Закон повторного логарифма

редактировать

График

S n / n {\ displaystyle S_ {n} / n}

S_ {n} / n

( красный), его стандартное отклонение

1 / n {\ displaystyle 1 / {\ sqrt {n}}}

1 / {\ sqrt {n}}

(синий) и его граница

2 log ⁡ log ⁡ n / n {\ displaystyle {\ sqrt {2 \ log \ log n / n}}}

{\ sqrt {2 \ log \ log n / n}}

, заданный LIL (зеленый). Обратите внимание, как он случайным образом переключается с верхней границы на нижнюю. Обе оси нелинейно преобразованы (как показано в сводке рисунков), чтобы сделать этот эффект более заметным.

В теории вероятностей закон повторного логарифма описывает величину колебания случайного блуждания. Первоначальная формулировка закона повторного логарифма принадлежит A. Я. Хинчин (1924). Другое заявление было дано А. Н. Колмогоров в 1929 г.

Содержание

1 Утверждение
2 Обсуждение
3 Обобщения и варианты
4 См. Также
5 Примечания

Утверждение

Пусть {Y n } будут независимыми, одинаково распределенными случайными величинами с нулевым средним и единичной дисперсией. Пусть S n = Y 1 +... + Y n. Тогда

lim sup n → ∞ ± S n 2 n log ⁡ log ⁡ n = 1 п.н., {\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ pm S_ {n}} {\ sqrt {2n \ log \ log n}}} = 1 \ quad {\ text {as}}, }

{\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ pm S_ {n}} {\ sqrt {2n \ log \ log n}}} = 1 \ quad {\ text {as}},}

где «log» - это натуральный логарифм, «lim sup» означает верхний предел, а «as» означает «почти наверняка ”.

Обсуждение

Закон повторных логарифмов действует« между »законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Есть две версии закона больших чисел - слабый и сильный - и в обеих утверждается, что суммы S n, масштабированные на n, сходятся равны нулю соответственно по вероятности и почти наверняка :

S nn → p 0, S nn → a. с. 0 при n → ∞. {\ displaystyle {\ frac {S_ {n}} {n}} \ {\ xrightarrow {p}} \ 0, \ qquad {\ frac {S_ {n}} {n}} \ {\ xrightarrow {as}} 0, \ qquad {\ text {as}} \ \ n \ to \ infty.}

{\ frac {S_ {n}} {n}} \ {\ xrightarrow {p}} \ 0, \ qquad {\ frac {S_ {n}} {n}} \ {\ xrightarrow {as}} 0, \ qquad { \ text {as}} \ \ n \ to \ infty.

С другой стороны, центральная предельная теорема утверждает, что суммы S n, масштабированные с помощью множителя n, сходятся в распределении к стандартному нормальному распределению. Согласно закону нуля к единице Колмогорова для любого фиксированного M вероятность того, что событие $lim sup n S nn ≥ M {\ displaystyle \ limsup _ {n} {\ frac {S_ {n} } {\ sqrt {n}}} \ geq M}$ ${\ displaystyle \ limsup _ {n} {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} \ geq M}$ встречается как 0 или 1. Тогда

Pr (lim sup n S nn ≥ M) ⩾ lim sup n Pr (S nn ≥ M) Знак равно Pr (N (0, 1) ≥ M)>0 {\ displaystyle \ Pr \ left (\ limsup _ {n} {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} \ geq M \ right) \ geqslant \ limsup _ {n} \ Pr \ left ({\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} \ geq M \ right) = \ Pr \ left ({\ mathcal {N}} (0,1) \ geq M \ right)>0}

\Pr \left(\limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\geq M\right)\geqslant \limsup _{n}\Pr \left({\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\geq M\right)=\Pr \left({\mathcal {N}}(0,1)\geq M\right)>0

так

lim sup n S nn = ∞ с вероятностью 1. {\ displaystyle \ limsup _ {n} {\ frac {S_ {n}} { \ sqrt {n}}} = \ infty \ qquad {\ text {с вероятностью 1.}}}

{\ displaystyle \ limsup _ {n} {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} = \ infty \ qquad {\ text {с вероятностью 1}}}

Идентичный аргумент показывает, что

lim inf n S nn = - ∞ с вероятностью 1. {\ displaystyle \ liminf _ {n} {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} = - \ infty \ qquad {\ text {с вероятностью 1.}}}

{\ displaystyle \ liminf _ {n} {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} = - \ infty \ qquad {\ text {с вероятностью 1.}}}

Это означает, что Эти величины не могут почти наверняка сходиться. Фактически, они не могут даже сходиться по вероятности, что следует из равенства

S 2 n 2 n - S nn = 1 2 S 2 n - S nn - (1 - 1 2) S nn {\ displaystyle {\ frac {S_ {2n}} {\ sqrt {2n}}} - {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ frac {S_ {2n} -S_ {n}} {\ sqrt {n}}} - \ left (1 - {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ right) {\ frac {S_ {n} } {\ sqrt {n}}}}

{\ displaystyle {\ frac {S_ {2n}} {\ sqrt {2n}}} - {\ frac {S_ { n}} {\ sqrt {n}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ frac {S_ {2n} -S_ {n}} {\ sqrt {n}}} - \ left (1 - {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ right) {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}}}

и тот факт, что случайные величины

S nn и S 2 n - S nn {\ displaystyle {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n} }} \ quad {\ text {и}} \ quad {\ frac {S_ {2n} -S_ {n}} {\ sqrt {n}}}}

{\ displaystyle {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ frac {S_ {2n} -S_ {n}} {\ sqrt {n}}}}

независимы, и оба сходятся в распределении к $N (0, 1). {\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1).}$ ${\ mathcal {N}} (0,1).$

Закон повторного логарифма обеспечивает коэффициент масштабирования, при котором два предела становятся разными:

S n 2 n log ⁡ log ⁡ n → р 0, S n 2 n журнал ⁡ журнал ⁡ n ↛ а. с. 0 при n → ∞. {\ displaystyle {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {2n \ log \ log n}}} \ {\ xrightarrow {p}} \ 0, \ qquad {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {2n \ log \ log n}}} \ {\ stackrel {as} {\ nrightarrow}} \ 0, \ qquad {\ text {as}} \ \ n \ to \ infty.}

{\ displaystyle {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {2n \ log \ log n}}} \ {\ xrightarrow { p}} \ 0, \ qquad {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {2n \ log \ log n}}} \ {\ stackrel {as} {\ nrightarrow}} \ 0, \ qquad {\ text {as}} \ \ n \ к \ infty.}

Таким образом, хотя количество $| S n / 2 n журнал ⁡ журнал ⁡ n | {\ displaystyle \ left | S_ {n} / {\ sqrt {2n \ log \ log n}} \ right |}$ ${\ displaystyle \ left | S_ {n} / {\ sqrt {2n \ log \ log n}} \ right |}$ меньше любого предопределенного ε>0 с вероятностью, приближающейся к единице, тем не менее количество будет бесконечно часто быть больше ε; фактически, количество будет посещать окрестности любой точки в интервале (-1,1) почти наверняка.

Выставка предельных теорем и их взаимосвязь

Обобщения и варианты

Закон повторного логарифма (LIL) для суммы независимых и одинаково распределенных (iid) случайных величин с нулевым средним и ограниченным приращением восходит к Хинчину и Колмогорову в 1920-е гг.

С тех пор был проделан огромный объем работы над LIL для различных видов зависимых структур и для случайных процессов. Ниже приводится небольшой пример заметных событий.

Хартман – Винтнер (1940) обобщил LIL на случайные блуждания с приращениями с нулевым средним и конечной дисперсией.

Штрассен (1964) изучал LIL с точки зрения принципов инвариантности.

Стаут (1970) обобщил LIL на стационарные эргодические мартингалы.

Де Акоста (1983) дал простое доказательство версии LIL Хартмана – Винтнера.

Виттманн (1985) обобщил версию LIL Хартмана – Винтнера на случайные блуждания, удовлетворяющие более мягким условиям.

Вовк (1987) вывел версию LIL, пригодную для одной хаотической последовательности (случайная последовательность Колмогорова). Это примечательно, так как это выходит за рамки классической теории вероятностей.

Юнгге Ван показал, что закон повторного логарифма выполняется также для псевдослучайных последовательностей с полиномиальным временем. Программное обеспечение на основе Java средство тестирования проверяет, выводит ли генератор псевдослучайных последовательностей последовательности, удовлетворяющие LIL.

Неасимптотическая версия, которая сохраняется в течение конечного времени мартингейл примерных путей, также была доказана и применена.

См. Также

Примечания