Нецентральное распределение хи-квадрат

Нецентральное хи-квадрат

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$k>0\; \{\backslash \; displaystyle\; k>0\; \backslash ,\}$степени свободы. $\lambda >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda>0\; \backslash ,\}$параметр нецентральности
Поддержка	$x\; \in \; [0;\; +\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; [0;\; +\; \backslash \; infty)\; \backslash ,\}$
PDF	$1\; 2\; e\; -\; (x\; +\; \lambda )\; /\; 2\; (x\; \lambda )\; k\; /\; 4\; -\; 1/2\; I\; k\; /\; 2-1\; (\lambda \; Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{2\}\}\; е\; ^\; \{-\; (х\; +\; \backslash \; лямбда)\; /\; 2\}\; \backslash \; влево\; (\{\backslash \; гидроразрыва\; \{х\}\; \{\backslash \; лямбда\}\}\; \backslash \; вправо)\; ^\; \{k\; /\; 4-1\; /\; 2\}\; I\_\; \{k\; /\; 2-1\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\; x\}\})\}$
CDF	$1\; -\; Q\; k\; 2\; (\lambda ,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-Q\; \_\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\}\},\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\}$с Q-функцией Маркума $QM\; (a,\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{M\}\; (a,\; b)\}$
Среднее	$k\; +\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; k\; +\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\}$
Дисперсия	$2\; (к\; +\; 2\; \lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; (k\; +\; 2\; \backslash \; lambda)\; \backslash ,\}$
асимметрия	$2\; 3/2\; (k\; +\; 3\; \lambda )\; (k\; +\; 2\; \lambda )\; 3/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{3/2\}\; (k\; +\; 3\; \backslash \; lambda)\}\; \{(k\; +\; 2\; \backslash \; lambda)\; ^\; \{3/2\}\}\}\}$
Пример. эксцесс	$12\; (к\; +\; 4\; \lambda )\; (к\; +\; 2\; \lambda )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{12\; (k\; +\; 4\; \backslash \; lambda)\}\; \{(k\; +\; 2\; \backslash \; lambda)\; ^\; \{2\}\}\}\}$
MGF
CF	$exp\; \; (i\; \lambda \; t\; 1\; -\; 2\; it)\; (1\; -\; 2\; it)\; k\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; lambda\; t\}\; \{1-2it\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{(1-2it)\; ^\; \{k\; /\; 2\}\}\}\}$

В теории вероятностей и статистика, нецентральное распределение хи-квадрат (или нецентральное распределение хи-квадрат, нецентральное $\chi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; ^\; \{2\}\}$распределение ) является нецентральным обобщением распределения хи-квадрат. Это часто возникает в анализе мощности статистических тестов, в которых нулевое распределение является (возможно, асимптотически) распределением хи-квадрат; важными примерами таких тестов являются тесты отношения правдоподобия.

Содержание

• 1 Предпосылки
• 2 Определение
• 3 Свойства
  • 3.1 Функция генерирования моментов
  • 3.2 Моменты
  • 3.3 Накопление функция распределения
    • 3.3.1 Аппроксимация (включая квантили)
• 4 Получение pdf
• 5 Связанные распределения
  • 5.1 Преобразования
• 6 Вхождения
  • 6.1 Использование в интервалах допуска
• 7 Примечания
• 8 Ссылки

Предпосылки

Пусть $(X\; 1,\; X\; 2,\dots ,\; X\; i,\dots ,\; X\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\}),\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{i\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{k\})\}$быть k независимыми, нормально распределенными случайными величинами со средним значением $\mu \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}$и отклонения единиц измерения. Тогда случайная величина

$\sum \; i\; =\; 1\; k\; X\; i\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; X\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}$

распределяется в соответствии с нецентральным чи квадратное распределение. Он имеет два параметра: $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, который указывает количество степеней свободы (т.е. количество $X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{i\; \}\}$) и $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$, который связан со средним значением случайных величин $X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{i\}\}$по:

$\lambda \; =\; \sum \; i\; =\; 1\; k\; \mu \; i\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}.\}$

$\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$иногда называют параметр нецентральности. Обратите внимание, что некоторые ссылки определяют $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$другими способами, например, половину указанной выше суммы или ее квадратный корень.

Это распределение возникает в многомерной статистике как производная от многомерного нормального распределения. В то время как центральное распределение хи-квадрат представляет собой возведенную в квадрат норму случайного вектора с $N\; (0\; k,\; I\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (\; 0\_\; \{k\},\; I\_\; \{k\})\}$распределение (т. Е. Квадрат расстояния от начала координат до точки, взятой случайным образом из этого распределения), нецентральное $\chi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; ^\; \{2\}\}$- квадрат нормы случайного вектора с $N\; (\mu ,\; I\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (\backslash \; mu,\; I\_\; \{k\})\}$распространение. Здесь $0\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\_\; \{k\}\}$- нулевой вектор длины k, $\mu \; =\; (\mu \; 1,\dots ,\; \mu \; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mu\; \_\; \{k\})\}$и $I\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{k\}\}$- это единичная матрица размера k.

Определение

Функция плотности вероятности (pdf) задается как

$f\; X\; (x;\; k,\; \lambda )\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; \infty \; e\; -\; \lambda \; /\; 2\; (\lambda \; /\; 2)\; ii!\; е\; Y\; К\; +\; 2\; я\; (Икс),\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\_\; \{X\}\; (х;\; к,\; \backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{я\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; /\; 2\}\; (\backslash \; lambda\; /\; 2)\; ^\; \{i\}\}\; \{i!\}\}\; F\_\; \{Y\_\; \{k\; +\; 2i\}\}\; (x),\}$

где $Y\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{q\}\}$распределяется как хи-квадрат с $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$степенями свободы.

Из этого представления видно, что нецентральное распределение хи-квадрат представляет собой взвешенную по Пуассону смесь центральных распределений хи-квадрат. Предположим, что случайная величина J имеет распределение Пуассона со средним значением $\lambda \; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; /\; 2\}$и условным распределением Z при J = i является хи-квадрат с k + 2i степенями свободы. Тогда безусловное распределение Z является нецентральным хи-квадрат с k степенями свободы, а параметр нецентральности $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$.

В качестве альтернативы можно записать pdf как

$е\; Икс\; (Икс;\; К,\; \lambda )\; =\; 1\; 2\; е\; -\; (Икс\; +\; \lambda )\; /\; 2\; (Икс\; \lambda )\; к\; /\; 4\; -\; 1/2\; I\; k\; /\; 2\; -\; 1\; (\lambda \; x)\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\_\; \{X\}\; (x;\; k,\; \backslash \; lambda)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; e\; ^\; \{-\; (x\; +\; \backslash \; lambda)\; /\; 2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\; /\; 4-1\; /\; 2\}\; I\_\; \{k\; /\; 2-1\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\; x\}\})\}$

где $I\; \nu \; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \_\; \{\backslash \; nu\; \}\; (y)\}$- это модифицированная функция Бесселя первого рода, заданная как

$I\; \nu \; (y)\; =\; (y\; /\; 2)\; \nu \; \sum \; j\; =\; 0\; \infty \; (y\; 2/4)\; jj!\; \Gamma \; (\nu \; +\; j\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; (y)\; =\; (y\; /\; 2)\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(y\; ^\; \{2\}\; /\; 4)\; ^\; \{\; j\}\}\; \{j!\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; nu\; +\; j\; +\; 1)\}\}.\}$

Используя связь между функциями Бесселя и гипергеометрическими функциями, PDF-файл также может быть записывается как:

$f\; X\; (x;\; k,\; \lambda )\; =\; e\; -\; \lambda \; /\; 2\; 0\; F\; 1\; (;\; k\; /\; 2;\; \lambda \; x\; /\; 4)\; 1\; 2\; k\; /\; 2\; \Gamma \; (k\; /\; 2)\; e\; -\; x\; /\; 2\; xk\; /\; 2\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{X\}\; (x;\; k,\; \backslash \; lambda)\; =\; \{\{\backslash \; rm\; \{e\}\}\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; /\; 2\}\}\; \_\; \{0\}\; F\_\; \{1\}\; (;\; k\; /\; 2;\; \backslash \; lambda\; x\; /\; 4)\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{k\; /\; 2\}\; \backslash \; Gamma\; (k\; /\; 2)\}\}\; \{\backslash \; rm\; \{e\}\}\; ^\; \{-\; x\; /\; 2\}\; x\; ^\; \{k\; /\; 2-1\}.\; \}$

Сигел (1979) конкретно обсуждает случай k = 0 (нулевые степени свободы ), и в этом случае распределение имеет дискретную составляющую в нуле.

Свойства

Функция создания момента

функция создания момента задается как

$M\; (t;\; k,\; \lambda )\; =\; exp\; \; (\lambda \; t\; 1\; -\; 2\; t)\; (1\; -\; 2\; t)\; k\; /\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\; (t;\; к,\; \backslash \; lambda)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; t\}\; \{1-2t\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{(1-2t)\; ^\; \{k\; /\; 2\}\}\}.\}$

Моменты

Первые несколько сырых моментов :

$\mu \; 1\; \prime \; =\; k\; +\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \text{'}\_\; \{1\}\; =\; к\; +\; \backslash \; лямбда\}$

$\mu \; 2\; \prime \; =\; (k\; +\; \lambda )\; 2\; +\; 2\; (k\; +\; 2\; \lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \text{'}\_\; \{2\}\; =\; (k\; +\; \backslash \; lambda)\; ^\; \{2\}\; +2\; (k\; +\; 2\; \backslash \; лямбда)\}$

$\mu \; 3\; \prime \; =\; (k\; +\; \lambda )\; 3\; +\; 6\; (k\; +\; \lambda )\; (k\; +\; 2\; \lambda )\; +\; 8\; (k\; +\; 3\; \lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \text{'}\_\; \{3\}\; =\; (k\; +\; \backslash \; lambda)\; ^\; \{3\}\; +6\; (k\; +\; \backslash \; lambda)\; (k\; +\; 2\; \backslash \; lambda)\; +8\; (k\; +\; 3\; \backslash \; lambda)\}$

$\mu \; 4\; \prime \; =\; (k\; +\; \lambda )\; 4\; +\; 12\; (k\; +\; \lambda )\; 2\; (к\; +\; 2\; \lambda )\; +\; 4\; (11\; к\; 2\; +\; 44\; к\; \lambda \; +\; 36\; \lambda \; 2)\; +\; 48\; (к\; +\; 4\; \lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \text{'}\_\; \{4\}\; =\; (k\; +\; \backslash \; lambda)\; ^\; \{4\}\; +12\; (k\; +\; \backslash \; lambda)\; ^\; \{2\}\; (k\; +\; 2\; \backslash \; lambda)\; +4\; (11k\; ^\; \{2\}\; +\; 44k\; \backslash \; lambda\; +36\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\})\; +\; 48\; (k\; +\; 4\; \backslash \; lambda)\}$

Первые несколько центральных моментов :

$\mu \; 2\; =\; 2\; (k\; +\; 2\; \lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; =\; 2\; (k\; +\; 2\; \backslash \; lambda)\; \backslash ,\}$

$\mu \; 3\; =\; 8\; (к\; +\; 3\; \lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{3\}\; =\; 8\; (k\; +\; 3\; \backslash \; lambda)\; \backslash ,\}$

$\mu \; 4\; =\; 12\; (k\; +\; 2\; \lambda )\; 2\; +\; 48\; (к\; +\; 4\; \lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{4\}\; =\; 12\; (k\; +\; 2\; \backslash \; lambda)\; ^\; \{2\}\; +48\; (k\; +\; 4\; \backslash \; lambda)\; \backslash ,\}$

N-й кумулянт равен

$K\; n\; =\; 2\; n\; -\; 1\; (n\; -\; 1)!\; (к\; +\; п\; \lambda ).\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{n\}\; =\; 2\; ^\; \{n-1\}\; (n-1)!\; (k\; +\; n\; \backslash \; lambda).\; \backslash ,\}$

Следовательно,

$\mu \; n\; \prime \; =\; 2\; n\; -\; 1\; (n\; -\; 1)!\; (К\; +\; N\; \lambda )\; +\; \sum \; J\; знак\; равно\; 1\; N\; -\; 1\; (N\; -\; 1)!\; 2\; j\; -\; 1\; (n\; -\; j)!\; (k\; +\; j\; \lambda )\; \mu \; n\; -\; j\; \prime .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \text{'}\_\; \{n\}\; =\; 2\; ^\; \{n-1\}\; (n-1)!\; (k\; +\; n\; \backslash \; lambda)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n-1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; (n-1)!\; 2\; ^\; \{j-1\}\}\; \{(nj)!\}\}\; (k\; +\; j\; \backslash \; lambda)\; \backslash \; mu\; \text{'}\_\; \{nj\}.\}$

Кумулятивная функция распределения

Снова используя соотношение между центральным и нецентральным распределениями хи-квадрат, кумулятивная функция распределения (cdf) может быть записана как

$P\; (x;\; k,\; \lambda )\; =\; e\; -\; \lambda \; /\; 2\; \sum \; j\; =\; 0\; \infty \; (\lambda \; /\; 2)\; jj!\; Q\; (Икс;\; К\; +\; 2\; J)\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (х;\; к,\; \backslash \; лямбда)\; =\; е\; ^\; \{-\; \backslash \; лямбда\; /\; 2\}\; \backslash ;\; \backslash \; сумма\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; (\backslash \; lambda\; /\; 2)\; ^\; \{j\}\}\; \{j!\}\}\; Q\; (x;\; k\; +\; 2j)\}$

где $Q\; (x;\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (x;\; k)\; \backslash ,\}$- кумулятивная функция распределения центрального распределения хи-квадрат с k степенями свободы, которая задается как

$Q\; (x;\; k)\; =\; \gamma \; (k\; /\; 2,\; x\; /\; 2)\; \Gamma \; (k\; /\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; Q\; (x;\; k)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (k\; /\; 2,\; x\; /\; 2)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (k\; /\; 2)\}\}\; \backslash ,\}$

и где $\gamma \; (k,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (k,\; z)\; \backslash ,\}$- это нижняя неполная гамма-функция.

Q-функция Marcum $QM\; (a,\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{M\}\; (a,\; b)\}$также может использоваться для представления cdf.

$P\; (x;\; k,\; \lambda )\; =\; 1\; -\; Q\; К\; 2\; (\lambda ,\; Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (х;\; к,\; \backslash \; lambda)\; =\; 1-Q\; \_\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\}\},\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; \}\}\; \backslash \; right)\}$

Аппроксимация (в том числе для квантилей)

Абдель-Ати выводит (как «первое приближение») нецентральное приближение Вильсона-Хильферти:

$(\chi \; \prime \; 2\; k\; +\; \lambda )\; 1\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; chi\; \text{'}^\; \{2\}\}\; \{k\; +\; \backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\}$приблизительно нормально распределенный, $\sim \; N\; (1-2\; 9\; е,\; 2\; 9\; е),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{9f\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{9f\}\}\; \backslash \; right),\}$т.е.

$P\; (x;\; k,\; \lambda )\; \approx \; \Phi \; \{(xk\; +\; \lambda )\; 1/3\; -\; (1\; -\; 2\; 9\; f)\; 2\; 9\; f\},\; где\; f:\; =\; (k\; +\; \lambda )\; 2\; k\; +\; 2\; \lambda \; =\; k\; +\; \lambda \; 2\; k\; +\; 2\; \lambda ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (х;\; к,\; \backslash \; лямбда)\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; Phi\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{k\; +\; \backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/3\}\; -\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{9f\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{9f\}\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \},\; \{\backslash \; text\; \{where\}\}\; \backslash \; f:\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(k\; +\; \backslash \; lambda)\; ^\; \{2\}\}\; \{k\; +\; 2\; \backslash \; lambda\}\}\; =\; k\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\}\; \{k\; +\; 2\; \backslash \; lambda\}\},\}$

который довольно точен и хорошо адаптируется к нецентральности. Кроме того, $f\; =\; f\; (k,\; \lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; f\; (k,\; \backslash \; lambda)\}$становится $f\; =\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; k\}$для $\lambda \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; 0\}$, случай (центральный) хи-квадрат.

Шанкаран обсуждает ряд закрытых форм приближений для кумулятивной функции распределения. В более ранней работе он вывел и сформулировал следующее приближение:

$P\; (x;\; k,\; \lambda )\; \approx \; \Phi \; \{(xk\; +\; \lambda )\; h\; -\; (1\; +\; hp\; (h\; -\; 1\; -\; 0,5\; (2\; -\; h)\; mp)))\; час\; 2\; п\; (1\; +\; 0,5\; МП)\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (х;\; к,\; \backslash \; lambda)\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; Phi\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{(\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{k\; +\; \backslash \; lambda\}\})\; ^\; \{h\}\; -\; (1\; +\; hp\; (h-1-0.5\; (2-h)\; mp))\}\; \{h\; \{\backslash \; sqrt\; \{2p\}\}\; (1\; +\; 0.5mp)\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

где

$\Phi \; \{\cdot \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \backslash \; lbrace\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rbrace\; \backslash ,\}$обозначает кумулятивную функцию распределения стандартного нормального распределения ;

$h\; =\; 1-2\; 3\; (k\; +\; \lambda )\; (k\; +\; 3\; \lambda )\; (k\; +\; 2\; \lambda )\; 2;\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(k\; +\; \backslash \; lambda)\; (k\; +\; 3\; \backslash \; lambda)\}\; \{(k\; +\; 2\; \backslash \; lambda)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; ;\}$

$p\; =\; k\; +\; 2\; \lambda \; (k\; +\; \lambda )\; 2;\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k\; +\; 2\; \backslash \; lambda\}\; \{(k\; +\; \backslash \; lambda)\; ^\; \{2\}\}\};\}$

$m\; =\; (h\; -\; 1)\; (1-3\; часа).\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; (h-1)\; (1-3h)\; \backslash ,.\}$

Это и другие приближения обсуждаются в более позднем учебнике.

Для заданной вероятности эти формулы легко инвертируются чтобы обеспечить соответствующее приближение для $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, чтобы вычислить приблизительные квантили.

Вывод pdf

Вывод функции плотности вероятности проще всего выполнить, выполнив следующие шаги:

1. Поскольку $X\; 1,\dots ,\; X\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{k\}\}$имеют единичные дисперсии, их совместное распределение сферически симметрично с точностью до сдвига местоположения.
2. Сферическая симметрия означает, что распределение из $X\; =\; X\; 1\; 2\; +\; \cdots \; +\; X\; k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; X\_\; \{k\}\; ^\; \{2\}\}$зависит от означает только через квадрат длины, $\lambda \; =\; \mu \; 1\; 2\; +\; \cdots \; +\; \mu \; K\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{k\}\; ^\; \{2\; \}\}$. Таким образом, без ограничения общности можно взять $\mu \; 1\; =\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\}\}\}$и $\mu \; 2\; =\; \cdots \; =\; \mu \; К\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; cdots\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{k\}\; =\; 0\}$.
3. Теперь определите плотность $X\; =\; X\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; X\_\; \{1\; \}\; ^\; \{2\}\}$(т.е. случай k = 1). Простое преобразование случайных величин показывает, что

$f\; X\; (x,\; 1,\; \lambda )\; =\; 1\; 2\; x\; (\varphi \; (x\; -\; \lambda )\; +\; \varphi \; (x\; +\; \lambda ))\; =\; 1\; 2\; \pi \; xe\; -\; (x\; +\; \lambda )\; /\; 2\; cosh\; \; (\lambda \; Икс),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; f\_\; \{X\}\; (x,\; 1,\; \backslash \; lambda)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; phi\; (\{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\}\})\; +\; \backslash \; phi\; (\{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\}\})\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; x\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; (x\; +\; \backslash \; lambda)\; /\; 2\}\; \backslash \; cosh\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\; x\}\}),\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $\varphi \; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (\backslash \; cdot)\}$- стандартная нормальная плотность.

1. Разверните член cosh в ряду Тейлора. Это дает взвешенное по Пуассону смешанное представление плотности, все еще для k = 1. Индексы случайных величин хи-квадрат в приведенном выше ряду в этом случае равны 1 + 2i.
2. Наконец, для общего кейс. Мы предположили, без ограничения общности, что $X\; 2,\dots ,\; X\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{k\}\}$являются стандартными нормальными, и поэтому $X\; 2\; 2\; +\; \cdots \; +\; X\; k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; X\_\; \{k\}\; ^\; \{2\}\}$имеет центральное распределение хи-квадрат с ( k - 1) степени свободы, не зависящие от $X\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\}$. Используя взвешенное по Пуассону представление смеси для $X\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\}$, а также тот факт, что сумма случайных величин хи-квадрат также является хи- квадрат, завершает результат. Индексы в серии: (1 + 2i) + (k - 1) = k + 2i, если требуется.

Связанные распределения

• Если $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$равно хи-квадрат распределенный $V\; \sim \; \chi \; k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \backslash \; sim\; \backslash \; chi\; \_\; \{k\}\; ^\; \{2\}\}$, затем $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$также имеет нецентральное распределение по хи-квадрат: $V\; \sim \; \chi \; \prime \; k\; 2\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; chi\; \text{'}\}\; \_\; \{k\}\; ^\; \{2\}\; (0)\; \}$
• Линейная комбинация независимых нецентральных переменных хи-квадрат $\xi \; =\; \sum \; i\; \lambda \; i\; Y\; i\; +\; c,\; Y\; i\; \sim \; \chi \; \prime \; 2\; (mi,\; \delta \; i\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; Y\_\; \{i\}\; +\; c,\; \backslash \; quad\; Y\_\; \{i\}\; \backslash \; sim\; \backslash \; chi\; \text{'}^\; \{2\}\; (m\_\; \{i\},\; \backslash \; delta\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\})\}$, является распределенным обобщенным хи-квадрат.
• Если $V\; 1\; \sim \; \chi \; \prime \; k\; 1\; 2\; (\lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{1\}\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; chi\; \text{'}\}\; \_\; \{k\_\; \{1\}\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; lambda)\}$и $V\; 2\; \sim \; \chi \; \prime \; k\; 2\; 2\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{2\}\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; chi\; \text{'}\}\; \_\; \{\; k\_\; \{2\}\}\; ^\; \{2\}\; (0)\}$и $V\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{1\}\}$не зависит от $V\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{2\}\}$затем нецентральное F-распределение d переменная представлена ​​как $V\; 1\; /\; k\; 1\; V\; 2\; /\; k\; 2\; \sim \; F\; k\; 1,\; k\; 2\; \prime \; (\lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{1\}\; /\; k\_\; \{1\}\}\; \{\; V\_\; \{2\}\; /\; k\_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; sim\; F\; \text{'}\_\; \{k\_\; \{1\},\; k\_\; \{2\}\}\; (\backslash \; lambda)\}$
• Если $J\; \sim \; P\; oisson\; (1\; 2\; \lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{Poisson\}\; \backslash \; left\; (\{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; lambda\}\; \backslash \; right)\}$, затем $\chi \; k\; +\; 2\; J\; 2\; \sim \; \chi \; \prime \; к\; 2\; (\lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{k\; +\; 2J\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; chi\; \text{'}\}\; \_\; \{k\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; lambda)\}$
• Если $V\; \sim \; \chi \; \prime \; 2\; 2\; (\lambda )\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; chi\; \text{'}\}\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; lambda)\}$, затем $V\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{V\; \}\}\}$принимает распределение Райса с параметром $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\}\}\}$.
• Нормальное приближение: если $V\; \sim \; \chi \; \text{'}К\; 2\; (\lambda )\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; chi\text{'}\}\; \_\; \{k\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; lambda)\}$, затем $V\; -\; (k\; +\; \lambda )\; 2\; (\; к\; +\; 2\; \lambda )\; \to \; N\; (0,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{V-\; (k\; +\; \backslash \; lambda)\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; (k\; +\; 2\; \backslash \; lambda)\}\}\}\; \backslash \; к\; N\; (0,1)\; \}$в распределении как $k\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$или $\lambda \; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; to\; \backslash \; in\; fty\}$.
• Если $V\; 1\; \sim \; \chi \; \prime \; k\; 1\; 2\; (\lambda \; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{1\}\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; chi\; \text{'}\}\; \_\; \{k\_\; \{1\}\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{1\})\}$и $V\; 2\; \sim \; \chi \; \prime \; k\; 2\; 2\; (\lambda \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{2\}\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; chi\; \text{'}\}\; \_\; \{k\_\; \{2\}\}\; ^\; \{\; 2\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{2\})\}$, где $V\; 1,\; V\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{1\},\; V\_\; \{2\}\}$независимы, тогда $W\; знак\; равно\; (В\; 1\; +\; V\; 2)\; \sim \; \chi \; \prime \; К\; 2\; (\lambda \; 1\; +\; \lambda \; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; W\; =\; (V\_\; \{1\}\; +\; V\_\; \{2\})\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; chi\; \text{'}\}\; \_\; \{к\; \}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\})\}$где $k\; =\; k\; 1\; +\; k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; k\_\; \{1\}\; +\; k\_\; \{\; 2\}\}$.
• В общем, для конечного набора $V\; i\; \sim \; \chi \; \prime \; ki\; 2\; (\lambda \; i),\; i\; \in \; \{1..\; N\}\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{i\}\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; chi\; \text{'}\; \}\; \_\; \{k\_\; \{i\}\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{i\}),\; i\; \backslash \; in\; \backslash \; left\; \backslash \; \{1..N\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$, сумма этих не- центральные распределенные случайные величины по хи-квадрат $Y\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; NV\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; V\_\; \{i\}\}$имеет распределение $Y\; \sim \; \chi \; \prime \; ky\; 2\; (\lambda \; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; chi\; \text{'}\}\; \_\; \{k\_\; \{y\}\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{y\})\}$где $ки\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; ки,\; \lambda \; Y\; =\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; \lambda \; я\; \{\backslash \; Displaystyle\; к\_\; \{\; y\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; k\_\; \{i\},\; \backslash \; lambda\; \_\; \{y\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}$. Это можно увидеть с помощью следующих функций, генерирующих момент: $MY\; (t)\; =\; M\; \sum \; i\; =\; 1\; NV\; i\; (t)\; =\; \prod \; i\; =\; 1\; NMV\; i\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{Y\}\; (t)\; =\; M\; \_\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; V\_\; \{i\}\}\; (t)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; M\_\; \{V\_\; \{i\}\}\; (t)\}$независимостью случайных величин $V\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{i\}\}$. Осталось подключить MGF для нецентральных распределений хи-квадрат в продукт и вычислить новый MGF - это оставлено как упражнение. В качестве альтернативы его можно рассматривать с помощью интерпретации в предыдущем разделе фона как суммы квадратов независимых нормально распределенных случайных величин с дисперсией 1 и заданными средними значениями.
• Сложное нецентральное распределение хи-квадрат находит применение в радиосвязи. и радиолокационные системы. Пусть $(z\; 1,\dots ,\; zk)\; \{\backslash \; displaystyle\; (z\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; z\_\; \{k\})\}$независимые скалярные комплексные случайные величины с нецентральным круговая симметрия, средние значения $\mu \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}$и единичные отклонения: $E\; \; |\; z\; i\; -\; \mu \; i\; |\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; |\; z\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}\; =\; 1\}$. Тогда действительная случайная величина $S\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; k\; |\; z\; i\; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; |\; z\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}\}$распределяется в соответствии со сложным нецентральным распределением хи-квадрат :

$е\; S\; (S)\; знак\; равно\; (S\; \lambda )\; (к\; -\; 1)\; /\; 2\; е\; -\; (S\; +\; \lambda )\; I\; к\; -\; 1\; (2\; S\; \lambda )\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\_\; \{S\}\; (S)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{S\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{(k-1)\; /\; 2\}\; e\; ^\; \{-\; (S\; +\; \backslash \; lambda)\}\; I\_\; \{k-1\}\; (2\; \{\backslash \; sqrt\; \{S\; \backslash \; lambda\; \}\})\}$.

где $\lambda \; =\; \sum \; i\; =\; 1\; k\; |\; \mu \; i\; |\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}.\}$

Преобразования

Шанкаран (1963) обсуждает преобразования формы $z\; =\; [(X\; -\; b)\; /\; (k\; +\; \lambda )]\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; [(Xb)\; /\; (k\; +\; \backslash \; lambda)]\; ^\; \{1/2\}\}$. Он анализирует расширения кумулянтов из $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$до члена $O\; ((k\; +\; \lambda )\; -\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; ((k\; +\; \backslash \; lambda)\; ^\; \{-\; 4\})\}$и показывает, что следующие варианты $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$дают приемлемые результаты:

• $b\; =\; (k\; -\; 1)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; (k-1)\; /\; 2\}$делает второй кумулянт $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$приблизительно независимым от $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$
• $b\; =\; (k\; -\; 1)\; /\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; (k-1)\; /\; 3\}$делает третий кумулянт $z\; \{\; \backslash \; displaystyle\; z\}$приблизительно не зависит от $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$
• $b\; =\; (k\; -\; 1)\; /\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; (k-1)\; /\; 4\}$делает четвертый кумулянт $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$приблизительно независимым от $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$

Кроме того, более простое преобразование $z\; 1\; =\; (X\; -\; (k\; -\; 1)\; /\; 2)\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{1\}\; =\; (X-\; (k-1)\; /\; 2)\; ^\; \{1/2\}\}$можно использовать как стабилизация дисперсии преобразование, которое производит случайную величину со средним значением $(\lambda \; +\; (k\; -\; 1)\; /\; 2)\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; lambda\; +\; (k-1)\; /\; 2)\; ^\; \{1/2\}\}$и дисперсия $O\; ((k\; +\; \lambda )\; -\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; ((k\; +\; \backslash \; lambda)\; ^\; \{-\; 2\})\}$.

Удобство использования этих преобразований может быть затруднено из-за нужно извлечь квадратный корень из отрицательных чисел.

Различные распределения хи и хи-квадрат

Имя	Статистика
распределение хи-квадрат	$\sum \; 1\; k\; (X\; i\; -\; \mu \; i\; \sigma \; i)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{X\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$
нецентральный хи-квадрат распределение	$\sum \; 1\; К\; (Икс\; я\; \sigma \; я)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{X\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$
распределение хи	$\sum \; 1\; k\; (X\; i\; -\; \mu \; i\; \sigma \; i)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{X\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\}$
нецентральное распределение хи	$\sum \; 1\; k\; (X\; i\; \sigma \; i)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{X\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Вхождения

Использование в интервалах допуска

Двусторонняя нормальная регрессия интервалы допуска могут быть получены на основе нецентрального распределения хи-квадрат. Это позволяет рассчитать статистический интервал, в который с некоторым уровнем достоверности попадает заданная доля отобранной совокупности.

Примечания

1. ^Мюрхед (2005) Теорема 1.3.4
2. ^Наттолл, Альберт Х. (1975): Некоторые интегралы, включающие функцию Q M, IEEE Transactions on Information Theory, 21 (1), 95–96, ISSN 0018-9448
3. ^Абдель-Ати, С. (1954). Приближенные формулы для процентных точек и интеграла вероятности нецентрального распределения χ2 Биометрика 41, 538–540. DOI: 10.2307 / 2332731
4. ^Шанкаран, М. (1963). Аппроксимация нецентрального распределения хи-квадрат Биометрика, 50 (1-2), 199–204
5. ^Шанкаран, М. (1959). «О нецентральном распределении хи-квадрат», Biometrika 46, 235–237
6. ^Johnson et al. (1995) Непрерывные одномерные распределения Раздел 29.8
7. ^Мюрхед (2005), стр. 22–24 и задача 1.18.
8. ^Дерек С. Янг (август 2010 г.). «Допуск: пакет R для оценки интервалов допуска». Журнал статистического программного обеспечения. 36 (5): 1–39. ISSN 1548-7660. Проверено 19 февраля 2013 г., стр.32

Ссылки

• Абрамовиц, М. и Стегун, И.А. (1972), Справочник по математическим функциям, Dover. Раздел 26.4.25.
• Джонсон, Н. Л., Коц, С., Балакришнан, Н. (1995), Непрерывные одномерные распределения, Том 2 (2-е издание), Wiley. ISBN 0-471-58494-0
• Мюрхед Р. (2005) Аспекты многомерной статистической теории (2-е издание). Вайли. ISBN 0-471-76985-1
• Сигел, А.Ф. (1979), «Нецентральное распределение хи-квадрат с нулевыми степенями свободы и проверка на однородность», Биометрика, 66, 381–386
• Press, SJ (1966), «Линейные комбинации нецентральных переменных хи-квадрат», Анналы математической статистики, 37 (2): 480–487, doi : 10.1214 / aoms / 1177699531, JSTOR 2238621