Распределение Рэлея

Рэлей

Функция плотности вероятности .
Кумулятивная функция распределения .
Параметры	масштаб: $\sigma >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma>0\}$
Поддержка	$x\; \in \; [0,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; [0,\; \backslash \; infty)\}$
PDF	$x\; \sigma \; 2\; e\; -\; x\; 2\; /\; (2\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\; /\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\}$
CDF	$1\; -\; e\; -\; x\; 2\; /\; (2\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\; /\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\}$
Квантиль	$Q\; (F;\; \sigma )\; =\; \sigma \; -\; 2\; ln\; \; (1\; -\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (F;\; \backslash \; sigma)\; =\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{-2\; \backslash \; ln\; (1-F)\}\; \}\}$
Среднее	$\sigma \; \pi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\}\}$
Медиана	$\sigma \; 2\; ln\; \; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; ln\; (2)\}\}\}$
Режим	$\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$
Дисперсия	$4\; -\; \pi \; 2\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{4\; -\backslash число\; Пи\; \}\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$
Асимметрия	$2\; \pi \; (\pi \; -\; 3)\; (4\; -\; \pi )\; 3/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; (\backslash \; pi\; -3)\}\; \{(4-\; \backslash \; pi)\; ^\; \{3/2\}\}\}\}$
Пр. эксцесс	$-\; 6\; \pi \; 2\; -\; 24\; \pi \; +\; 16\; (4\; -\; \pi )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{6\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; -24\; \backslash \; pi\; +16\}\; \{(4-\; \backslash \; pi)\; ^\; \{\; 2\}\}\}\}$
Энтропия	$1\; +\; ln\; \; (\sigma \; 2)\; +\; \gamma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1+\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; gamma\}\; \{2\}\}\}$
MGF	$1\; +\; \sigma \; te\; \sigma \; 2\; t\; 2/2\; \pi \; 2\; (erf\; \; (\sigma \; t\; 2)\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; 1+\; \backslash \; sigma\; te\; ^\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; operatorname\; \{erf\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; t\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; +1\; \backslash \; right)\}$
CF	$1\; -\; \sigma \; te\; -\; \sigma \; 2\; t\; 2/2\; \pi \; 2\; (erfi\; \; (\sigma \; t\; 2)\; -\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; -\; \backslash \; sigma\; te\; ^\; \{-\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; operatorname\; \{erfi\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; t\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; -i\; \backslash \; right)\}$

В теории вероятностей и статистике распределение Рэлея - это непрерывное распределение вероятностей для неотрицательных случайных величин. По сути, это распределение хи с двумя степенями свободы.

. Распределение Рэлея часто наблюдается, когда общая величина вектора связана с его направленными компонентами. Одним из примеров, в котором естественно возникает распределение Рэлея, является анализ скорости ветра в двух измерениях. Если предположить, что каждый компонент некоррелирован, нормально распределен с равной дисперсией и нулевым означает, тогда общая скорость ветра (vector magnitude) будет характеризоваться распределением Рэлея. Второй пример распределения возникает в случае случайных комплексных чисел, действительные и мнимые компоненты которых независимо и одинаково распределены по Гауссу с равной дисперсией и нулевым средним. В этом случае абсолютное значение комплексного числа распределено по Рэлею.

Распределение названо в честь лорда Рэлея ().

• 1 Определение
• 2 Отношение к длине случайного вектора
• 3 Свойства
  • 3.1 Дифференциальная энтропия
• 4 Оценка параметров
  • 4.1 Доверительные интервалы
• 5 Генерация случайных величин
• 6 Связанные распределения
• 7 Приложения
• 8 См. Также
• 9 Ссылки

функция плотности вероятности распределения Рэлея:

$f\; (x;\; \sigma )\; =\; x\; \sigma \; 2\; e\; -\; x\; 2\; /\; (2\; \sigma \; 2),\; x\; \ge \; 0,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; f\; (x;\; \backslash \; sigma)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\; /\; (2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\},\; \backslash \; quad\; x\; \backslash \; geq\; 0,\}$

где $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$- это параметр масштаба распределения. Кумулятивная функция распределения is

$F\; (\; Икс;\; \sigma )\; знак\; равно\; 1\; -\; е\; -\; Икс\; 2\; /\; (2\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (x;\; \backslash \; sigma)\; =\; 1-e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\; /\; (2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}\; \}$

для $x\; \in \; [0,\; \infty ).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; [0,\; \backslash \; infty).\}$

Рассмотрим двумерный вектор $Y\; =\; (U,\; V)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; (\; U,\; V)\}$который имеет компоненты, которые нормально распределены, центрированы в нуле и независимы. Тогда $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$и $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$имеют функции плотности

$f\; U\; (x;\; \sigma )\; =\; f\; V\; (x\; ;\; \sigma )\; =\; e\; -\; x\; 2\; /\; (2\; \sigma \; 2)\; 2\; \pi \; \sigma \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{U\}\; (x;\; \backslash \; sigma)\; =\; f\_\; \{V\}\; (x;\; \backslash \; sigma)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\; /\; (2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}.\}$

Пусть $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$будет длиной $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$. То есть $X\; =\; U\; 2\; +\; V\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{U\; ^\; \{2\}\; +\; V\; ^\; \{2\}\}\}.\}$Тогда $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$имеет кумулятивную функцию распределения

$FX\; (x;\; \sigma )\; знак\; равно\; \iint \; D\; xf\; U\; (u;\; \sigma )\; е\; V\; (v;\; \sigma )\; d\; A,\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{X\}\; (x;\; \backslash \; sigma)\; =\; \backslash \; iint\; \_\; \{D\_\; \{x\; \}\}\; f\_\; \{U\}\; (u;\; \backslash \; sigma)\; f\_\; \{V\}\; (v;\; \backslash \; sigma)\; \backslash ,\; dA,\}$

где $D\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{x\}\}$является диском

Записывая двойной интеграл в полярных координатах, он становится

$FX\; (x;\; \sigma )\; =\; 1\; 2\; \pi \; \sigma \; 2\; \int \; 0\; 2\; \pi \; \int \; 0\; xre\; -\; r\; 2\; /\; (2\; \sigma \; 2)\; drd\; \theta \; =\; 1\; \sigma \; 2\; \int \; 0\; xre\; -\; r\; 2\; /\; (2\; \sigma \; 2)\; dr.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{X\}\; (x;\; \backslash \; sigma)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{x\}\; re\; ^\; \{-\; r\; ^\; \{2\}\; /\; (2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}\; \backslash ,\; dr\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{x\}\; re\; ^\; \{-\; r\; ^\; \{2\}\; /\; (2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}\; \backslash ,\; dr.\}$

Наконец, функция плотности вероятности для $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- производная его кумулятивной функции распределения, которая согласно фундаментальной теореме исчисления равна

$f\; X\; (x;\; \sigma )\; =\; ddx\; FX\; (x;\; \sigma )\; =\; Икс\; \sigma \; 2\; е\; -\; Икс\; 2\; /\; (2\; \sigma \; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{X\}\; (x;\; \backslash \; sigma)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; F\_\; \{X\}\; (x;\; \backslash \; sigma)\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\; /\; (2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\},\}$

которое является распределением Рэлея. Легко обобщить на векторы размерности, отличной от 2. Существуют также обобщения, когда компоненты имеют неравную дисперсию или корреляции, или когда вектор Y следует двумерному t-распределению Стьюдента.

исходные моменты задаются следующим образом:

$\mu \; j\; =\; \sigma \; j\; 2\; j\; /\; 2\; \Gamma \; (1\; +\; j\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{j\}\; =\; \backslash \; sigma\; ^\; \{j\}\; 2\; ^\; \{j\; /\; 2\}\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{j\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right),\}$

где $\Gamma \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\}$- это гамма-функция.

Таким образом, среднее случайной величины Рэлея:

$\mu \; (X)\; =\; \sigma \; \pi \; 2\; \approx \; 1,253\; \sigma .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (X)\; =\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; приблизительно\; 1,253\; \backslash \; \backslash \; sigma.\}$

дисперсия случайного числа Рэлея переменная:

$var\; \; (X)\; =\; \mu \; 2\; -\; \mu \; 1\; 2\; =\; (2\; -\; \pi \; 2)\; \sigma \; 2\; \approx \; 0,429\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{var\}\; (X)\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (2\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; приблизительно\; 0,429\; \backslash \; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$

Режим равен $\sigma ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma,\}$, а максимальный PDF равен

$f\; max\; =\; f\; (\sigma ;\; \sigma )\; =\; 1\; \sigma \; e\; -\; 1\; /\; 2\; \approx \; 0.606\; \sigma .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; max\}\; =\; f\; (\backslash \; sigma;\; \backslash \; sigma)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; e\; ^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{0.606\}\; \{\backslash \; sigma\}\}.\}$

асимметрия определяется как:

$\gamma \; 1\; =\; 2\; \pi \; (\pi \; -\; 3)\; (4\; -\; \pi )\; 3/2\; \approx \; 0,631\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; (\backslash \; pi\; -3)\}\; \{(4-\; \backslash \; pi)\; ^\; \{3/2\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 0,631\}$

Избыток эксцесс задается следующим образом:

$\gamma \; 2\; =\; -\; 6\; \pi \; 2\; -\; 24\; \pi \; +\; 16\; (4\; -\; \pi )\; 2\; \approx \; 0,245\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{2\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{6\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; -24\; \backslash \; pi\; +16\}\; \{(4-\; \backslash \; pi)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 0,245\}$

Характеристическая функция определяется как:

$\phi \; (t)\; =\; 1\; -\; \sigma \; te\; -\; 1\; 2\; \sigma \; 2\; T\; 2\; \pi \; 2\; [erfi\; \; (\sigma \; t\; 2)\; -\; я]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (t)\; =\; 1-\; \backslash \; sigma\; te\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; operatorname\; \{erfi\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; t\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \}\}\}\; \backslash \; right)\; -i\; \backslash \; right]\}$

где $erfi\; \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{erfi\}\; (z)\}$- мнимая функция ошибок . порождающая функция момента задается как

$M\; (t)\; =\; 1\; +\; \sigma \; te\; 1\; 2\; \sigma \; 2\; t\; 2\; \pi \; 2\; [erf\; \; (\sigma \; t\; 2)\; +\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (t)\; =\; 1\; +\; \backslash \; sigma\; t\; \backslash ,\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; operatorname\; \{erf\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; t\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; +1\; \backslash \; right]\}$

где $erf\; \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{erf\}\; (z)\}$- это функция ошибок.

Дифференциальная энтропия

дифференциальная энтропия определяется как

$H\; =\; 1\; +\; пер\; \; (\sigma \; 2)\; +\; \gamma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; 1\; +\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\}\; \{\; 2\}\}\}$

где $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$- это константа Эйлера – Маскерони.

Для выборки N независимые и одинаково распределенные случайные величины Рэлея $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\}$с параметром $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$,

$\sigma \; ^\; 2\; \approx \; 1\; 2\; N\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; xi\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; sigma\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; приблизительно\; \backslash !\; \backslash ,\; \{\backslash \; Frac\; \{1\}\; \{2N\}\}\; \backslash \; s\; um\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; x\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}$- это оценка максимального правдоподобия, а также несмещенная.

$\sigma \; ^\; \approx \; 1\; 2\; N\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; xi\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; x\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$- это смещенная оценка, которую можно исправить с помощью формулы

$\sigma \; =\; \sigma \; ^\; \Gamma \; (N)\; N\; \Gamma \; (N\; +\; 1\; 2)\; =\; \sigma \; ^\; 4\; NN!\; (N\; -\; 1)!\; N\; (2\; N)!\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (N)\; \{\backslash \; sqrt\; \{N\}\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; (N\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\})\}\}\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{4\; ^\; \{N\}\; N!\; (N-1)!\; \{\backslash \; sqrt\; \{N\}\}\}\; \{(2N)!\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\}\}\}$

Доверительные интервалы

Чтобы найти доверительный интервал (1 - α), сначала найдите границы $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$где :

$п\; (\chi \; 2\; N\; 2\; \le \; a)\; знак\; равно\; \alpha \; /\; 2,\; P\; (\chi \; 2\; N\; 2\; \le \; b)\; =\; 1\; -\; \alpha \; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; chi\; \_\; \{2N\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; leq\; a)\; =\; \backslash \; alpha\; /\; 2,\; \backslash \; quad\; P\; (\backslash \; chi\; \_\; \{2N\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; leq\; b)\; =\; 1-\; \backslash \; alpha\; /\; 2\}$

, то параметр масштаба будет находиться в пределах

$N\; x\; 2\; ¯\; b\; \le \; \sigma \; ^\; 2\; \le \; N\; x\; 2\; ¯\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{N\}\; \{\backslash \; overline\; \{x\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; \{b\}\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; sigma\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{\{N\}\; \{\backslash \; overline\; \{x\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{a\}\}\}$

Дана случайная величина U, полученная из равномерное распределение в интервале (0, 1), тогда переменная

$X\; =\; \sigma \; -\; 2\; ln\; \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{-2\; \backslash \; ln\; U\}\}\; \backslash ,\}$

имеет распределение Рэлея с параметром $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \}$. Это достигается применением метода выборки обратного преобразования.

• $R\; \sim \; R\; ayleigh\; (\sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{Rayleigh\}\; (\backslash \; sigma)\}$является распределением Рэлея, если $R\; =\; X\; 2\; +\; Y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{X\; ^\; \{2\}\; +\; Y\; ^\; \{2\}\}\}\}$, где $X\; \sim \; N\; (0,\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; Икс\; \backslash \; sim\; N\; (0,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}$и $Y\; \sim \; N\; (0,\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; \backslash \; sim\; N\; (0,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}$- независимые нормальные случайные величины. (Это дает мотивацию к использованию символа «сигма» в приведенной выше параметризации плотности Рэлея.)

• Величина $|\; z\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |\}$из стандартной комплексной нормально распределенной переменной z будет иметь распределение Рэлея.

• Распределение хи с v = 2 равно эквивалентно распределению Рэлея с σ = 1.

• Если $R\; \sim \; R\; ayleigh\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{Rayleigh\}\; (1)\}$, то $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{2\}\}$имеет распределение хи-квадрат с параметром $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$, степеней свободы, равное двум (N = 2)

$[Q\; =\; R\; 2]\; \sim \; \chi \; 2\; (N).\; \{\backslash \; Displaystyle\; [Q\; =\; R\; ^\; \{2\}]\; \backslash \; sim\; \backslash \; chi\; ^\; \{2\}\; (N)\; \backslash .\}$

• Если $R\; \sim \; R\; ayleigh\; (\sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{Rayleigh\; \}\; (\backslash \; sigma)\}$, тогда $\sum \; i\; =\; 1\; NR\; i\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; R\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}$имеет гамма-распределение с параметрами $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$и $2\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$

$[Y\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; NR\; i\; 2]\; \sim \; \Gamma \; (N,\; 2\; \sigma \; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [Y\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; R\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; sim\; \backslash \; Gamma\; (N,\; 2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}).\}$

• Распределение Райса является нецентральным обобщением распределения Рэлея: $R\; ayleigh\; (\sigma )\; =\; R\; ice\; (0,\; \sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Rayleigh\}\; (\; \backslash \; sigma)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Rice\}\; (0,\; \backslash \; sigma)\}$.
• Распределение Вейбулла с «параметром формы» k = 2 дает распределение Рэлея. Тогда параметр распределения Рэлея $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$связан с параметром шкалы Вейбулла согласно $\lambda \; =\; \sigma \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}.\}$
• Распределение Максвелла – Больцмана описывает величину вектора нормали в трех измерениях.
• Если $Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\}$имеет экспоненциальное распределение $X\; \sim \; E\; xponential\; (\lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{Exponential\}\; (\backslash \; lambda)\}$, тогда $Y\; =\; X\; \sim \; R\; ayleigh\; (1/2\; \lambda ).\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{X\}\}\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{Rayleigh\}\; (1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; lambda\}\}).\}$

• Полунормальное распределение - это одномерный частный случай распределения Рэлея.

Применение оценки σ можно найти в магнитно-резонансной томографии (МРТ). Поскольку изображения МРТ записываются как сложные изображения, но чаще всего рассматриваются как изображения величин, фоновые данные распределены по Рэлею. Следовательно, приведенная выше формула может использоваться для оценки дисперсии шума на МРТ-изображении на основе фоновых данных.

Распределение Рэлея также использовалось в области питания для связи диетического уровни питательных веществ и ответы человека и животного. Таким образом, параметр σ может быть использован для расчета зависимости отклика питательных веществ.

• Рэлеевское замирание
• Рэлеевское распределение смеси
• Вероятная круговая ошибка