Параметр масштаба

редактировать

В теории вероятностей и статистике, параметр масштаба представляет собой особый вид числового параметра параметрическое семейство распределений вероятностей. Чем больше параметр масштаба, тем более разбросано распределение.

Содержание

  • 1 Определение
    • 1.1 Семейства с параметрами местоположения
    • 1.2 Простые манипуляции
  • 2 Параметр скорости
  • 3 Примеры
  • 4 Оценка
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки
  • 7 Дополнительная литература

Определение

Если семейство распределений вероятностей таково, что существует параметр s (и другие параметры θ), для которого кумулятивное распределение функция удовлетворяет

F (x; s, θ) = F (x / s; 1, θ), {\ displaystyle F (x; s, \ theta) = F (x / s; 1, \ theta), \!}F (x; s, \ theta) = F (x / s; 1, \ theta), \!

, тогда s называется параметром масштаба, поскольку его значение определяет «scale » или статистическую дисперсию распределения вероятностей.. Если s велико, то распределение будет более разбросанным; если s мало, то он будет более концентрированным.

Анимация, показывающая влияние параметра масштаба на распределение вероятностей, поддерживаемое на положительной действительной линии. Влияние параметра масштаба на смесь двух нормальных распределений вероятностей

Если плотность вероятности существует для всех значений полного набора параметров, тогда плотность (как функция только параметра масштаба) удовлетворяет

fs (x) = f (x / s) / s, {\ displaystyle f_ {s} ( x) = f (x / s) / s, \!}f_ {s} (x) = f (x / s) / s, \!

где f - плотность стандартизованной версии плотности, т.е. f (x) ≡ fs = 1 (x) {\ displaystyle f (x) \ Equiv f_ {s = 1} (x)}{\ Displaystyle е (х) \ эквив f_ {s = 1} (х)} .

Оценка параметра масштаба называется оценкой масштаба.

Семейства с параметрами местоположения

В случае, когда параметризованное семейство имеет параметр местоположения , часто используется несколько иное определение, как показано ниже. Если мы обозначим параметр местоположения как m {\ displaystyle m}m , а параметр масштаба как s {\ displaystyle s}s , тогда нам потребуется F (Икс; s, m, θ) знак равно F ((x - m) / s; 1, 0, θ) {\ displaystyle F (x; s, m, \ theta) = F ((xm) / s ; 1,0, \ theta)}{\ displaystyle F (x; s, m, \ theta) = F ((xm) / s ; 1,0, \ theta)} где F (x, s, m, θ) {\ displaystyle F (x, s, m, \ theta)}{\ displaystyle F (x, s, m, \ theta)} это cmd для параметризованного семейства. Эта модификация необходима для того, чтобы стандартное отклонение нецентрального гауссиана было параметром масштаба, поскольку в противном случае среднее значение изменилось бы при изменении масштаба x {\ displaystyle x}x . Однако это альтернативное определение используется не всегда.

Простые манипуляции

Мы можем написать fs {\ displaystyle f_ {s}}f_ {s} в терминах g (x) = x / s {\ displaystyle g (x) = x / s}g (x) = x / s следующим образом:

fs (x) = f (xs) ⋅ 1 s = f (g (x)) g ′ (x). {\ displaystyle f_ {s} (x) = f \ left ({\ frac {x} {s}} \ right) \ cdot {\ frac {1} {s}} = f (g (x)) g ' (x).}{\displaystyle f_{s}(x)=f\left({\frac {x}{s}}\right)\cdot {\frac {1}{s}}=f(g(x))g'(x).}

Поскольку f является функцией плотности вероятности, она интегрируется до единицы:

1 = ∫ - ∞ ∞ f (x) dx = ∫ g (- ∞) g (∞) f (x) dx. {\ displaystyle 1 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, dx = \ int _ {g (- \ infty)} ^ {g (\ infty)} f (x) \, dx.}{\ displaystyle 1 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, dx = \ int _ {g (- \ infty)} ^ {g (\ infty)} f (x) \, dx.}

По правилу подстановки интегрального исчисления, тогда

1 = ∫ - ∞ ∞ f (g (x)) g ′ (x) dx = ∫ - ∞ ∞ fs (x) dx. {\ displaystyle 1 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (g (x)) g '(x) \, dx = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {s } (x) \, dx.}{\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(g(x))g'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f_{s}(x)\,dx.}

Итак, fs {\ displaystyle f_ {s}}f_ {s} также правильно нормализован.

Параметр ставки

Некоторые семейства распределений используют параметр скорости (или «параметр обратной шкалы »), который является просто обратной величиной масштабный параметр. Так, например, экспоненциальное распределение с параметром масштаба β и плотностью вероятности

f (x; β) = 1 β e - x / β, x ≥ 0 {\ displaystyle f (x; \ beta) = {\ frac {1} {\ beta}} e ^ {- x / \ beta}, \; x \ geq 0}f (x; \ beta) = {\ frac {1} {\ beta}} e ^ {- x / \ beta}, \; x \ geq 0

может быть эквивалентно записано с параметром скорости λ как

f (x; λ) знак равно λ е - λ Икс, Икс ≥ 0. {\ Displaystyle f (x; \ lambda) = \ lambda e ^ {- \ lambda x}, \; x \ geq 0.}f (x; \ lambda) = \ lambda e ^ {- \ lambda x}, \; x \ geq 0.

Примеры

  • равномерное распределение можно параметризовать с помощью параметра местоположения из (a + b) / 2 {\ displaystyle (a + b) / 2}(a + b) / 2 и a масштабный параметр | б - а | {\ displaystyle | ba |}{\ displaystyle | ba |} .
  • Нормальное распределение имеет два параметра: параметр местоположения μ {\ displaystyle \ mu}\ mu и параметр масштаба σ {\ displaystyle \ sigma}\ sigma . На практике нормальное распределение часто параметризуется с помощью шкалы квадрата σ 2 {\ displaystyle \ sigma ^ {2}}\ sigma ^ {2} , что соответствует дисперсии распределения.
  • гамма-распределение обычно параметризуется с помощью параметра масштаба θ {\ displaystyle \ theta}\ theta или его обратного значения.
  • Частные случаи распределений, в которых масштабный параметр равен единице, при определенных условиях можно назвать «стандартными». Например, если параметр местоположения равен нулю, а параметр масштаба равен единице, нормальное распределение известно как стандартное нормальное распределение, а распределение Коши - как стандартное распределение Коши.

Оценка

Для оценки параметра масштаба можно использовать статистику, если она:

  • Не зависит от местоположения,
  • Масштабируется линейно с параметром масштаба и
  • Сходится по мере увеличения размера выборки.

Этим удовлетворяют различные меры статистической дисперсии. Чтобы сделать статистику согласованной оценкой для параметра масштаба, необходимо, как правило, умножить статистику на постоянный коэффициент масштабирования. Этот масштабный коэффициент определяется как теоретическое значение значения, полученного путем деления требуемого масштабного параметра на асимптотическое значение статистики. Обратите внимание, что масштабный коэффициент зависит от рассматриваемого распределения.

Например, чтобы использовать медианное абсолютное отклонение (MAD) для оценки стандартного отклонения нормального распределения, необходимо умножьте его на множитель

1 / Φ - 1 (3/4) ≈ 1,4826, {\ displaystyle 1 / \ Phi ^ {- 1} (3/4) \ приблизительно 1,4826,}1 / \ Phi ^ {- 1} (3/4) \ приблизительно 1.4826,

где Φ - функция квантиля (обратная кумулятивной функции распределения ) для стандартного нормального распределения. (Подробнее см. MAD.) То есть MAD не является согласованной оценкой для стандартного отклонения нормального распределения, но 1.4826... MAD является согласованной оценкой. Аналогичным образом, среднее абсолютное отклонение необходимо умножить приблизительно на 1,2533, чтобы получить согласованную оценку стандартного отклонения. Для оценки стандартного отклонения потребуются различные факторы, если популяция не соответствует нормальному распределению.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

  • Mood, AM; Graybill, F.A.; Бос, Д. К. (1974). «VII.6.2 Масштабная инвариантность». Введение в теорию статистики (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
Последняя правка сделана 2021-06-07 04:30:06
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте