Оператор запаздывания

В анализе временных рядов используется оператор запаздывания (L) или назад оператор сдвига (B) работает с элементом временного ряда для создания предыдущего элемента. Например, для некоторого временного ряда

$X\; =\; \{X\; 1,\; X\; 2,\dots \}\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \backslash \; \{X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; \backslash \; dots\; \backslash \}\; \backslash ,\}$

затем

$LX\; t\; =\; Икс\; t\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; LX\_\; \{t\}\; =\; X\_\; \{t-1\}\}$для всех $t>1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ;\; t>1\; \backslash ,\; \}$

или аналогично в терминах оператора обратного сдвига B: $BX\; t\; =\; X\; t\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; BX\_\; \{t\}\; =\; X\_\; \{t-1\}\}$для всех $t>1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ;\; t>1\; \backslash ,\}$. Эквивалентно это определение может быть представлено как

$X\; t\; =\; LX\; t\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; X\_\; \{t\}\; =\; LX\_\; \{t\; +\; 1\}\}$для всех $t\; \ge \; 1\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash ;\; t\; \backslash \; geq\; 1\; \backslash ,\}$

Оператор запаздывания (а также оператор обратного сдвига) может быть увеличен до произвольной целочисленной степени, так что

$L\; -\; 1\; X\; t\; =\; X\; t\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; L\; ^\; \{-\; 1\}\; X\_\; \{t\}\; =\; X\_\; \{t\; +\; 1\}\; \backslash ,\}$

и

$L\; k\; X\; t\; =\; X\; t\; -\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; L\; ^\; \{k\}\; X\_\; \{t\}\; =\; X\_\; \{tk\}.\; \backslash ,\}$

• 1 Многочлены запаздывания
• 2 Оператор разности
• 3 Условное ожидание
• 4 См. также
• 5 Ссылки

Можно использовать полиномы оператора запаздывания, и это обычное обозначение для моделей ARMA (авторегрессивное скользящее среднее). Например,

$\epsilon \; T\; =\; Икс\; T\; -\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; п\; \phi \; я\; Икс\; T\; -\; я\; =\; (1\; -\; \sum \; я\; =\; 1\; п\; \phi \; я\; L\; я)\; Икс\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{t\}\; =\; X\_\; \{t\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{p\}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; X\_\; \{ti\}\; =\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{p\}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; L\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; X\_\; \{t\}\; \backslash ,\}$

задает модель AR (p).

A полином операторов запаздывания называется полиномом запаздывания, так что, например, модель ARMA может быть кратко определена как

$\phi \; (L)\; X\; t\; =\; \theta \; (L)\; \epsilon \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (L)\; X\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; theta\; (L)\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{t\}\; \backslash ,\}$

где $\phi \; (L)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (L)\}$и $\theta \; (L)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; (L)\}$соответственно представляют многочлены запаздывания

$\phi \; (L)\; =\; 1\; -\; \sum \; i\; =\; 1\; p\; \phi \; i\; L\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (L)\; =\; 1-\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{p\}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; L\; ^\; \{i\}\; \backslash ,\}$

и

$\theta \; (L)\; =\; 1\; +\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; q\; \theta \; я\; L\; я.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; (L)\; =\; 1\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{q\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\}\; L\; ^\; \{i\}.\; \backslash ,\}$

Полиномы операторов запаздывания подчиняются аналогичным правилам умножения и деление, как числа и многочлены от переменных. Например,

$Икс\; t\; =\; \theta \; (L)\; \phi \; (L)\; \epsilon \; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{t\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\; (L)\}\; \{\backslash \; varphi\; (L)\}\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{\; t\},\}$

означает то же, что и

$\phi \; (L)\; X\; t\; =\; \theta \; (L)\; \epsilon \; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (L)\; X\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; theta\; (L)\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{t\}\; \backslash ,.\}$

Как и в случае с многочленами от переменных, один многочлен в операторе запаздывания можно разделить на другой, используя полиномиальное деление в столбик. В общем случае деление одного такого многочлена на другой, когда каждый из них имеет конечный порядок (наивысший показатель степени), приводит к многочлену бесконечного порядка.

Оператор аннигилятора, обозначенный $[]\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash ]\; \_\; \{+\}\}$, удаляет элементы полинома с отрицательной степенью (будущие ценности).

Обратите внимание, что $\phi \; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; left\; (1\; \backslash \; right)\}$обозначает сумму коэффициентов:

$\phi \; (1)\; =\; 1\; -\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; п\; \phi \; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; left\; (1\; \backslash \; right)\; =\; 1-\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{p\}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\}$

В анализе временных рядов первый оператор разности: $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$

$\nabla \; X\; t\; =\; X\; t\; -\; X\; t\; -\; 1\; \nabla \; X\; t\; =\; (1\; -\; L)\; X\; t.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{lcr\}\; \backslash \; nabla\; X\_\; \{t\}\; =\; X\_\; \{t\}\; -X\_\; \{t-1\}\; \backslash \backslash \backslash \; nabla\; X\_\; \{t\}\; =\; (1-L)\; X\_\; \{t\}\; ~.\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Аналогично, второй оператор разности работает следующим образом:

$\nabla \; (\nabla \; X\; t)\; =\; \nabla \; X\; t\; -\; \nabla \; X\; t\; -\; 1\; \nabla \; 2\; X\; t\; =\; (1\; -\; L)\; \nabla \; X\; t\; \nabla \; 2\; X\; t\; =\; (1\; -\; L)\; (1\; -\; L)\; X\; t\; \nabla \; 2\; X\; t\; =\; (1\; -\; L)\; 2\; X\; t.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; nabla\; (\backslash \; nabla\; X\_\; \{t\})\; =\; \backslash \; nabla\; X\_\; \{t\}\; -\; \backslash \; nabla\; X\_\; \{t-1\}\; \backslash \backslash \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; X\_\; \{t\}\; =\; (1-L)\; \backslash \; nabla\; X\_\; \{t\}\; \backslash \backslash \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; X\_\; \{t\}\; =\; (1-L)\; (1-L)\; X\_\; \{t\}\; \backslash \backslash \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; X\_\; \{t\; \}\; =\; (1-L)\; ^\; \{2\}\; X\_\; \{t\}\; ~.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Вышеупомянутый подход обобщает i-й оператор разности $\nabla \; i\; X\; t\; =\; (1\; -\; L)\; я\; X\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{i\}\; X\_\; \{t\}\; =\; (1-L)\; ^\; \{i\}\; X\_\; \{t\}\; \backslash .\}$

В стохастических процессах принято заботиться о ожидаемое значение переменной с учетом предыдущего набора информации. Пусть $\Omega \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; \_\; \{t\}\}$будет всей информацией, которая является общеизвестной в момент времени t (это часто указывается под оператором математического ожидания); тогда ожидаемое значение реализации X, j временных шагов в будущем, может быть записано эквивалентно как:

$E\; [X\; t\; +\; j\; |\; \Omega \; t]\; =\; E\; t\; [X\; t\; +\; j].\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [X\_\; \{t\; +\; j\}\; |\; \backslash \; Omega\; \_\; \{t\}]\; =\; E\_\; \{t\}\; [X\_\; \{t\; +\; j\}]\; \backslash ,.\}$

С этими зависящими от времени условными ожиданиями есть необходимо различать оператор обратного сдвига (B), который регулирует только дату прогнозируемой переменной, и оператор запаздывания (L), который одинаково регулирует дату прогнозируемой переменной и набор информации:

$L\; n\; E\; t\; [X\; t\; +\; j]\; =\; E\; t\; -\; n\; [X\; t\; +\; j\; -\; n],\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{n\}\; E\_\; \{t\}\; [X\_\; \{t\; +\; j\}]\; =\; E\_\; \{tn\}\; [X\_\; \{t\; +\; jn\}]\; \backslash ,,\}$

$B\; n\; E\; t\; [X\; t\; +\; j]\; =\; E\; t\; [X\; t\; +\; j\; -\; n].\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; ^\; \{n\}\; E\_\; \{t\}\; [X\_\; \{t\; +\; j\}]\; =\; E\_\; \{t\}\; [X\_\; \{t\; +\; jn\}]\; \backslash ,.\}$

• Модель авторегрессии
• Модель авторегрессионного скользящего среднего
• Модель скользящего среднего
• Оператор сдвига
• Z-преобразование

• Гамильтон, Джеймс Дуглас (1994). Анализ временных рядов. Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-04289-6.
• Вербеек, Марно (2008). Руководство по современной эконометрике. Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-470-51769-7.
• Вайсштейн, Эрик. "Wolfram MathWorld". WolframMathworld: Оператор разности. Wolfram Research. Проверено 10 ноября 2017 г.
• Box, George E.P.; Jenkins, Gwilym M.; Reinsel, Gregory C.; Юнг, Грета М. (2016). Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль (5-е изд.). Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-1-118-67502-1.