В теории вероятностей и статистике, параметр масштаба представляет собой особый вид числового параметра параметрическое семейство распределений вероятностей. Чем больше параметр масштаба, тем более разбросано распределение.
Если семейство распределений вероятностей таково, что существует параметр s (и другие параметры θ), для которого кумулятивное распределение функция удовлетворяет
, тогда s называется параметром масштаба, поскольку его значение определяет «scale » или статистическую дисперсию распределения вероятностей.. Если s велико, то распределение будет более разбросанным; если s мало, то он будет более концентрированным.
Анимация, показывающая влияние параметра масштаба на распределение вероятностей, поддерживаемое на положительной действительной линии. Влияние параметра масштаба на смесь двух нормальных распределений вероятностейЕсли плотность вероятности существует для всех значений полного набора параметров, тогда плотность (как функция только параметра масштаба) удовлетворяет
где f - плотность стандартизованной версии плотности, т.е. .
Оценка параметра масштаба называется оценкой масштаба.
В случае, когда параметризованное семейство имеет параметр местоположения , часто используется несколько иное определение, как показано ниже. Если мы обозначим параметр местоположения как , а параметр масштаба как , тогда нам потребуется где это cmd для параметризованного семейства. Эта модификация необходима для того, чтобы стандартное отклонение нецентрального гауссиана было параметром масштаба, поскольку в противном случае среднее значение изменилось бы при изменении масштаба . Однако это альтернативное определение используется не всегда.
Мы можем написать в терминах следующим образом:
Поскольку f является функцией плотности вероятности, она интегрируется до единицы:
По правилу подстановки интегрального исчисления, тогда
Итак, также правильно нормализован.
Некоторые семейства распределений используют параметр скорости (или «параметр обратной шкалы »), который является просто обратной величиной масштабный параметр. Так, например, экспоненциальное распределение с параметром масштаба β и плотностью вероятности
может быть эквивалентно записано с параметром скорости λ как
Для оценки параметра масштаба можно использовать статистику, если она:
Этим удовлетворяют различные меры статистической дисперсии. Чтобы сделать статистику согласованной оценкой для параметра масштаба, необходимо, как правило, умножить статистику на постоянный коэффициент масштабирования. Этот масштабный коэффициент определяется как теоретическое значение значения, полученного путем деления требуемого масштабного параметра на асимптотическое значение статистики. Обратите внимание, что масштабный коэффициент зависит от рассматриваемого распределения.
Например, чтобы использовать медианное абсолютное отклонение (MAD) для оценки стандартного отклонения нормального распределения, необходимо умножьте его на множитель
где Φ - функция квантиля (обратная кумулятивной функции распределения ) для стандартного нормального распределения. (Подробнее см. MAD.) То есть MAD не является согласованной оценкой для стандартного отклонения нормального распределения, но 1.4826... MAD является согласованной оценкой. Аналогичным образом, среднее абсолютное отклонение необходимо умножить приблизительно на 1,2533, чтобы получить согласованную оценку стандартного отклонения. Для оценки стандартного отклонения потребуются различные факторы, если популяция не соответствует нормальному распределению.