Корень блока

редактировать

характеристика некоторых случайных процессов

В теории вероятностей и статистике, a единичный корень - это особенность некоторых случайных процессов (например, случайных блужданий ), которые могут вызывать проблемы в статистическом выводе с участием временных рядов модели. Линейный случайный процесс имеет единичный корень, если 1 является корнем характеристического уравнения процесса. Такой процесс нестационарен, но не всегда имеет тенденцию.

Если другие корни характеристического уравнения лежат внутри единичной окружности, то есть имеют модуль (абсолютное значение ) меньше единицы, то первая разность процесса будет стационарным; в противном случае процесс нужно будет несколько раз различать, чтобы он стал стационарным. Если имеется d единичных корней, процесс нужно будет изменить d раз, чтобы сделать его стационарным. Из-за этой характеристики единичные корневые процессы также называют разностными стационарными.

единичные корневые процессы иногда можно спутать с стационарными по тренду процессами; хотя у них много общих свойств, они различаются по многим аспектам. Временной ряд может быть нестационарным, но не иметь единичного корня и быть стационарным по тренду. Как в процессах с единичным корнем, так и в стационарных трендовых процессах среднее значение может со временем расти или уменьшаться; однако при наличии шока стационарные трендовые процессы возвращаются к среднему (то есть временные ряды снова сходятся к растущему среднему, на которое не повлиял шок), в то время как процессы с единичным корнем оказывают постоянное влияние на среднее значение (т.е. отсутствие сходимости с течением времени).

Если корень характеристического уравнения процесса больше 1, то он называется взрывным процессом, даже если такие процессы иногда неточно называется процессами единичных корней.

Наличие единичного корня можно проверить с помощью теста единичного корня.

Содержание

1 Определение
2 Пример
3 Связанные модели
4 Оценка, когда может присутствовать единичный корень
5 Свойства и характеристики процессов единичного корня
6 Гипотеза единичного корня
7 См. также
8 Примечания

Определение

Рассмотрим дискретное время случайный процесс $(yt, t = 1, 2, 3,…) {\ displaystyle (y_ {t}, t = 1,2,3, \ ldots)}$ ${\ displaystyle (y_ {t}, t = 1,2,3, \ ldots)}$ , и предположим, что его можно записать как процесс авторегрессии порядка p:

yt = a 1 yt - 1 + a 2 yt - 2 + ⋯ + apyt - p + ε t. {\ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + a_ {2} y_ {t-2} + \ cdots + a_ {p} y_ {tp} + \ varepsilon _ {t}.}

y_ {t} = a_ {1} y _ {{t-1}} + a_ {2} y _ {{t-2}} + \ cdots + a_ { p} y _ {{tp}} + \ varepsilon _ {t}.

Здесь $(ε t, t = 0, 1, 2,…,) {\ displaystyle (\ varepsilon _ {t}, t = 0,1,2, \ ldots,)}$ ${\ displaystyle (\ varepsilon _ {t}, t = 0,1,2, \ ldots,)}$ - это серийно некоррелированный случайный процесс с нулевым средним и постоянной дисперсией $σ 2 {\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$ $\ sigma ^ {2}$ . Для удобства предположим, что $y 0 = 0 {\ displaystyle y_ {0} = 0}$ $y_ {0} = 0$ . Если $m = 1 {\ displaystyle m = 1}$ $м = 1$ является корнем из характеристического уравнения с кратностью 1:

mp - mp - 1 a 1 - mp - 2 a 2 - ⋯ - ap = 0 {\ displaystyle m ^ {p} -m ^ {p-1} a_ {1} -m ^ {p-2} a_ {2} - \ cdots -a_ {p} = 0}

m ^ {p} -m ^ {{p-1}} a_ {1} -m ^ {{p-2}} a_ {2} - \ cdots -a_ {p} = 0

, то случайный процесс имеет единичный корень или, альтернативно, интегрирован с порядком один, обозначенный $Я (1) {\ Displaystyle I (1)}$ $I (1)$ . Если m = 1 является корнем кратности r, то стохастический процесс интегрируется порядка r, обозначенного I (r).

Пример

Модель авторегрессии первого порядка, $yt = a 1 yt - 1 + ε t {\ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + \ varepsilon _ {t}}$ ${\ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + \ varepsilon _ {t}}$ , имеет единичный корень, когда $a 1 = 1 {\ displaystyle a_ {1} = 1}$ $a_1 = 1$ . В этом примере характеристическое уравнение: $m - a 1 = 0 {\ displaystyle m-a_ {1} = 0}$ $m-a_ {1} = 0$ . Корень уравнения: $m = 1 {\ displaystyle m = 1}$ $м = 1$ .

Если процесс имеет единичный корень, то это нестационарный временной ряд. То есть моменты случайного процесса зависят от $t {\ displaystyle t}$ $t$ . Чтобы проиллюстрировать эффект единичного корня, мы можем рассмотреть случай первого порядка, начиная с y 0 = 0:

y t = y t - 1 + ε t. {\ displaystyle y_ {t} = y_ {t-1} + \ varepsilon _ {t}.}

{\ displaystyle y_ {t} = y_ {t-1} + \ varepsilon _ {t}.}

Путем повторной подстановки мы можем написать $yt = y 0 + ∑ j = 1 t ε j {\ displaystyle y_ {t} = y_ {0} + \ sum _ {j = 1} ^ {t} \ varepsilon _ {j}}$ $y_ {t} = y_ {0} + \ sum _ {{j = 1}} ^ {t} \ varepsilon _ {j}$ . Тогда дисперсия $y t {\ displaystyle y_ {t}}$ $y_ {t}$ определяется следующим образом:

Var ⁡ (y t) = ∑ j = 1 t σ 2 = t σ 2. {\ displaystyle \ operatorname {Var} (y_ {t}) = \ sum _ {j = 1} ^ {t} \ sigma ^ {2} = t \ sigma ^ {2}.}

\ operatorname {Var} (y_ {t}) = \ sum _ {{j = 1} } ^ {t} \ sigma ^ {2} = t \ sigma ^ {2}.

Дисперсия зависит от t, поскольку $Var ⁡ (y 1) = σ 2 {\ displaystyle \ operatorname {Var} (y_ {1}) = \ sigma ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Var} (y_ {1}) = \ sigma ^ {2} }$ , а $Var ⁡ ( Y 2) = 2 σ 2 {\ Displaystyle \ OperatorName {Var} (y_ {2}) = 2 \ sigma ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Var} (y_ {2}) = 2 \ sigma ^ {2}}$ . Обратите внимание, что дисперсия ряда расходится до бесконечности с t.

Существуют различные тесты для проверки существования единичного корня, некоторые из них даются:

тест Дики – Фуллера (DF) или расширенный тест Дики –Тесты Фуллера (ADF)
Проверка значимости более чем одного коэффициента (f-тест)
Тест Филлипса – Перрона (PP)
Тест Дики Пантулы

Связанные модели

В дополнение к моделям авторегрессии (AR) и авторегрессии – скользящего среднего (ARMA), другие важные модели возникают в регрессионном анализе, где ошибки модели могут сами иметь структуру временного ряда и, следовательно, могут нуждаться в моделировании с помощью процесса AR или ARMA, который может иметь единичный корень, как обсуждалось выше. Были проанализированы свойства конечной выборки регрессионных моделей с ошибками ARMA первого порядка, включая единичные корни.

Оценка, когда может присутствовать единичный корень

Часто, обычный метод наименьших квадратов (OLS) используется для оценки коэффициентов наклона модели авторегрессии . Использование OLS основывается на стационарности случайного процесса. Когда стохастический процесс нестационарен, использование OLS может привести к неверным оценкам. Грейнджер и Ньюболд назвали такие оценки результатами «ложной регрессии»: высокие значения R и высокие t-отношения дают результаты, не имеющие экономического смысла.

Для оценки коэффициентов наклона следует сначала провести тест на единичный корень, нулевая гипотеза которого состоит в том, что присутствует единичный корень. Если эта гипотеза отвергается, можно использовать OLS. Однако, если наличие единичного корня не отвергается, то к ряду следует применить оператор разности . Если другой тест с единичным корнем показывает, что временной ряд с разницей является стационарным, тогда к этому ряду можно применить OLS для оценки коэффициентов наклона.

Например, в случае AR (1) $Δ yt = yt - yt - 1 = ε t {\ displaystyle \ Delta y_ {t} = y_ {t} -y_ {t- 1} = \ varepsilon _ {t}}$ $\ Delta y_ { {t}} = y _ {{t}} - y _ {{t-1}} = \ varepsilon _ {{t}}$ неподвижен.

В случае AR (2) $yt = a 1 yt - 1 + a 2 yt - 2 + ε t {\ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1 } + a_ {2} y_ {t-2} + \ varepsilon _ {t}}$ $y _ {{t}} = a _ {{1}} y _ {{t-1}} + a _ {{ 2}} y _ {{t-2}} + \ varepsilon _ {{t}}$ можно записать как $(1 - λ 1 L) (1 - λ 2 L) yt = ε t {\ displaystyle (1- \ lambda _ {1} L) (1- \ lambda _ {2} L) y_ {t} = \ varepsilon _ {t}}$ $(1- \ lambda _ {{1}} L) (1- \ lambda _ {{2}} L) y _ {{t}} = \ varepsilon _ {{t}}$ где L - a оператор запаздывания, уменьшающий временной индекс переменной на один период: $L yt = yt - 1 {\ displaystyle Ly_ {t} = y_ {t-1}}$ $Ly _ {{t}} = y _ {{t-1}}$ . Если $λ 2 = 1 {\ displaystyle \ lambda _ {2} = 1}$ $\ lambda _ {{2}} = 1$ , модель имеет единичный корень, и мы можем определить $zt = Δ yt {\ displaystyle z_ {t } = \ Delta y_ {t}}$ $z _ {{t}} = \ Delta y _ {{t}}$ ; тогда

zt = λ 1 zt - 1 + ε t {\ displaystyle z_ {t} = \ lambda _ {1} z_ {t-1} + \ varepsilon _ {t}}

z _ {{t}} = \ lambda _ {{1}} z _ {{t-1}} + \ varepsilon _ {{t}}

стационарно, если $| λ 1 | < 1 {\displaystyle |\lambda _{1}|<1}$ $| \ lambda _ {1} | <1$ . OLS можно использовать для оценки коэффициента наклона, $λ 1 {\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ $\ lambda _ {{1}}$ .

Если процесс имеет несколько единичных корней, оператор разности можно применять несколько раз.

Свойства и характеристики процессов единичного корня

Удары по процессу единичного корня имеют постоянные эффекты, которые не затухают, как если бы процесс был стационарным
Как отмечалось выше, единичный процесс корневой процесс имеет дисперсию, зависящую от t, и расходится до бесконечности
Если известно, что серия имеет единичный корень, серию можно разделить, чтобы сделать ее стационарной. Например, если ряд $Y t {\ displaystyle Y_ {t}}$ $Y_ {t}$ равен I (1), ряд $Δ Y t = Y t - Y t - 1 {\ displaystyle \ Delta Y_ {t} = Y_ {t} -Y_ {t-1}}$ $\ Delta Y_ {t} = Y_ {t} -Y _ {{t-1}}$ - это I (0) (стационарный). Следовательно, он называется разностным стационарным рядом.

Гипотеза единичного корня

На приведенной выше диаграмме показан пример потенциального единичного корня. Красная линия представляет наблюдаемое падение выпуска. Зеленый цвет показывает путь восстановления, если серия имеет единичный корень. Синим цветом показано восстановление, если нет единичного корня и ряд является стационарным по тренду. Синяя линия возвращается, чтобы встретиться и следовать за пунктирной линией тренда, а зеленая линия постоянно остается ниже тренда. Гипотеза единичного корня также утверждает, что скачок выпуска приведет к тому, что уровень выпуска будет выше, чем прошлый тренд.

Экономисты спорят, имеет ли различная экономическая статистика, особенно выпуск, единичный корень или тренд-стационар. Процесс с единичным корнем со смещением задается в случае первого порядка следующим образом:

yt = yt - 1 + c + et {\ displaystyle y_ {t} = y_ {t-1} + c + e_ {t}}

y_ {t} = y _ {{t-1}} + c + e_ {t}

, где c - постоянный член, называемый термином "дрейф", а $et {\ displaystyle e_ {t}}$ $e_t$ - белый шум. Любое ненулевое значение параметра шума, возникающее только в течение одного периода, навсегда повлияет на значение $yt {\ displaystyle y_ {t}}$ $y_ {t}$ , как показано на графике, поэтому отклонения от строка $yt = a + ct {\ displaystyle y_ {t} = a + ct}$ $y_ {t} = a + ct$ нестационарны; нет возврата к какой-либо линии тренда. Напротив, стационарный процесс тренда задается следующим образом:

yt = k ⋅ t + ut {\ displaystyle y_ {t} = k \ cdot t + u_ {t}}

y_ {t} = k \ cdot t + u_ {t}

, где k - наклон тренда. и $ut {\ displaystyle u_ {t}}$ $u_ {t}$ - шум (белый шум в простейшем случае; в более общем смысле, шум, следующий за собственным стационарным процессом авторегрессии). Здесь любой переходный шум не изменит долгосрочную тенденцию попадания $y t {\ displaystyle y_ {t}}$ $y_ {t}$ на линию тренда, как это также показано на графике. Этот процесс называется стационарным по тренду, потому что отклонения от линии тренда стационарны.

Эта проблема особенно популярна в литературе по экономическим циклам. Исследования по этому вопросу начались с Нельсона и Плоссера, чья статья о ВНП и других совокупных выходных показателях не смогла отвергнуть гипотезу единичного корня для этих рядов. С тех пор последовали дебаты, переплетенные с техническими спорами о статистических методах. Некоторые экономисты утверждают, что ВВП имеет единичный корень или структурный разрыв, подразумевая, что экономические спады приводят к постоянному снижению уровня ВВП в долгосрочной перспективе. Другие экономисты утверждают, что ВВП является стационарным трендом: то есть, когда ВВП опускается ниже тренда во время спада, он позже возвращается к уровню, предполагаемому трендом, так что не будет постоянного снижения выпуска. Хотя литература по гипотезе единичного корня может состоять из тайных дебатов о статистических методах, эта гипотеза имеет важные практические последствия для экономических прогнозов и политики.

См. Также

Тест Дики – Фуллера
Расширенный тест Дики – Фуллера
Тест ADF-GLS
Тест единичного корня
Тест Филлипса – Перрона
Коинтеграция, определение взаимосвязи между двумя переменными, имеющими единичные корни
Взвешенный симметричный тест на единичный корень (WS)
Тест Квятковского, Филлипса, Шмидта, Шина, известный как тесты KPSS

Примечания