Распределение Чи

Чи

Функция плотности вероятности .
Кумулятивная функция распределения .
Параметры	$k>0\; \{\backslash \; displaystyle\; k>0\; \backslash ,\}$(степени свободы)
Поддержка	$x\; \in \; [0,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; [0,\; \backslash \; infty)\}$
PDF	$1\; 2\; (k\; /\; 2)\; -\; 1\; \Gamma \; (k\; /\; 2)\; xk\; -\; 1\; e\; -\; x\; 2/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{(k\; /\; 2)\; -1\}\; \backslash \; Gamma\; (k\; /\; 2)\}\}\; \backslash ;\; х\; ^\; \{к-1\}\; е\; ^\; \{-\; х\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\}$
CDF	$P\; (k\; /\; 2,\; x\; 2/2)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (k\; /\; 2,\; x\; ^\; \{\; 2\}\; /\; 2)\; \backslash ,\}$
Среднее	$\mu \; =\; 2\; \Gamma \; ((k\; +\; 1)\; /\; 2)\; \Gamma \; (k\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; ((k\; +\; 1)\; /\; 2)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (k\; /\; 2)\}\}\}$
Медиана	$\approx \; k\; (1-2\; 9\; k)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{9k\}\}\; \{\backslash \; bigg)\}\; ^\; \{3\}\}\}\}$
Режим	$k\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\; -1\}\}\; \backslash ,\}$для $k\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; geq\; 1\}$
Дисперсия	$\sigma \; 2\; =\; к\; -\; \mu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; =\; k-\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$
асимметрия	$\gamma \; 1\; =\; \mu \; \sigma \; 3\; (1-2\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash ,\; (1-2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}$
Пр. эксцесс	$2\; \sigma \; 2\; (1\; -\; \mu \; \sigma \; \gamma \; 1\; -\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; (1-\; \backslash \; mu\; \backslash \; sigma\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; -\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}$
Энтропия	$ln\; \; (\Gamma \; (k\; /\; 2))\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (\backslash \; Gamma\; (k\; /\; 2))\; +\; \backslash ,\}$. $1\; 2\; (\; к\; -\; пер\; \; (2)\; -\; (к\; -\; 1)\; \psi \; 0\; (к\; /\; 2))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (к\; \backslash !\; -\; \backslash !\; \backslash \; ln\; (2)\; \backslash !\; -\; \backslash \; !\; (k\; \backslash !\; -\; \backslash !\; 1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; (k\; /\; 2))\}$
MGF	Сложный (см. текст)
CF	Сложный (см. текст)

В теория вероятностей и статистика, распределение хи является непрерывным распределением вероятностей. Это распределение положительного квадратного корня из суммы квадратов набора независимых случайных величин, каждая из которых соответствует стандартному нормальному распределению, или, что эквивалентно, распределению евклидова расстояния случайные величины из источника. Таким образом, оно связано с распределением хи-квадрат посредством описания распределения положительных квадратных корней переменной, подчиняющейся распределению хи-квадрат.

Если $Z\; 1,\dots ,\; Z\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; Z\_\; \{k\}\}$равны $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$независимых, нормально распределенных случайных величин со средним 0 и стандартным отклонением 1, тогда статистика

$Y\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; k\; Z\; i\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; Z\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$

распределяется согласно распределению chi. Распределение хи имеет один параметр, $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, который определяет количество степеней свободы (т. Е. Количество $Z\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{i\}\}$).

Наиболее известными примерами являются распределение Рэлея (распределение хи с двумя степенями свободы ) и распределение Максвелла – Больцмана молекулярной скорости в идеальном газе (распределение хи с тремя степенями свободы).

• 1 Определения
  • 1.1 Функция плотности вероятности
  • 1.2 Кумулятивная функция распределения
  • 1.3 Производящие функции
• 2 Свойства
  • 2.1 Моменты
  • 2.2 Энтропия
  • 2.3 Большое n приближение
• 3 Связанные распределения
• 4 См. также
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (pdf) распределения хи:

$f\; (x;\; k)\; =\; \{xk\; -\; 1\; e\; -\; x\; 2/2\; 2\; k\; /\; 2\; -\; 1\; \Gamma \; (k\; 2),\; x\; \ge \; 0;\; 0\; в\; противном\; случае.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x;\; k)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{x\; ^\; \{k-1\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\}\; \{2\; ^\; \{k\; /\; 2-1\}\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\},\; x\; \backslash \; geq\; 0;\; \backslash \backslash \; 0,\; \{\backslash \; text\; \{else\}\}.\; \backslash \; End\; \{cases\}\}\}$

где $\Gamma \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\}$- это гамма-функция.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения определяется следующим образом:

$F\; (Икс;\; К)\; =\; П\; (К\; /\; 2,\; Икс\; 2/2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (Икс;\; К)\; =\; Р\; (К\; /\; 2,\; х\; ^\; \{2\}\; /\; 2)\; \backslash ,\}$

где $P\; (k,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (k,\; x)\}$- это регуляризованная гамма-функция.

Производящие функции

Момент -производящая функция имеет вид:

$M\; (t)\; =\; M\; (k\; 2,\; 1\; 2,\; t\; 2\; 2)\; +\; t\; 2\; \Gamma \; ((k\; +\; 1)\; /\; 2)\; \Gamma \; (k\; /\; 2)\; M\; (к\; +\; 1\; 2,\; 3\; 2,\; t\; 2\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (t)\; =\; M\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; t\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; ((k\; +\; 1)\; /\; 2)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (k\; /\; 2)\; \}\}\; M\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{k\; +\; 1\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right),\}$

где $M\; (a,\; b,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (a,\; b,\; z)\}$- выражение Куммера конфлюэнтная гипергеометрическая функция. Характеристическая функция определяется как:

$\phi \; (t;\; k)\; =\; M\; (k\; 2,\; 1\; 2,\; -\; t\; 2\; 2)\; +\; it\; 2\; \Gamma \; ((k\; +\; 1)\; /\; 2)\; \Gamma \; (k\; /\; 2)\; M\; (k\; +\; 1\; 2,\; 3\; 2,\; -\; t\; 2\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (t;\; k)\; =\; M\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{-t\; ^\; \{2\}\}\; \{2)\; \}\}\; \backslash \; right)\; +\; it\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; ((k\; +\; 1)\; /\; 2)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (k\; /\; 2)\}\}\; M\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; k\; +\; 1\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{-t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right).\}$

Моменты

Исходные моменты тогда задаются следующим образом:

$\mu \; j\; =\; \int \; 0\; \infty \; f\; (x;\; k)\; xjdx\; =\; 2\; j\; /\; 2\; \Gamma \; ((k\; +\; j)\; /\; 2)\; \Gamma \; (к\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{j\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (x;\; k)\; x\; ^\; \{j\}\; dx\; =\; 2\; ^\; \{j\; /\; 2\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; ((k\; +\; j)\; /\; 2)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (k\; /\; 2)\}\}\}$

где $\Gamma \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\}$- это гамма-функция. Таким образом, первые несколько сырых моментов следующие:

$\mu \; 1\; =\; 2\; \Gamma \; ((k\; +\; 1)\; /\; 2)\; \Gamma \; (k\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; Gamma\; ((k\; \backslash !\; +\; \backslash !\; 1)\; /\; 2)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (k\; /\; 2)\}\}\}$

$\mu \; 2\; =\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; =\; к\; \backslash ,\}$

$\mu \; 3\; знак\; равно\; 2\; 2\; \Gamma \; ((k\; +\; 3)\; /\; 2)\; \Gamma \; (k\; /\; 2)\; =\; (k\; +\; 1)\; \mu \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{3\}\; =\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; ((k\; \backslash !\; +\; \backslash !\; 3)\; /\; 2)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (k\; /\; 2)\}\}\; =\; (k\; +\; 1)\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \}$

$\mu \; 4\; =\; (k)\; (k\; +\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{4\}\; =\; (k)\; (k\; +\; 2)\; \backslash ,\}$

$\mu \; 5\; =\; 4\; 2\; \Gamma \; ((k\; +\; 5)\; /\; 2)\; \Gamma \; (к\; /\; 2)\; знак\; равно\; (к\; +\; 1)\; (к\; +\; 3)\; \mu \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{5\}\; =\; 4\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Гамма\; ((k\; \backslash !\; +\; \backslash !\; 5)\; /\; 2)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (k\; /\; 2)\}\}\; =\; (k\; +\; 1)\; (k\; +\; 3)\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}$

$\mu \; 6\; =\; (\; k)\; (k\; +\; 2)\; (k\; +\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{6\}\; =\; (k)\; (k\; +\; 2)\; (k\; +\; 4)\; \backslash ,\}$

где самые правые выражения выводятся с использованием повторения соотношение для гамма-функции:

$\Gamma \; (x\; +\; 1)\; =\; x\; \Gamma \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (x\; +\; 1)\; =\; x\; \backslash \; Gamma\; (x)\; \backslash ,\}$

Из этих выражений мы можем вывести следующие соотношения:

Среднее: $\mu \; =\; 2\; \Gamma \; ((k\; +\; 1)\; /\; 2)\; \Gamma \; (k\; /\; 2)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; ((k\; +\; 1)\; /\; 2)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (k\; /\; 2)\}\}\}$

Дисперсия: $V\; =\; К\; -\; \mu \; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; =\; k-\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$

Асимметрия: $\gamma \; 1\; =\; \mu \; \sigma \; 3\; (1-2\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash ,\; (1-2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}$

Превышение эксцесса: $\gamma \; 2\; =\; 2\; \sigma \; 2\; (\; 1\; -\; \mu \; \sigma \; \gamma \; 1\; -\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; (1-\; \backslash \; mu\; \backslash \; sigma\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; -\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}$

Энтропия

Энтропия определяется как:

$S\; =\; ln\; \; (\Gamma \; (k\; /\; 2))\; +\; 1\; 2\; (k\; -\; ln\; \; (2)\; -\; (К\; -\; 1)\; \psi \; 0\; (К\; /\; 2))\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; =\; \backslash \; ln\; (\backslash \; Gamma\; (k\; /\; 2))\; +\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{2\}\}\; (к\; \backslash !\; -\; \backslash !\; \backslash \; ln\; (\; 2)\; \backslash !\; -\; \backslash !\; (К\; \backslash !\; -\; \backslash !\; 1)\; \backslash \; psi\; ^\; \{0\}\; (k\; /\; 2))\}$

где $\psi \; 0\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{0\}\; (z)\}$- полигамма-функция.

Большое n-приближение

Мы находим большое n = k + 1-приближение среднего и дисперсии распределения chi. Это имеет приложение, например при нахождении распределения стандартного отклонения выборки из нормально распределенной совокупности, где n - размер выборки.

Среднее значение:

$\mu \; =\; 2\; \Gamma \; (n\; /\; 2)\; \Gamma \; ((n\; -\; 1)\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (n\; /\; 2)\}\; \{\backslash \; Gamma\; ((n-1)\; /\; 2)\}\}\}$

Мы используем формулу дублирования Лежандра для записи:

$2\; n\; -\; 2\; \Gamma \; ((n\; -\; 1)\; /\; 2)\; \cdot \; \Gamma \; (n\; /\; 2)\; =\; \pi \; \Gamma \; (n\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{n-2\}\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; ((n-1)\; /\; 2)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; Gamma\; (n\; /\; 2)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; Gamma\; (n-1)\}$,

так, чтобы:

$\mu \; =\; 2\; /\; \pi \; 2\; n\; -\; 2\; (\Gamma \; (n\; /\; 2))\; 2\; \Gamma \; (N\; -\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; му\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; /\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash ,\; 2\; ^\; \{n-2\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; Gamma\; (n\; /\; 2))\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; (n-1)\}\}\}$

Используя приближение Стирлинга для гамма-функции, мы получаем следующее выражение для среднего:

$\mu \; =\; 2\; /\; \pi \; 2\; n\; -\; 2\; (2\; \pi \; (n\; /\; 2\; -\; 1)\; n\; /\; 2\; -\; 1\; +\; 1/2\; e\; -\; (n\; /\; 2\; -\; 1)\; \cdot \; [1\; +\; 1\; 12\; (n\; /\; 2\; -\; 1)\; +\; O\; (1\; n\; 2)\; ])\; 2\; 2\; \pi \; (N\; -\; 2)\; N\; -\; 2\; +\; 1/2\; е\; -\; (N\; -\; 2)\; \cdot \; [1\; +\; 1\; 12\; (N\; -\; 2)\; +\; O\; (1\; N\; 2)]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{2\; /\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash ,\; 2\; ^\; \{n-2\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; (n\; /\; 2-1)\; ^\; \{n\; /\; 2-1)\; +1/2\}\; e\; ^\; \{-\; (n\; /\; 2-1)\}\; \backslash \; cdot\; [1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{12\; (n\; /\; 2-1)\}\}\; +\; O\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; ^\; \{2\}\}\})]\; \backslash \; справа)\; ^\; \{2\}\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; (n-2)\; ^\; \{n-2\; +\; 1/2\}\; e\; ^\; \{-\; (n-2)\}\; \backslash \; cdot\; [1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{12\; (n-2)\}\}\; +\; O\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; ^\; \{2\}\}\})]\}\}\}$

$=\; (n\; -\; 2)\; 1/2\; \cdot \; [1\; +\; 1\; 4\; N\; +\; О\; (1\; N\; 2)]\; знак\; равно\; N\; -\; 1\; (1-1\; N\; -\; 1)\; 1/2\; \cdot \; [1\; +\; 1\; 4\; N\; +\; O\; (1\; N\; 2)]\; \{\backslash \; Displaystyle\; =\; (N-2)\; ^\; \{1/2\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; [1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4n\}\}\; +\; O\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; ^\; \{2\}\}\})\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{n-1\}\}\; \backslash ,\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n-1\}\})\; ^\; \{1/2\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; [1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4n\}\}\; +\; O\; (\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; ^\; \{2\}\}\})\; \backslash \; right]\}$

$=\; n\; -\; 1\; \cdot \; [1\; -\; 1\; 2\; n\; +\; O\; (1\; n\; 2)]\; \cdot \; [1\; +\; 1\; 4\; n\; +\; O\; (1\; n\; 2)]\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{n-1\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; [1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2n\}\}\; +\; O\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; ^\; \{2\}\}\})\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; [1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4n\}\}\; +\; O\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; ^\; \{2\}\}\})\; \backslash \; right]\}$

$=\; n\; -\; 1\; \cdot \; [1\; -\; 1\; 4\; n\; +\; O\; (1\; n\; 2)]\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{n-1\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; [1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4n\}\}\; +\; O\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; ^\; \{2\}\}\})\; \backslash \; right]\}$

Таким образом, дисперсия составляет:

$V\; =\; (n\; -\; 1)\; -\; \mu \; 2\; =\; (\; п\; -\; 1)\; \cdot \; 1\; 2\; N\; \cdot \; [1\; +\; О\; (1\; п)]\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; =\; (п-1)\; -\; \backslash \; му\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; =\; (п-1)\; \backslash \; CDOT\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\; \}\; \{2n\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; [1\; +\; O\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\})\; \backslash \; right]\}$

• Если $Икс\; \sim \; \chi \; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; \backslash \; sim\; \backslash \; chi\; \_\; \{k\}\}$, затем $X\; 2\; \sim \; \chi \; k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sim\; \backslash \; chi\; \_\; \{\; k\}\; ^\; \{2\}\}$(распределение хи-квадрат )
• $lim\; k\; \to \; \infty \; \chi \; k\; -\; \mu \; k\; \sigma \; k\; \to \; d\; N\; (0,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{k\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\; \backslash \; tfrac\; \{\backslash \; chi\; \_\; \{k\}\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{k\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{k\}\}\}\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{d\}\}\; \backslash \; N\; (0,1)\; \backslash ,\}$(Нормальное распределение )
• Если $X\; \sim \; N\; (0,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; sim\; N\; (0,1)\; \backslash ,\}$, то $|\; X\; |\; \sim \; \chi \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; X\; |\; \backslash \; sim\; \backslash \; chi\; \_\; \{1\}\; \backslash ,\}$
• Если $X\; \sim \; \chi \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; sim\; \backslash \; chi\; \_\; \{1\}\; \backslash ,\}$затем $\sigma \; X\; \sim \; HN\; (\sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; X\; \backslash \; sim\; HN\; (\backslash \; sigma)\; \backslash ,\}$(полунормальное распределение ) для любого $\sigma >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma>0\; \backslash ,\}$
• $\chi \; 2\; \sim \; Рэлей\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{2\}\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{Rayleigh\}\; (1)\; \backslash ,\}$(Распределение Рэлея )
• $\chi \; 3\; \sim \; M\; axwell\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{3\}\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{Maxwell\}\; (1)\; \backslash ,\}$(распределение Максвелла )
• $\Vert \; N\; i\; =\; 1,\dots ,\; k\; (0,\; 1)\; \Vert \; 2\; \sim \; \chi \; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{N\}\}\; \_\; \{я\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; k\}\; \{(0,1)\}\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\; \backslash \; sim\; \backslash \; chi\; \_\; \{k\}\; \}$(2-норма из $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$стандартных нормально распределенных переменных представляет собой распределение хи с $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$степеней свободы )
• распределение хи является частным случаем родов приведенное гамма-распределение или распределение Накагами или нецентральное распределение хи
• Среднее значение распределения хи (масштабировано квадратным корнем из $n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; -1\}$) дает поправочный коэффициент в несмещенной оценке стандартного отклонения нормального распределения.

Различные распределения хи и хи-квадрат

Имя	Статистика
распределение хи-квадрат	$\sum \; i\; =\; 1\; k\; (X\; i\; -\; \mu \; i\; \sigma \; i)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{X\_\; \{i\; \}\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$
нецентральное распределение хи-квадрат	$\sum \; i\; =\; 1\; k\; (X\; i\; \sigma \; i)\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{X\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$
Распределение ци	$\sum \; я\; знак\; равно\; 1\; К\; (Икс\; я\; -\; \mu \; я\; \sigma \; я)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{X\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\}$
нецентральное распределение ци	$\sum \; i\; =\; 1\; k\; (X\; i\; \sigma \; i)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{X\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

• Распределение Накагами

• Марта Л. Абелл, Джеймс П. Бразелтон, Джон Артур Рэфтер, Джон А. Рэфтер, Статистика с помощью Mathematica (1999), 237f.
• Ян В. Гуч, Энциклопедический словарь полимеров, т. 1 (2010), Приложение E, стр. 972.

• http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html