Функция полигаммы

Мероморфная функция Графики функций полигаммы ψ, ψ, ψ и ψ вещественных аргументов

В математике, полигамма-функция порядка m является мероморфной функцией на комплексных числах ℂ, определяемых как (m + 1) th производная логарифма гамма-функции :

$\psi \; (m)\; (z):\; =\; dmdzm\; \psi \; (z)\; =\; dm\; +\; 1\; dzm\; +\; 1\; ln\; \; \Gamma \; (z).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; (z):\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{m\}\}\; \{dz\; ^\; \{m\}\}\}\; \backslash \; psi\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{m\; +\; 1\; \}\}\; \{dz\; ^\; \{m\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (z).\}$

Таким образом,

$\psi \; (0)\; (z)\; =\; \psi \; (z)\; =\; \Gamma \; \prime \; (z)\; \Gamma \; (z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{(0)\}\; (z)\; =\; \backslash \; psi\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \text{'}(z)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (z)\}\}\}$

, где ψ (z) - дигамма-функция, а Γ (z) - гамма-функция. Они голоморфны на ℂ \ - ℕ0. При всех неположительных целых числах эти полигамма-функции имеют полюс порядка m + 1. Функцию ψ (z) иногда называют тригамма-функцией.

. Логарифм гамма-функции и первый несколько полигамма-функций в комплексной плоскости

ln Γ (z)	ψ (z)	ψ (z)
ψ (z)	ψ ( z)	ψ (z)

• 1 Интегральное представление
• 2 Отношение рекуррентности
• 3 Отношение отражения
• 4 Теорема умножения
• 5 Последовательное представление
• 6 Ряд Тейлора
• 7 Асимптотическое разложение
• 8 Неравенства
• 9 См. Также
• 10 Ссылки

Когда m>0 и Re z>0, функция полигаммы равна

$\psi \; (m)\; (z)\; =\; (-\; 1)\; m\; +\; 1\; \int \; 0\; \infty \; tme\; -\; zt\; 1\; -\; e\; -\; tdt\; =\; -\; \int \; 0\; 1\; tz\; -\; 1\; 1\; -\; t\; (ln\; \; t)\; mdt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; (z)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{m\; +\; 1\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{\; m\}\; e\; ^\; \{-\; zt\}\}\; \{1-e\; ^\; \{-\; t\}\}\}\; \backslash ,\; dt\; \backslash \backslash \; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{z-1\}\}\; \{1-t\}\}\; (\backslash \; ln\; t)\; ^\; \{m\}\; \backslash ,\; dt.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Это выражает функцию полигаммы как преобразование Лапласа из $(-\; 1)\; m\; +\; 1\; tm\; /\; (1\; -\; e\; -\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; (-1)\; ^\; \{m\; +\; 1\}\; t\; ^\; \{m\}\; /\; (1-e\; ^\; \{-\; t\})\}$. Из теоремы Бернштейна о монотонных функциях следует, что для m>0 и x действительных и неотрицательных $(-\; 1)\; m\; +\; 1\; \psi \; (m)\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; (-\; 1)\; ^\; \{m\; +\; 1\}\; \backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; (x)\}$- полностью монотонная функция.

Установка m = 0 в приведенной выше формуле не дает интегрального представления дигамма-функции. Дигамма-функция имеет интегральное представление благодаря Гауссу, которое похоже на приведенный выше случай m = 0, но в котором есть дополнительный член $e\; -\; t\; /\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; t\}\; /\; t\}$.

Оно удовлетворяет соотношению рекуррентности

$\psi \; (m)\; (z\; +\; 1)\; =\; \psi \; (m)\; (z)\; +\; (-\; 1)\; мм!\; zm\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; (z\; +\; 1)\; =\; \backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; (z)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{m\}\; \backslash ,\; m!\}\; \{\; z\; ^\; \{m\; +\; 1\}\}\}\}$

который - рассматриваемый для положительного целочисленного аргумента - приводит к представлению суммы обратных значений степеней натуральных чисел:

$\psi \; (m)\; (n)\; (-\; 1)\; м\; +\; 1\; м!\; знак\; равно\; \zeta \; (1\; +\; м)\; -\; \sum \; К\; =\; 1\; N\; -\; 1\; 1\; км\; +\; 1\; =\; \sum \; К\; =\; N\; \infty \; 1\; км\; +\; 1\; м\; \ge \; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; (п)\; \}\; \{(-\; 1)\; ^\; \{m\; +\; 1\}\; \backslash ,\; m!\}\}\; =\; \backslash \; Zeta\; (1\; +\; m)\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n-1\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; ^\; \{m\; +\; 1\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; n\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; ^\; \{m\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; qquad\; m\; \backslash \; geq\; 1\}$

и

$\psi \; (0)\; (N)\; знак\; равно\; -\; \gamma \; +\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; N\; -\; 1\; 1\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{(0)\}\; (п)\; =\; -\; \backslash \; гамма\; \backslash \; +\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; =\; 1\}\; ^\; \{n-1\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\}\}\}$

для всех n ∈ ℕ . Подобно логарифмической гамма-функции, полигамма-функции могут быть обобщены из области ℕ однозначно до положительных действительных чисел только благодаря их рекуррентному отношению и одному заданному значению функции, скажем ψ (1), за исключением случая m = 0, где еще требуется дополнительное условие строгой монотонности на ℝ . Это тривиальное следствие теоремы Бора – Моллерупа для гамма-функции, где дополнительно требуется строго логарифмическая выпуклость на ℝ . Случай m = 0 следует рассматривать по-другому, потому что ψ не нормируется на бесконечности (сумма обратных величин не сходится).

$(-\; 1)\; m\; \psi \; (m)\; (1\; -\; z)\; -\; \psi \; (m)\; (z)\; =\; \pi \; dmdzm\; cot\; \; (\pi \; z)\; =\; \pi \; m\; +\; 1\; P\; m\; (\; соз\; \; (\pi \; z))\; грех\; m\; +\; 1\; \; (\pi \; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (-1)\; ^\; \{m\}\; \backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; (1-z)\; -\; \backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; (\; z)\; =\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{m\}\}\; \{dz\; ^\; \{m\}\}\}\; \backslash \; cot\; \{(\backslash \; pi\; z)\}\; =\; \backslash \; pi\; ^\; \{m\; +\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{m\}\; (\; \backslash \; cos\; (\backslash \; pi\; z))\}\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{m\; +\; 1\}\; (\backslash \; pi\; z)\}\}\}$

где P m - альтернативный нечетный или четный многочлен степени | m - 1 | с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом (−1) ⌈2⌉. Они подчиняются уравнению рекурсии

$P\; 0\; (x)\; =\; x\; P\; m\; +\; 1\; (x)\; =\; -\; ((m\; +\; 1)\; x\; P\; m\; (x)\; +\; (1\; -\; x\; 2)\; P\; m\; \prime \; (x)).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; P\_\; \{0\}\; (x)\; =\; x\; \backslash \backslash \; P\_\; \{m\; +\; 1\}\; (x)\; =\; -\; \backslash \; left\; ((m\; +\; 1)\; xP\_\; \{m\}\; (x)\; +\; \backslash \; left\; (1-x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; P\; \text{'}\_\; \{m\}\; (x)\; \backslash \; right).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Теорема умножения дает

$км\; +\; 1\; \psi \; (m)\; (kz)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; k\; -\; 1\; \psi \; (m)\; (z\; +\; nk)\; m\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; ^\; \{m\; +\; 1\}\; \backslash \; psi\; ^\; \{\; (m)\}\; (kz)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{k-1\}\; \backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; \backslash \; left\; (z\; +\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{k\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; qquad\; m\; \backslash \; GEQ\; 1\}$

и

$к\; \psi \; (0)\; (kz)\; =\; k\; журнал\; \; (k)\; +\; \sum \; n\; =\; 0\; k\; -\; 1\; \psi \; (0)\; (z\; +\; nk)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; psi\; ^\; \{(0)\}\; (kz)\; =\; k\; \backslash \; log\; (k)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{k-1\}\; \backslash \; psi\; ^\; \{(0)\}\; \backslash \; left\; (z\; +\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{k\; \}\}\; \backslash \; right)\}$

для дигамма-функции.

Полигамма-функция имеет представление ряда

$\psi \; (m)\; (z)\; =\; (-\; 1)\; m\; +\; 1\; м!\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; \infty \; 1\; (Z\; +\; К)\; м\; +\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{(м)\}\; (г)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{м\; +\; 1\}\; \backslash ,\; м!\; \backslash \; Сумма\; \_\; \{к\; =\; 0\; \}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(z\; +\; k)\; ^\; \{m\; +\; 1\}\}\}\}$

который выполняется для m>0 и любого комплексного z, не равного отрицательному целому числу. Это представление может быть записано более компактно в терминах дзета-функции Гурвица как

$\psi \; (m)\; (z)\; =\; (-\; 1)\; m\; +\; 1\; m!\; \zeta \; (m\; +\; 1,\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; (z)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{m\; +\; 1\}\; \backslash ,\; m!\; \backslash ,\; \backslash \; zeta\; (m\; +\; 1,\; z).\}$

С другой стороны, дзета Гурвица можно понимать как обобщение полигаммы на произвольный, нецелочисленный порядок.

Еще одна серия может быть разрешена для функций полигаммы. Согласно Шлёмильх,

$1\; \Gamma \; (z)\; =\; z\; e\; \gamma \; z\; \prod \; n\; =\; 1\; \infty \; (1\; +\; z\; n)\; e\; -\; z\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Gamma\; (z)\}\}\; =\; ze\; ^\; \{\backslash \; gamma\; z\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{\; n\}\}\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{n\}\}\}.\}$

Это результат теоремы факторизации Вейерштрасса. Таким образом, теперь гамма-функцию можно определить как:

$\Gamma \; (z)\; =\; e\; -\; \gamma \; z\; z\; \prod \; n\; =\; 1\; \infty \; (1\; +\; z\; n)\; -\; 1\; e\; z\; n.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; \backslash \; gamma\; z\}\}\; \{z\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{n\}\}.\}$

Теперь натуральный логарифм гамма-функции легко представить:

$ln\; \; \Gamma \; (z)\; =\; -\; \gamma \; z\; -\; ln\; \; (z)\; +\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (zn\; -\; ln\; \; (1\; +\; zn)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; -\; \backslash \; gamma\; z-\; \backslash \; ln\; (z)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{n\}\}\; -\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right).\}$

Наконец, мы приходим к суммированному представлению для полигамма-функции:

$\psi \; (n)\; (z)\; знак\; равно\; dn\; +\; 1\; dzn\; +\; 1\; ln\; \; \Gamma \; (z)\; =\; -\; \gamma \; \delta \; n\; 0\; -\; (-\; 1)\; nn!\; zn\; +\; 1\; +\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; \infty \; (1\; К\; \delta \; N\; 0\; -\; (-\; 1)\; nn!\; (k\; +\; z)\; n\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{(n)\}\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; d\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{dz\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; -\; \backslash \; gamma\; \backslash \; delta\; \_\; \{n0\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\; n!\; \}\; \{z\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{n0\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{(\; -1)\; ^\; \{n\}\; n!\}\; \{(K\; +\; z)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

Где δ n0 - дельта Кронекера.

Также трансцендент Лерха

$\Phi \; (-\; 1,\; m\; +\; 1,\; z)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; (-\; 1)\; k\; (z\; +\; k)\; m\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (-1,\; m\; +\; 1,\; z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{k\}\}\; \{(z\; +\; k)\; ^\; \{m\; +\; 1\}\}\}\}$

можно обозначить через полигамма-функцию

$\Phi \; (-\; 1,\; m\; +\; 1,\; z)\; =\; 1\; (-\; 2)\; m\; +\; 1\; m!\; (\psi \; (м)\; (z\; 2)\; -\; \psi \; (m)\; (z\; +\; 1\; 2))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Phi\; (-1,\; m\; +\; 1,\; z)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{(-\; 2)\; ^\; \{\; m\; +\; 1\}\; m!\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\; +\; 1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$

Ряд Тейлора при z = 1 равен

$\psi \; (m)\; (z\; +\; 1)\; знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; \infty \; (-\; 1)\; м\; +\; К\; +\; 1\; (м\; +\; К)!\; к!\; \zeta \; (м\; +\; К\; +\; 1)\; zkm\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; (z\; +\; 1)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{m\; +\; k\; +1\}\; \{\backslash \; frac\; \{(m\; +\; k)!\}\; \{K!\}\}\; \backslash \; Zeta\; (m\; +\; k\; +\; 1)\; z\; ^\; \{k\}\; \backslash \; qquad\; m\; \backslash \; geq\; 1\}$

и

$\psi \; (0)\; (z\; +\; 1)\; знак\; равно\; -\; \gamma \; +\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; k\; +\; 1\; \zeta \; (k\; +\; 1)\; zk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{(0)\}\; (z\; +\; 1)\; =\; -\; \backslash \; gamma\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\; +\; 1\}\; \backslash \; zeta\; (k\; +\; 1)\; z\; ^\; \{k\}\}$

который сходится при | z | < 1. Here, ζ is the Дзета-функция Римана. Этот ряд легко выводится из соответствующего ряда Тейлора для дзета-функции Гурвица. Этот ряд может использоваться для получения ряда рациональных дзета-рядов.

Эти несходящиеся ряды могут использоваться для быстрого получения значения приближения с определенной числовой, по крайней мере, точностью. для больших аргументов:

$\psi \; (m)\; (z)\; \sim \; (-\; 1)\; m\; +\; 1\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; (k\; +\; m\; -\; 1)!\; к!\; В\; kzk\; +\; мм\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; (z)\; \backslash \; sim\; (-1)\; ^\; \{m\; +\; 1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(\; k\; +\; m-1)!\}\; \{k!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{B\_\; \{k\}\}\; \{z\; ^\; \{k\; +\; m\}\}\}\; \backslash \; qquad\; m\; \backslash \; geq\; 1\}$

и

$\psi \; (0)\; (Z)\; \sim \; пер\; (Z)\; -\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; \infty \; В\; kkzk\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{(0)\}\; (z)\; \backslash \; sim\; \backslash \; ln\; (z)\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{B\_\; \{k\}\}\; \{kz\; ^\; \{k\}\}\}\}$

где мы выбрали B 1 = 1/2, т.е. числа Бернулли второго рода.

гиперболический котангенс удовлетворяет неравенству

$t\; 2\; coth\; \; t\; 2\; \ge \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{2\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{coth\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{2\}\}\; \backslash \; geq\; 1,\}$

, и это означает, что функция

$tm\; 1\; -\; e\; -\; t\; -\; (tm\; -\; 1\; +\; tm\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{m\}\}\; \{1-e\; ^\; \{-\; t\}\}\}\; -\; \backslash \; left\; (t\; ^\; \{m-1\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{m\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \}$

неотрицательно для всех $m\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; geq\; 1\}$и $t\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; geq\; 0\}$. Отсюда следует, что преобразование Лапласа этой функции полностью монотонно. Используя представленное выше интегральное представление, мы заключаем, что

$(-\; 1)\; m\; +\; 1\; \psi \; (m)\; (x)\; -\; ((m\; -\; 1)!\; Xm\; +\; m!\; 2\; xm\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (-1)\; ^\; \{m\; +\; 1\}\; \backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; (x)\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{(m-1)!\}\; \{x\; ^\; \{m\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{m!\}\; \{2x\; ^\; \{m\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

полностью монотонно. Неравенство выпуклости $et\; \ge \; 1\; +\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{t\}\; \backslash \; geq\; 1\; +\; t\}$означает, что

$(tm\; -\; 1\; +\; tm)\; -\; tm\; 1\; -\; e\; -\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (t\; ^\; \{m-1\}\; +\; t\; ^\; \{m\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{m\}\}\; \{1-e\; ^\; \{-\; t\}\}\}\}$

не является -отрицательный для всех $m\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; geq\; 1\}$и $t\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; geq\; 0\}$, поэтому аналог Лапласа аргумент преобразования дает полную монотонность

$((m\; -\; 1)!\; xm\; +\; m!\; xm\; +\; 1)\; -\; (-\; 1)\; m\; +\; 1\; \psi \; (m)\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{(m-1)!\}\; \{x\; ^\; \{m\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{m!\}\; \{x\; ^\; \{m\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; right)\; -\; (-\; 1)\; ^\; \{m\; +\; 1\}\; \backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; (x).\}$

Следовательно, для всех m ≥ 1 и x>0

$(m\; -\; 1)!\; х\; м\; +\; м!\; 2\; х\; м\; +\; 1\; \le \; (-\; 1)\; м\; +\; 1\; \psi \; (м)\; (х)\; \le \; (м\; -\; 1)!\; х\; м\; +\; м!\; х\; м\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(m-1)!\}\; \{x\; ^\; \{m\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{m!\}\; \{2x\; ^\; \{m\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; leq\; (-1)\; ^\; \{m\; +\; 1\}\; \backslash \; psi\; ^\; \{(m)\}\; (x)\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{(m-1)!\}\; \{X\; ^\; \{m\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{m!\}\; \{X\; ^\; \{m\; +\; 1\}\; \}\}.\}$

• Факториал
• Гамма-функция
• Дигамма-функция
• Тригамма-функция
• Обобщенная полигамма-функция

• Abramowitz, Milton; Стегун, Ирен А. (1964). «Раздел 6.4». Справочник по математическим функциям. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.