Сумма нормально распределенных случайных величин

редактировать

В теории вероятностей вычисление суммы нормально распределенных случайных величин является примером арифметики случайных величин, которая может быть довольно сложной на основе распределений вероятностей задействованных случайных величин и их взаимосвязей.

Это не следует путать с суммой нормальных распределений, которая образует смешанное распределение.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Независимые случайные величины
    • 1.1 Доказательства
      • 1.1.1 Доказательство с использованием характеристических функций
      • 1.1.2 Доказательство с использованием сверток
        • 1.1.2.1 Использование теоремы о свертке
      • 1.1.3 Геометрическое доказательство
  • 2 Коррелированные случайные величины
    • 2.1 Доказательство
  • 3 ссылки
  • 4 См. Также

Независимые случайные величины

Пусть X и Y - независимые случайные величины, которые нормально распределены (и, следовательно, также вместе), тогда их сумма также нормально распределена. то есть, если

Икс N ( μ Икс , σ Икс 2 ) {\ Displaystyle X \ sim N (\ mu _ {X}, \ sigma _ {X} ^ {2})}
Y N ( μ Y , σ Y 2 ) {\ Displaystyle Y \ sim N (\ mu _ {Y}, \ sigma _ {Y} ^ {2})}
Z знак равно Икс + Y , {\ Displaystyle Z = X + Y,}

тогда

Z N ( μ Икс + μ Y , σ Икс 2 + σ Y 2 ) . {\ displaystyle Z \ sim N (\ mu _ {X} + \ mu _ {Y}, \ sigma _ {X} ^ {2} + \ sigma _ {Y} ^ {2}).}

Это означает, что сумма двух независимых нормально распределенных случайных величин является нормальной, при этом ее среднее значение является суммой двух средних, а ее дисперсия - суммой двух дисперсий (т. Е. Квадрат стандартного отклонения представляет собой сумму квадраты стандартных отклонений).

Для того, чтобы этот результат трюма, предположение, что X и Y независимы, не может быть удалено, хотя это может быть ослаблено в предположение, что X и Y является совместно, а не по отдельности, как правило, распределено. (См. Пример здесь. )

Результат о среднем сохраняется во всех случаях, в то время как результат для дисперсии требует некоррелированности, но не независимости.

Доказательства

Доказательство с использованием характеристических функций

Характеристическая функция

φ Икс + Y ( т ) знак равно E ( е я т ( Икс + Y ) ) {\ displaystyle \ varphi _ {X + Y} (t) = \ operatorname {E} \ left (e ^ {it (X + Y)} \ right)}

суммы двух независимых случайных величин X и Y является просто произведением двух отдельных характеристических функций:

φ Икс ( т ) знак равно E ( е я т Икс ) , φ Y ( т ) знак равно E ( е я т Y ) {\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = \ operatorname {E} \ left (e ^ {itX} \ right), \ qquad \ varphi _ {Y} (t) = \ operatorname {E} \ left ( e ^ {itY} \ right)}

из X и Y.

Характеристическая функция нормального распределения с математическим ожиданием μ и дисперсией σ 2 равна

φ ( т ) знак равно exp ( я т μ - σ 2 т 2 2 ) . {\ displaystyle \ varphi (t) = \ exp \ left (it \ mu - {\ sigma ^ {2} t ^ {2} \ over 2} \ right).}

Так

φ Икс + Y ( т ) знак равно φ Икс ( т ) φ Y ( т ) знак равно exp ( я т μ Икс - σ Икс 2 т 2 2 ) exp ( я т μ Y - σ Y 2 т 2 2 ) знак равно exp ( я т ( μ Икс + μ Y ) - ( σ Икс 2 + σ Y 2 ) т 2 2 ) . {\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi _ {X + Y} (t) = \ varphi _ {X} (t) \ varphi _ {Y} (t) amp; = \ exp \ left (it \ mu _ {X} - {\ sigma _ {X} ^ {2} t ^ {2} \ over 2} \ right) \ exp \ left (it \ mu _ {Y} - {\ sigma _ {Y} ^ {2 } t ^ {2} \ over 2} \ right) \\ [6pt] amp; = \ exp \ left (it (\ mu _ {X} + \ mu _ {Y}) - {(\ sigma _ {X} ^ {2} + \ sigma _ {Y} ^ {2}) t ^ {2} \ over 2} \ right). \ End {align}}}

Это характеристическая функция нормального распределения с математическим ожиданием и дисперсией. μ Икс + μ Y {\ displaystyle \ mu _ {X} + \ mu _ {Y}} σ Икс 2 + σ Y 2 {\ Displaystyle \ sigma _ {X} ^ {2} + \ sigma _ {Y} ^ {2}}

Наконец, напомним, что никакие два различных распределения не могут иметь одинаковую характеристическую функцию, поэтому распределение X  +  Y должно быть именно этим нормальным распределением.

Доказательство с использованием сверток

Для независимых случайных величин X и Y распределение f Z для Z = X  +  Y равно свертке f X и f Y :

ж Z ( z ) знак равно - ж Y ( z - Икс ) ж Икс ( Икс ) d Икс {\ displaystyle f_ {Z} (z) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {Y} (zx) f_ {X} (x) \, dx}

Учитывая, что f X и f Y - нормальные плотности,

ж Икс ( Икс ) знак равно N ( Икс ; μ Икс , σ Икс 2 ) знак равно 1 2 π σ Икс е - ( Икс - μ Икс ) 2 / ( 2 σ Икс 2 ) ж Y ( y ) знак равно N ( y ; μ Y , σ Y 2 ) знак равно 1 2 π σ Y е - ( y - μ Y ) 2 / ( 2 σ Y 2 ) {\ displaystyle {\ begin {align} f_ {X} (x) = {\ mathcal {N}} (x; \ mu _ {X}, \ sigma _ {X} ^ {2}) = {\ frac { 1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma _ {X}}} e ^ {- (x- \ mu _ {X}) ^ {2} / (2 \ sigma _ {X} ^ {2 })} \\ [5pt] f_ {Y} (y) = {\ mathcal {N}} (y; \ mu _ {Y}, \ sigma _ {Y} ^ {2}) = {\ frac {1 } {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma _ {Y}}} e ^ {- (y- \ mu _ {Y}) ^ {2} / (2 \ sigma _ {Y} ^ {2})} \ end {выровнено}}}

Подставляем в свертку:

ж Z ( z ) знак равно - 1 2 π σ Y exp [ - ( z - Икс - μ Y ) 2 2 σ Y 2 ] 1 2 π σ Икс exp [ - ( Икс - μ Икс ) 2 2 σ Икс 2 ] d Икс знак равно - 1 2 π 2 π σ Икс σ Y exp [ - σ Икс 2 ( z - Икс - μ Y ) 2 + σ Y 2 ( Икс - μ Икс ) 2 2 σ Икс 2 σ Y 2 ] d Икс знак равно - 1 2 π 2 π σ Икс σ Y exp [ - σ Икс 2 ( z 2 + Икс 2 + μ Y 2 - 2 Икс z - 2 z μ Y + 2 Икс μ Y ) + σ Y 2 ( Икс 2 + μ Икс 2 - 2 Икс μ Икс ) 2 σ Y 2 σ Икс 2 ] d Икс знак равно - 1 2 π 2 π σ Икс σ Y exp [ - Икс 2 ( σ Икс 2 + σ Y 2 ) - 2 Икс ( σ Икс 2 ( z - μ Y ) + σ Y 2 μ Икс ) + σ Икс 2 ( z 2 + μ Y 2 - 2 z μ Y ) + σ Y 2 μ Икс 2 2 σ Y 2 σ Икс 2 ] d Икс {\ displaystyle {\ begin {align} f_ {Z} (z) amp; = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma _ {Y}}} \ exp \ left [- {(zx- \ mu _ {Y}) ^ {2} \ over 2 \ sigma _ {Y} ^ {2}} \ right] {\ frac {1} { {\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma _ {X}}} \ exp \ left [- {(x- \ mu _ {X}) ^ {2} \ over 2 \ sigma _ {X} ^ {2 }} \ right] \, dx \\ [6pt] amp; = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} {\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}}} \ exp \ left [- {\ frac {\ sigma _ {X} ^ {2} (zx- \ mu _ {Y}) ^ {2 } + \ sigma _ {Y} ^ {2} (x- \ mu _ {X}) ^ {2}} {2 \ sigma _ {X} ^ {2} \ sigma _ {Y} ^ {2}} } \ right] \, dx \\ [6pt] amp; = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} {\ sqrt {2 \ pi }} \ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}}} \ exp \ left [- {\ frac {\ sigma _ {X} ^ {2} (z ^ {2} + x ^ {2} + \ mu _ {Y} ^ {2} -2xz-2z \ mu _ {Y} + 2x \ mu _ {Y}) + \ sigma _ {Y} ^ {2} (x ^ {2} + \ mu _ { X} ^ {2} -2x \ mu _ {X})} {2 \ sigma _ {Y} ^ {2} \ sigma _ {X} ^ {2}}} \ right] \, dx \\ [6pt ] amp; = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} {\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}}} \ exp \ left [- {\ frac {x ^ {2} (\ sigma _ {X} ^ {2} + \ sigma _ {Y} ^ {2}) - 2x (\ sigma _ { X} ^ {2} (z- \ mu _ {Y}) + \ sigma _ {Y} ^ {2} \ mu _ {X}) + \ sigm a _ {X} ^ {2} (z ^ {2} + \ mu _ {Y} ^ {2} -2z \ mu _ {Y}) + \ sigma _ {Y} ^ {2} \ mu _ { X} ^ {2}} {2 \ sigma _ {Y} ^ {2} \ sigma _ {X} ^ {2}}} \ right] \, dx \\ [6pt] \ end {align}}}

Определение и завершение квадрата : σ Z знак равно σ Икс 2 + σ Y 2 {\ displaystyle \ sigma _ {Z} = {\ sqrt {\ sigma _ {X} ^ {2} + \ sigma _ {Y} ^ {2}}}}

ж Z ( z ) знак равно - 1 2 π σ Z 1 2 π σ Икс σ Y σ Z exp [ - Икс 2 - 2 Икс σ Икс 2 ( z - μ Y ) + σ Y 2 μ Икс σ Z 2 + σ Икс 2 ( z 2 + μ Y 2 - 2 z μ Y ) + σ Y 2 μ Икс 2 σ Z 2 2 ( σ Икс σ Y σ Z ) 2 ] d Икс знак равно - 1 2 π σ Z 1 2 π σ Икс σ Y σ Z exp [ - ( Икс - σ Икс 2 ( z - μ Y ) + σ Y 2 μ Икс σ Z 2 ) 2 - ( σ Икс 2 ( z - μ Y ) + σ Y 2 μ Икс σ Z 2 ) 2 + σ Икс 2 ( z - μ Y ) 2 + σ Y 2 μ Икс 2 σ Z 2 2 ( σ Икс σ Y σ Z ) 2 ] d Икс знак равно - 1 2 π σ Z exp [ - σ Z 2 ( σ Икс 2 ( z - μ Y ) 2 + σ Y 2 μ Икс 2 ) - ( σ Икс 2 ( z - μ Y ) + σ Y 2 μ Икс ) 2 2 σ Z 2 ( σ Икс σ Y ) 2 ] 1 2 π σ Икс σ Y σ Z exp [ - ( Икс - σ Икс 2 ( z - μ Y ) + σ Y 2 μ Икс σ Z 2 ) 2 2 ( σ Икс σ Y σ Z ) 2 ] d Икс знак равно 1 2 π σ Z exp [ - ( z - ( μ Икс + μ Y ) ) 2 2 σ Z 2 ] - 1 2 π σ Икс σ Y σ Z exp [ - ( Икс - σ Икс 2 ( z - μ Y ) + σ Y 2 μ Икс σ Z 2 ) 2 2 ( σ Икс σ Y σ Z ) 2 ] d Икс {\ displaystyle {\ begin {align} f_ {Z} (z) amp; = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma _ {Z}}} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} {\ frac {\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}} {\ sigma _ {Z}}}}} \ exp \ left [- {\ frac {x ^ {2} -2x {\ frac {\ sigma _ {X} ^ {2} (z- \ mu _ {Y}) + \ sigma _ {Y} ^ {2 } \ mu _ {X}} {\ sigma _ {Z} ^ {2}}} + {\ frac {\ sigma _ {X} ^ {2} (z ^ {2} + \ mu _ {Y} ^ {2} -2z \ mu _ {Y}) + \ sigma _ {Y} ^ {2} \ mu _ {X} ^ {2}} {\ sigma _ {Z} ^ {2}}}} {2 \ left ({\ frac {\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}} {\ sigma _ {Z}}} \ right) ^ {2}}} \ right] \, dx \\ [6pt] amp; = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma _ {Z}}} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} {\ frac {\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}} {\ sigma _ {Z}}}}} \ exp \ left [- {\ frac {\ left (x - {\ frac {\ sigma _ {X} ^ {2} (z- \ mu _ {Y}) + \ sigma _ {Y} ^ {2} \ mu _ {X}} {\ sigma _ {Z} ^ {2} }} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {\ sigma _ {X} ^ {2} (z- \ mu _ {Y}) + \ sigma _ {Y} ^ {2} \ mu _ {X}} {\ sigma _ {Z} ^ {2}}} \ right) ^ {2} + {\ frac {\ sigma _ {X} ^ {2} (z- \ mu _ {Y}) ^ {2} + \ sigma _ {Y} ^ {2} \ mu _ {X} ^ {2}} {\ sigma _ {Z} ^ {2}}}} {2 \ left ({\ frac {\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}} {\ sigma _ {Z}}} \ right) ^ {2}}} \ right] \, dx \\ [6pt] amp; = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma _ {Z}}} \ exp \ left [- {\ frac {\ sigma _ { Z} ^ {2} \ left (\ sigma _ {X} ^ {2} (z- \ mu _ {Y}) ^ {2} + \ sigma _ {Y} ^ {2} \ mu _ {X} ^ {2} \ right) - \ left (\ sigma _ {X} ^ {2} (z- \ mu _ {Y}) + \ sigma _ {Y} ^ {2} \ mu _ {X} \ right) ^ {2}} {2 \ sigma _ {Z} ^ {2} \ left (\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y} \ right) ^ {2}}} \ right] {\ frac {1 } {{\ sqrt {2 \ pi}} {\ frac {\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}} {\ sigma _ {Z}}}}} \ exp \ left [- {\ frac {\ слева (x - {\ frac {\ sigma _ {X} ^ {2} (z- \ mu _ {Y}) + \ sigma _ {Y} ^ {2} \ mu _ {X}} {\ sigma _ {Z} ^ {2}}} \ right) ^ {2}} {2 \ left ({\ frac {\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}} {\ sigma _ {Z}}} \ right) ^ {2}}} \ right] \, dx \\ [6pt] amp; = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma _ {Z}}} \ exp \ left [- {(z - (\ mu _ {X} + \ mu _ {Y})) ^ {2} \ over 2 \ sigma _ {Z} ^ {2}} \ right] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} {\ frac {\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}} {\ sigma _ {Z}}}}} \ exp \ left [- {\ frac {\ left (x - {\ frac {\ sigma _ {X} ^ {2} (z- \ mu _ {Y}) + \ sigma _ {Y} ^ {2} \ mu) _ {X}} {\ sigma _ {Z} ^ {2}}} \ right) ^ {2}} {2 \ left ({\ frac {\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}} {\ sigma _ {Z}}} \ right) ^ {2}}} \ right] \, dx \ end {выровнено} }}

Выражение в интеграле является нормальным распределением плотности по x, поэтому интеграл принимает значение 1. Требуемый результат следующий:

ж Z ( z ) знак равно 1 2 π σ Z exp [ - ( z - ( μ Икс + μ Y ) ) 2 2 σ Z 2 ] {\ displaystyle f_ {Z} (z) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma _ {Z}}} \ exp \ left [- {(z - (\ mu _ { X} + \ mu _ {Y})) ^ {2} \ over 2 \ sigma _ {Z} ^ {2}} \ right]}
Используя теорему свертки

Можно показать, что преобразование Фурье гауссиана есть ж Икс ( Икс ) знак равно N ( Икс ; μ Икс , σ Икс 2 ) {\ displaystyle f_ {X} (x) = {\ mathcal {N}} (x; \ mu _ {X}, \ sigma _ {X} ^ {2})}

F { ж Икс } знак равно F Икс ( ω ) знак равно exp [ - j ω μ Икс ] exp [ - σ Икс 2 ω 2 2 ] {\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f_ {X} \} = F_ {X} (\ omega) = \ exp \ left [-j \ omega \ mu _ {X} \ right] \ exp \ left [- {\ tfrac {\ sigma _ {X} ^ {2} \ omega ^ {2}} {2}} \ right]}

По теореме свертки :

ж Z ( z ) знак равно ( ж Икс * ж Y ) ( z ) знак равно F - 1 { F { ж Икс } F { ж Y } } знак равно F - 1 { exp [ - j ω μ Икс ] exp [ - σ Икс 2 ω 2 2 ] exp [ - j ω μ Y ] exp [ - σ Y 2 ω 2 2 ] } знак равно F - 1 { exp [ - j ω ( μ Икс + μ Y ) ] exp [ - ( σ Икс 2   + σ Y 2 ) ω 2 2 ] } знак равно N ( z ; μ Икс + μ Y , σ Икс 2 + σ Y 2 ) {\ displaystyle {\ begin {align} f_ {Z} (z) amp; = (f_ {X} * f_ {Y}) (z) \\ [5pt] amp; = {\ mathcal {F}} ^ {- 1 } {\ big \ {} {\ mathcal {F}} \ {f_ {X} \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {f_ {Y} \} {\ big \}} \\ [5pt] amp; = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} {\ big \ {} \ exp \ left [-j \ omega \ mu _ {X} \ right] \ exp \ left [- {\ tfrac {\ sigma _ {X} ^ {2} \ omega ^ {2}} {2}} \ right] \ exp \ left [-j \ omega \ mu _ {Y} \ right] \ exp \ left [- {\ tfrac { \ sigma _ {Y} ^ {2} \ omega ^ {2}} {2}} \ right] {\ big \}} \\ [5pt] amp; = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} { \ big \ {} \ exp \ left [-j \ omega (\ mu _ {X} + \ mu _ {Y}) \ right] \ exp \ left [- {\ tfrac {(\ sigma _ {X} ^ {2} \ + \ sigma _ {Y} ^ {2}) \ omega ^ {2}} {2}} \ right] {\ big \}} \\ [5pt] amp; = {\ mathcal {N}} (z; \ mu _ {X} + \ mu _ {Y}, \ sigma _ {X} ^ {2} + \ sigma _ {Y} ^ {2}) \ end {выровнено}}}

Геометрическое доказательство

Сначала рассмотрим случай, когда нормализованное Х, Y ~ N (0, 1), так что их PDF - файлы являются

ж ( Икс ) знак равно 1 2 π е - Икс 2 / 2 {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \,}}} e ^ {- x ^ {2} / 2}}

и

грамм ( y ) знак равно 1 2 π е - y 2 / 2 . {\ displaystyle g (y) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \,}}} e ^ {- y ^ {2} / 2}.}

Пусть Z = X  +  Y. Тогда CDF для Z будет

z Икс + y z ж ( Икс ) грамм ( y ) d Икс d y . {\ displaystyle z \ mapsto \ int _ {x + y \ leq z} f (x) g (y) \, dx \, dy.}

Этот интеграл берется по полуплоскости, лежащей под прямой x + y = z.

Ключевое наблюдение заключается в том, что функция

ж ( Икс ) грамм ( y ) знак равно 1 2 π е - ( Икс 2 + y 2 ) / 2 {\ Displaystyle е (х) г (у) = {\ гидроразрыва {1} {2 \ pi}} е ^ {- (х ^ {2} + y ^ {2}) / 2} \,}

радиально симметричен. Итак, мы вращаем координатную плоскость вокруг начала координат, выбирая новые координаты так, чтобы линия x + y = z описывалась уравнением, где определяется геометрически. Из-за радиальной симметрии мы имеем, и CDF для Z равен Икс , y {\ displaystyle x ', y'} Икс знак равно c {\ displaystyle x '= c} c знак равно c ( z ) {\ Displaystyle с = с (г)} ж ( Икс ) грамм ( y ) знак равно ж ( Икс ) грамм ( y ) {\ Displaystyle е (х) г (у) = е (х ') г (у')}

Икс c , y р ж ( Икс ) грамм ( y ) d Икс d y . {\ displaystyle \ int _ {x '\ leq c, y' \ in \ mathbb {R}} f (x ') g (y') \, dx '\, dy'.}

Это легко интегрировать; мы находим, что функция CDF для Z равна

- c ( z ) ж ( Икс ) d Икс знак равно Φ ( c ( z ) ) . {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {c (z)} f ​​(x ') \, dx' = \ Phi (c (z)).}

Чтобы определить значение, обратите внимание, что мы повернули плоскость так, что линия x + y = z теперь проходит вертикально с интервалом x, равным c. Таким образом, c - это просто расстояние от начала координат до линии x + y = z вдоль серединного перпендикуляра, которая в данном случае пересекает линию в ближайшей к ней точке. Таким образом, расстояние, и CDF для Z является, т.е. c ( z ) {\ displaystyle c (z)} ( z / 2 , z / 2 ) {\ Displaystyle (г / 2, г / 2) \,} c знак равно ( z / 2 ) 2 + ( z / 2 ) 2 знак равно z / 2 {\ Displaystyle с = {\ sqrt {(z / 2) ^ {2} + (z / 2) ^ {2}}} = z / {\ sqrt {2}} \,} Φ ( z / 2 ) {\ displaystyle \ Phi (z / {\ sqrt {2}})} Z знак равно Икс + Y N ( 0 , 2 ) . {\ Displaystyle Z = X + Y \ sim N (0,2).}

Теперь, если a, b - любые действительные константы (не обе обе равны нулю), то вероятность, которая находится с помощью того же интеграла, что и выше, но с ограничивающей линией. Работает тот же метод вращения, и в этом более общем случае мы обнаруживаем, что ближайшая точка на линии к началу координат находится на (подписанном) расстоянии а Икс + б Y z {\ displaystyle aX + bY \ leq z} а Икс + б y знак равно z {\ displaystyle ax + by = z}

z а 2 + б 2 {\ displaystyle {\ frac {z} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}

прочь, так что

а Икс + б Y N ( 0 , а 2 + б 2 ) . {\ displaystyle aX + bY \ sim N (0, a ^ {2} + b ^ {2}).}

Тот же аргумент в более высоких измерениях показывает, что если

Икс я N ( 0 , σ я 2 ) , я знак равно 1 , , п , {\ displaystyle X_ {i} \ sim N (0, \ sigma _ {i} ^ {2}), \ qquad i = 1, \ dots, n,}

тогда

Икс 1 + + Икс п N ( 0 , σ 1 2 + + σ п 2 ) . {\ displaystyle X_ {1} + \ cdots + X_ {n} \ sim N (0, \ sigma _ {1} ^ {2} + \ cdots + \ sigma _ {n} ^ {2}).}

По сути, мы закончили, потому что

Икс N ( μ , σ 2 ) 1 σ ( Икс - μ ) N ( 0 , 1 ) . {\ Displaystyle X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ {2}) \ Leftrightarrow {\ frac {1} {\ sigma}} (X- \ mu) \ sim N (0,1).}

В общем, если

Икс я N ( μ я , σ я 2 ) , я знак равно 1 , , п , {\ displaystyle X_ {i} \ sim N (\ mu _ {i}, \ sigma _ {i} ^ {2}), \ qquad i = 1, \ dots, n,}

тогда

я знак равно 1 п а я Икс я N ( я знак равно 1 п а я μ я , я знак равно 1 п ( а я σ я ) 2 ) . {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} X_ {i} \ sim N \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ mu _ {i }, \ sum _ {i = 1} ^ {n} (a_ {i} \ sigma _ {i}) ^ {2} \ right).}

Коррелированные случайные величины

Смотрите также: центральная предельная теорема цепи Маркова

В случае, если переменные X и Y совместно являются нормально распределенными случайными величинами, тогда X  +  Y по-прежнему нормально распределены (см. Многомерное нормальное распределение ), а среднее значение является суммой средних. Однако дисперсия не складывается из-за корреляции. В самом деле,

σ Икс + Y знак равно σ Икс 2 + σ Y 2 + 2 ρ σ Икс σ Y , {\ displaystyle \ sigma _ {X + Y} = {\ sqrt {\ sigma _ {X} ^ {2} + \ sigma _ {Y} ^ {2} +2 \ rho \ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}}},}

где ρ - корреляция. В частности, каждый раз, когда ρ lt;0, то дисперсия меньше, чем сумма дисперсий X и Y.

Расширение этого результата может быть сделано для более чем двух случайных величин, используя ковариационную матрицу.

Доказательство

В этом случае (когда X и Y имеют нулевые средние) необходимо учитывать

1 2 π σ Икс σ y 1 - ρ 2 Икс y exp [ - 1 2 ( 1 - ρ 2 ) ( Икс 2 σ Икс 2 + y 2 σ y 2 - 2 ρ Икс y σ Икс σ y ) ] δ ( z - ( Икс + y ) ) d Икс d y . {\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ sigma _ {x} \ sigma _ {y} {\ sqrt {1- \ rho ^ {2}}}}} \ iint _ {x \, y} \ exp \ left [- {\ frac {1} {2 (1- \ rho ^ {2})}} \ left ({\ frac {x ^ {2}} {\ sigma _ {x} ^ {2} }} + {\ frac {y ^ {2}} {\ sigma _ {y} ^ {2}}} - {\ frac {2 \ rho xy} {\ sigma _ {x} \ sigma _ {y}} } \ right) \ right] \ delta (z- (x + y)) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y.}

Как и выше, делается замена y z - Икс {\ displaystyle y \ rightarrow zx}

Этот интеграл сложнее упростить аналитически, но его можно легко вычислить с помощью программы символьной математики. Распределение вероятностей f Z ( z ) в этом случае задается выражением

ж Z ( z ) знак равно 1 2 π σ + exp ( - z 2 2 σ + 2 ) {\ displaystyle f_ {Z} (z) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma _ {+}}} \ exp \ left (- {\ frac {z ^ {2}) } {2 \ sigma _ {+} ^ {2}}} \ right)}

куда

σ + знак равно σ Икс 2 + σ y 2 + 2 ρ σ Икс σ y . {\ displaystyle \ sigma _ {+} = {\ sqrt {\ sigma _ {x} ^ {2} + \ sigma _ {y} ^ {2} +2 \ rho \ sigma _ {x} \ sigma _ {y }}}.}

Если вместо этого рассматривать Z = X  -  Y, то получим

ж Z ( z ) знак равно 1 2 π ( σ Икс 2 + σ y 2 - 2 ρ σ Икс σ y ) exp ( - z 2 2 ( σ Икс 2 + σ y 2 - 2 ρ σ Икс σ y ) ) {\ displaystyle f_ {Z} (z) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi (\ sigma _ {x} ^ {2} + \ sigma _ {y} ^ {2} -2 \ rho \ sigma _ {x} \ sigma _ {y})}}} \ exp \ left (- {\ frac {z ^ {2}} {2 (\ sigma _ {x} ^ {2} + \ sigma _ { y} ^ {2} -2 \ rho \ sigma _ {x} \ sigma _ {y})}} \ right)}

который также можно переписать с помощью

σ - знак равно σ Икс 2 + σ y 2 - 2 ρ σ Икс σ y . {\ displaystyle \ sigma _ {-} = {\ sqrt {\ sigma _ {x} ^ {2} + \ sigma _ {y} ^ {2} -2 \ rho \ sigma _ {x} \ sigma _ {y }}}.}

Стандартные отклонения каждого распределения очевидны при сравнении со стандартным нормальным распределением.

Рекомендации

Смотрите также

Последняя правка сделана 2023-04-05 05:42:44
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте