человек почти наверняка доберется до своего дома, - это когда длины всех блоков находятся между a и b (где a и b - любые два конечных положительных числа). Обратите внимание, что мы не предполагаем, что график плоский, т.е. город может содержать туннели и мосты. Один из способов подтвердить этот результат - использовать подключение к электрическим сетям. Возьмите карту города и поместите резистор Ом на каждый квартал. Теперь измерьте «сопротивление между точкой и бесконечностью». Другими словами, выберите какое-то число R и возьмите все точки в электрической сети на расстоянии больше R от нашей точки и соедините их вместе. Теперь это конечная электрическая сеть, и мы можем измерить сопротивление от нашей точки до подключенных точек. Довести R до бесконечности. Предел называется сопротивлением между точкой и бесконечностью. Оказывается, верно следующее (элементарное доказательство можно найти в книге Дойла и Снелла):

Теорема : граф является переходным тогда и только тогда, когда сопротивление между точкой и бесконечностью конечно. Неважно, какая точка выбрана, если график связан.

Другими словами, в переходной системе достаточно преодолеть конечное сопротивление, чтобы добраться до бесконечности из любой точки. В рекуррентной системе сопротивление от любой точки до бесконечности бесконечно.

Эта характеристика быстротечности и повторяемости очень полезна и, в частности, позволяет нам анализировать случай города, нарисованного на плоскости с ограниченными расстояниями.

Случайное блуждание по графу - это особый случай цепи Маркова. В отличие от общей цепи Маркова, случайное блуждание по графу обладает свойством, называемым временной симметрией или обратимостью. Грубо говоря, это свойство, также называемое принципом детального баланса, означает, что вероятности прохождения заданного пути в одном или другом направлении имеют очень простую связь между ними (если график обычный, они просто равны). Это свойство имеет важные последствия.

Начиная с 1980-х годов, было проведено много исследований, чтобы связать свойства графа со случайными блужданиями. В дополнение к подключению к электрической сети, описанному выше, существуют важные связи с изопериметрическими неравенствами, см. Подробнее здесь, функциональными неравенствами, такими как Соболев и Пуанкаре. неравенства и свойства решений уравнения Лапласа. Значительная часть этого исследования была сосредоточена на графиках Кэли из конечно порожденные группы. Во многих случаях эти дискретные результаты переносятся на многообразия и группы Ли.

или выводятся из них.

В контексте случайных графов, в частности, Модель Эрдеша – Реньи, получены аналитические результаты некоторых свойств случайных бродяг. Они включают в себя распределение времени первого и последнего попадания ходунка, где время первого попадания дается, когда он впервые входит в ранее посещенный участок графика, а время последнего попадания соответствует первому разу, когда он не может выполнить дополнительный ход без повторного посещения ранее посещенного сайта.

Хорошим справочником по случайным блужданиям по графам является онлайн-книга Олдоса и Филла. Для групп см. Книгу Беда. Если ядро ​​перехода $p\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (x,\; y)\}$само по себе является случайным (на основе среды $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$), то случайное блуждание называется «случайным блужданием в случайной среде». Когда закон случайного блуждания включает случайность $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$, закон называется законом отжига; с другой стороны, если $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$рассматривается как фиксированный, закон называется гашеным законом. См. Книгу Хьюза, книгу Ревеса или конспекты лекций Зейтуни.

Мы можем подумать о выборе каждого возможного края с той же вероятностью, что и максимизация неопределенности (энтропии) локально. Мы также могли бы сделать это глобально - в случайном блуждании с максимальной энтропией (MERW) мы хотим, чтобы все пути были равновероятными, или, другими словами: для каждых двух вершин каждый путь заданной длины равновероятен. Это случайное блуждание имеет гораздо более сильные свойства локализации.

Самовзаимодействующие случайные блуждания

Существует ряд интересных моделей случайных путей, в которых каждый шаг сложным образом зависит от прошлого. Все они более сложны для аналитического решения, чем обычное случайное блуждание; тем не менее, поведение любой модели случайного бродяги можно получить с помощью компьютеров. Примеры включают в себя:

• Самопроизвольный обход.

Самопроизвольный обход длины n по Z ^ d - это случайный n-шаговый путь, который начинается в начале координат, совершает переходы только между соседними сайтами в Z ^ d, никогда не посещайте сайт повторно, и выбирается одинаково среди всех таких путей. В двух измерениях, из-за самозахвата, типичная прогулка с самопознанием очень коротка, в то время как в более высоком измерении она растет безгранично. Эта модель часто используется в физике полимеров (с 1960-х годов).

• Случайное блуждание со стиранием цикла.
• The.
• The.
• The.

Коррелированные прогулки на большие расстояния

На большие расстояния коррелированные временные ряды встречаются во многих биологических, климатологических и экономических системах.

• Записи сердцебиения
• Некодирующие последовательности ДНК
• Временные ряды волатильности акций
• Температурные записи по всему миру

Предвзятые случайные блуждания по графикам

Случайное блуждание с максимальной энтропией

Случайное блуждание, выбранное для максимизации скорости энтропии, имеет гораздо более сильные свойства локализации.

Коррелированные случайные блуждания

Случайные блуждания, при которых направление движения в один момент времени коррелирует с направлением движения в следующий раз. Он используется для моделирования движений животных.

• Разветвляющееся случайное блуждание
• Броуновское движение
• Закон повторного логарифма
• Полет Леви
• Гипотеза поиска пищи в полете Леви
• Случайное блуждание со стиранием цикла
• Максимальное энтропийное случайное блуждание
• Самопроизвольное блуждание
• Единичный корень

• Олдос, Дэвид ; Заливка, Джеймс Аллен (2002). Обратимые цепи Маркова и случайные блуждания на графах. Архивировано из оригинала 27 февраля 2019 г.
• Бен-Авраам Д.; Хэвлин С., Диффузия и реакции во фракталах и неупорядоченных системах, Cambridge University Press, 2000.
• Doyle, Peter G.; Снелл, Дж. Лори (1984). Случайные блуждания и электрические сети. Математические монографии Каруса. 22. Математическая ассоциация Америки. arXiv : math.PR/0001057. ISBN 978-0-88385-024-4. MR 0920811.
• Феллер, Уильям (1968), Введение в теорию вероятностей и ее приложения (Том 1). ISBN 0-471-25708-7
• Хьюз, Барри Д. (1996), Случайные блуждания и случайные среды, Oxford University Press. ISBN 0-19-853789-1
• Норрис, Джеймс (1998), Markov Chains, Cambridge University Press. ISBN 0-521-63396-6
• Pólya G. (1921), "Uber eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung betreffend die Irrfahrt im Strassennetz", Mathematische Annalen, 84 (1-2): 149-160, март 1921.
• Ревес, Пал (2013), Случайное блуждание в случайных и неслучайных средах (третье издание), World Scientific Pub Co. ISBN 978-981-4447-50-8
• Сунада, Тошиказу (2012). Топологическая кристаллография: с точки зрения дискретного геометрического анализа. Обзоры и учебные пособия по прикладным математическим наукам. 6 . Springer. ISBN 978-4-431-54177-6.
• Вайс Г. Аспекты и приложения случайного блуждания, Северная Голландия, 1994.
• Бесс, Вольфганг (2000)), Случайные блуждания на бесконечных графах и группах, Кембриджские трактаты по математике 138, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55292-3

• Константы случайного блуждания Поли
• Случайное блуждание в Java-апплете
• Квантовое случайное блуждание
• по Гауссу оценка случайного блуждания
• Модели электронной проводимости с использованием максимальной энтропии Случайные блуждания Wolfram Demonstrations Project