Число Бернулли

редактировать

Рациональная числовая последовательность

Числа Бернулли B. n
n	дробь	десятичная
0	1	+1.000000000
1	± 1/2	± 0,500000000
2	1/6	+0,166666666
3	0	+0,000000000
4	-1/30	-0,033333333
5	0	+0,000000000
6	1/42	+0,023809523
7	0	+0,000000000
8	−1/30	-0,033333333
9	0	+0,000000000
10	5/66	+0.0757575
11	0	+0.000000000
12	−691/2730	−0.253113553
13	0	+0.000000000
14	7/6	+1.166666666
15	0	+0.000000000
16	−3617/510	−7.092156862
17	0	+0.000000000
18	43867/798	+54.97117794
19	0	+0.000000000
20	- 174611/330	−529.1242424

В математике числа Бернулли Bnзаменить собой последовательность из рациональных чисел, которые часто встречаются в том числе . теория. Числа Бернулли появляются (и могут быть раскрыты) в разложениях ряд Тейлора функций тангенс и гиперболический тангенс в формуле Фаулхабера для суммы м-х степеней первых n натуральных чисел, в формуле Эйлера - Маклорена и в выражениях для некоторых значений дзета-функции Римана.

. Первые 20 чисел Бернулли приведены в соседней таблице. В литературе используются два условных обозначения обозначенных здесь $B n - {\ displaystyle B_ {n} ^ {- {}}}$ ${\ displaystyle B_ {n} ^ {- {}}}$ и $B n + {\ displaystyle B_ {n} ^ {+ {}}}$ ${\ displaystyle B_ {n} ^ {+ {}}}$ ; они отличаются только для n = 1, где $B 1 - = - 1/2 {\ displaystyle B_ {1} ^ {- {}} = - 1/2}$ ${\ displaystyle B_ {1} ^ {- {}} = - 1/2}$ и $B 1 + = + 1/2 {\ displaystyle B_ {1} ^ {+ {}} = + 1/2}$ ${\ displaystyle B_ {1} ^ {+ {}} = + 1/2}$ . Для каждого нечетного n>1 B n = 0. Для каждого четного n>0 B n отрицательно, если n делится на 4, и положительно в случае. Числа Бернулли представьте собой специальные значения многочленов Бернулли $B n (x) {\ displaystyle B_ {n} (x)}$ $B_ {n} (x)$ , где $B n - = B n (0) {\ displaystyle B_ {n} ^ {- {}} = B_ {n} (0)}$ ${\ displaystyle B_ {n} ^ {- {}} = B_ {n} (0)}$ и $B n + = B n (1) {\ displaystyle B_ {n } ^ {+} = B_ {n} (1)}$ ${\ displaystyle B_ {n} ^ {+} = B_ {n} (1)}$ (Weisstein 2016).

Числа Бернулли были открыты примерно в то же время швейцарским математиком Якобом Бернулли, в честь которого они названы, и японским математиком Секи Такакадзу. Открытие Секи было посмертно опубликовано в 1712 г. (Селин 1997, стр. 891; Смит и Миками 1914, стр. 108) в его работе «Кацуё Санпо»; Бернулли, также посмертно, в его Ars Conjectandi 1713 г. в примечании G Ады Лавлейс к Аналитической машине от 1842 г. алгоритм для генерации чисел Бернулли с помощью машины Бэббиджа (Menabrea 1842, Примечание G). В результате, числа Бернулли являются предметом первой опубликованной сложной компьютерной программы.

Содержание

1 Обозначение
2 История
- 2.1 Ранняя история
- 2.2 Реконструкция «Summae Potestatum»
3 Определения
- 3.1 Рекурсивное определение
- 3.2 Явное определение
- 3.3 Производящая функция
4 Числа Бернулли и дзета-функция Римана
5 Эффективное вычисление чисел Бернулли
6 Приложения чисел Бернулли
- 6.1 Асимптотический анализ
- 6.2 Сумма степеней
- 6.3 Ряд Тейлора
- 6.4 Ряд Лорана
- 6.5 Использование в топологии
7 Соединения с комбинаторными числами
- 7.1 Связь с числами Ворпицки
- 7.2 Связь с числами Стирлинга второго рода
- 7.3 Связь с числами Стирлинга первого рода
- 7.4 Связь с треугольником Паскаля
- 7.5 Связь с числами Эйлера
8 Двоичное представление в виде дерева
9 Интегральное представление и продолжение
10 Связь с числами Эйлера и π
11 Алгоритмичес кое представление: треугольник Зейделя
12 Комбинаторное представление: чередующиеся перестановки
13 Связанные следующие
14 Арифметические свойства чисел Бернулли
- 14.1 Теоремы Куммера
- 14.2 p-адическая непрерывность
- 14.3 Конгруэнции Рамануджана
- 14.4 Теорема фон Штаудта - Клаузена
- 14.5 Почему нечетные числа Бернулли исчезают?
- 14.6 Повторное утверждение гипотезы Римана
15 Обобщенные числа Бернулли
16 Приложение
- 16.1 Различные контактаторы
17 См. Также
18 Примечания
19 Ссылки
20 Внешние ссылки

Обозначения

Верхний индекс ±, используемый в этой статье, различает два знаковых соглашения для чисел Бернулли. Затрагивается только член n = 1:

B. nс B. 1= −1/2 (OEIS : A027641 / OEIS : A027642 ) - знаковое соглашение, предписанное NIST и большинством современных учебников (Arfken 1970, стр. 278).
B. nс B. 1= +1/2 (OEIS : A164555 / OEIS : A027642 ) иногда используется в более раннейтуре (Weisstein 2016).

В приведенных ниже формулах можно переключиться с помощью одного соглашения о знаках на другое с помощью соотношения $B n + = (- 1) n B n - {\ displaystyle B_ {n} ^ {+} = (- 1) ^ {n} B_ {n} ^ {-}$ ${\ displaystyle B_ {n} ^ {+} = (- 1) ^ {n } B_ {n} ^ {-}}$ , или для целого n = 2 или больше просто игнорируйте его.

Времен B n = 0 для всех нечетное n>1, а во многих формулах используются только числа Бернулли с четным индексом, некоторые авторы пишут «B n » вместо B 2n. В данной статье это обозначение не используется.

История

Ранняя история

Числа Бернул уход корнями в раннюю историю вычислений сумм целочисленных степеней, которые их интересовали математики с древних времен. 837>Страница из «Кацуё Санпо» Секи Такакадзу (1712), таблица биномиальных коэффициентов и чисел Бернулли

Методы вычислений суммы первых n натуральных чисел, суммы квадратов и кубов n натуральных чисел были известны, но настоящих «формул» не существовало, только описания, данные полностью словами. Среди великих математиков древности, которые рассмотрели эту проблему, были Пифагор (ок. 572–497 до н.э., Греция), Архимед (287–212 до н.э., Италия), Арьябхата (р. 476, Индия), Абу Бакр аль-Караджи (ум. 1019, Персия) и Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хасан ибн аль-Хайсам (965 –1039, Ирак).

В конце шестнадцатого и начала семнадцатого веков математики добились значительного прогресса. На Западе Томас Харриот (1560–1621) в Англии, Иоганн Фолхабер (1580–1635) в Германии, Пьер де Ферма (1601–1665) и его коллега, французский математик Блез Паскаль (1623–1662), все играли важные роли.

Томас Харриот, кажется, первым, кто вывел и написал формулы для сумм степеней, используя символические обозначения, но даже он рассчитал только сумму четвертых степеней. Иоганн Фаульхабер дал формулы для сумменей до 17-й степени в своей академической алгебре 1631 года, что намного выше, чем у всех до него, но он не дал общей формулы.

Блез Паскаль в 1654 году доказал тождество Паскаля, связав сумму p-й степени первых натуральных чисел для p = 0, 1, 2,…, k.

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1654–1705) первым осознал существование единой последовательной констант B 0, B 1, B 2,… которые обеспечить единую формулу для всех сумм степеней (Knuth 1993).

Радость, которую испытал Бернулли, когда он натолкнулся на шаблон, эквивалент для быстрого и легкого вычисления коэффициентов его формулы для суммы c-й степени для любого положительного целого числа c, можно увидеть из его комментариев. Он написал:

«С помощью этой таблицы мне потребовалось меньше половины четверти часа, чтобы найти десятые степени первых 1000 чисел, сложенные вместе, дадут сумму 91 409 924 241 424 24 24 24 24 24 24 41 924 242 500».

Результат Бернулли был опубликован посмертно в Ars Conjectandi в 1713 году. Секи Такакадзу независимо от числа Бернулли, и его результат был опубликован годом ранее, также посмертно, в 1712 году (Селин 1997, стр. 891). Однако Секи не представил свой метод в виде формулы, основанной на использовании констант.

Формула Бернулли для сумм наиболее удобной и подходящей формулировкой на сегодняшний день. Коэффициенты в формуле Бернулли теперь называются числами Бернулли по предложению Абрахама де Муавра.

Формулу Бернулли иногда называют формулой Фаульхабера в честь Иоганна Фаулхабера, который нашел замечательные методы вычисления формулы суммы степеней, но никогда не обозначал формулу Фаульхабера.. Называть формулу Бернулли формулой Фаулхабера несправедливо по отношению к Бернулли и одновременно скрывает гений Фаулхабера, поскольку формула Фаулхабера на самом деле более эффективна, чем формула Бернулли. Согласно Кнуту (Knuth 1993) строгое доказательство формулы Фаульхабера было впервые опубликовано Карлом Якоби в 1834 году (Jacobi 1834). Подробное изучение формулы Фаулхабера Кнутом заключает (нестандартные обозначения LHS объясняются далее):

«Фаульхабер никогда не открывал числа Бернулли, то есть он никогда не осознавал, что единственная последовательность констант B 0, B 1, B 2,… обеспечит равномерный

∑ нм = 1 м + 1 (B 0 нм + 1 + (m + 1 1) B 1 + нм + (m + 1 2) B 2 нм - 1 + ⋯ + (m + 1 m) B mn) {\ displaystyle \ quad \ sum n ^ {m} = {\ frac {1} {m + 1}} \ left (B_ {0} n ^ {m + 1} + {\ binom {m + 1} {1}} B_ {1} ^ {+} n ^ {m} + {\ binom {m + 1)} {2}} B_ {2} n ^ {m-1} + \ cdots + {\ binom {m + 1} {m}} B_ {m} n \ right)}

{\ displaystyle \ quad \ sum n ^ {m} = {\ frac {1} {m + 1}} \ left (B_ {0} n ^ {m + 1} + {\ binom {m + 1} {1)}} B_ {1} ^ {+} n ^ {m} + {\ binom {m + 1} {2}} B_ {2} n ^ {m-1} + \ cdots + {\ binom {m + 1} { m}} B_ {m} n \ right)}

∑ нм = 1 m + 1 (B 0 нм + 1 - ( m + 1 1) B 1 - нм + (m + 1 2) B 2 нм - 1 - ⋯ + (- 1) m (m + 1 m) B mn) {\ displaystyle \ quad \ sum n ^ {m} = {\ frac {1} {m + 1}} \ left (B_ {0} n ^ {m + 1} - {\ binom {m + 1} {1}} B_ {1} ^ {- {}} n ^ {m} + {\ binom {m + 1} {2}} B_ {2} n ^ {m-1} - \ cdots + (- 1) ^ {m} {\ binom {m + 1} { m}} B_ {m} n \ right)}

{\ displaystyle \ quad \ sum n ^ {m} = {\ frac {1} {m + 1}} \ left (B_ {0} n ^ {m + 1} - {\ binom {m + 1} {1}} B_ {1} ^ {- {}} n ^ {m} + {\ binom {m + 1} {2}} B_ {2} n ^ {m-1} - \ cdots + (- 1) ^ {m} {\ binom {m + 1} {m}} B_ { m} n \ right)}

для всех су мм степеней. (Кнут 1993, например, тот факт, что почти половина коэффициентов оказывались равным нулю после того, как он преобразовал свои формулы для ∑ n из многочленов от N в многочлены от n ". стр. 14)

Реконструкция "Summae Potestatum"

"Summae Potestatum" Якоба Бернулли, 1713

Числа Бернулли OEIS : A164555 (n) / OEIS : A027642 (n) были введены Якобом Бернулли в книге Ars Conjectandi, опубликованной посмертно в 1713 году, стр.97.Основную формулу можно увидеть во второй соответствующей факсим. Постоянные коэффициенты, обозначенные Бернулли, в системе обозначений, которые сейчас преобладает как A = B 2, B = B 4, C = B 6, D = B 8. Выражение c · c - 1 · c - 2 · c - 3 означает c · (c - 1) · (c - 2) · (c - 3) - маленькие точки используются как символы группировки. ия: падающие факториальные мощности c. Факториальное обозначение k! как сокращение для 1 × 2 ×… × k было введено только 100 лет спустя. Интегральный символ в левой части восходит к Готфриду Вильгельму Лейбницу в 1675 году, который использовал его как длинную букву S для «summa» (сумма). Буква в левой части является индексом суммирования, но дает верхний предел суммирования, который следует понимать как 1, 2,…, n. Сложив все вместе, для положительного c, сегодня математик, вероятно, запишет формулу Бернулли как:

∑ k = 1 n k c = n c + 1 c + 1 + 1 2 n c + ∑ k = 2 c B k k! с К - 1 _ Н С - К + 1. {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {c} = {\ frac {n ^ {c + 1}} {c + 1} } + {\ frac {1} {2}} n ^ {c} + \ sum _ {k = 2} ^ {c} {\ frac {B_ {k}} {k!}} c ^ {\ underline { k-1}} n ^ {ck + 1}.}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {c} = {\ frac {n ^ {c + 1} } {c + 1}} + {\ frac {1} {2}} n ^ {c} + \ sum _ {k = 2} ^ {c} {\ frac {B_ {k}} {k!}} c ^ {\ underline {k-1}} n ^ {ck + 1}.}

Эта формула предлагает установить B 1 = 1/2 при переключении с так называемого «архаичного» перечисления, в котором используются только четные индексы 2, 4, 6… к современной форме. Наиболее поразительным в этом контексте является тот факт, что фактор падения c имеет для k = 0 значение 1 / c + 1 (Graham, Knuth Patashnik 1989, раздел 2.51). Таким образом, формула Бернулли может быть записана

k = 1 n k c = ∑ k = 0 c B k k! ck - 1 _ nc - k + 1 {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {c} = \ sum _ {k = 0} ^ {c} {\ frac {B_ {k} } {k!}} c ^ {\ underline {k-1}} n ^ {ck + 1}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {c} = \ sum _ {k = 0} ^ {c} {\ frac {B_ {k}} {k!}} c ^ {\ underline {k-1}} n ^ {ck + 1}}

если B 1 = 1/2, повторное получение значения, которое Бернулли далли коэффициент в этой позиции.

Формула для $∑ k = 1 nk 9 {\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {9}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {к = 1} ^ {n} k ^ {9}}$ в первой половине содержит ошибку в последнем члене; он должен быть $- 3 20 n 2 {\ displaystyle - {\ tfrac {3} {20}} n ^ {2}}$ ${\ displaystyle - {\ tfrac {3} {20}} n ^ {2}}$ вместо $- 1 12 n 2 {\ displaystyle - {\ tfrac {1} {12}} n ^ {2}}$ ${\ displaystyle - {\ tfrac {1} {12}} n ^ {2 }}$ .

Определения

За последние 300 лет было найдено множество характеристик чисел Бернулли, и каждое из них может быть использовано для представления этих чисел. Здесь регистрируются только три из самых полезных:

рекурсивное уравнение,
явная формула,
производящая функция.

Для доказательств из трех подходов см. (Ирландия и Розен 1990) или (Конвей и Гай 1996).

Рекурсивное определение

Числа Бернулли подчиняются формулам суммы (Weisstein 2016)

∑ k = 0 m (m + 1 k) B k - = δ m, 0 ∑ К знак равно 0 м (м + 1 К) В К + знак равно м + 1 {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ binom {m + 1} {k}} B_ {k} ^ {- {}} = \ delta _ {m, 0} \\\ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ binom {m + 1} {k}} B_ {k} ^ {+ {}} = m + 1 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ binom {m + 1} {k}} B_ {k} ^ {- {}} = \ delta _ {m, 0} \\\ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ binom {m + 1} {k}} B_ {k} ^ {+ { }} = m + 1 \ end {align}}}

где $m = 0, 1, 2... {\ displaystyle m = 0,1,2...}$ ${\ displaystyle m = 0,1, 2...}$ и δ обозначает дельту Кронекера. Решение для $B m ∓ {\ displaystyle B_ {m} ^ {\ mp {}}}$ ${\ displaystyle B_ {m} ^ {\ mp {}}}$ дает рекурсивный формулы

B m - = δ m, 0 - ∑ k = 0 m - 1 (mk) B k - m - k + 1 B m + = 1 - ∑ k = 0 m - 1 (mk) B k + м - к + 1. {\ displaystyle {\ begin {align} B_ {m} ^ {- {}} = \ delta _ {m, 0} - \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} {\ binom {m} {k}} {\ frac {B_ {k} ^ {- {}}} {mk + 1}} \\ B_ {m} ^ {+} = 1- \ sum _ {k = 0 } ^ {m-1} {\ binom {m} {k}} {\ frac {B_ {k} ^ {+}} {mk + 1}}. \ end {выравнивается}}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено} B_ {m} ^ {- {}} = \ delta _ {m, 0} - \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} {\ binom {m} {k}} {\ frac {B_ {k} ^ {- {}}} {mk + 1 }} \\ B_ {m} ^ {+} = 1- \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} {\ binom {m} {k}} {\ frac {B_ {k} ^ { +}} {мк + 1}}. \ end {align}}}

Явное определение

В 1893 году Луи Заальшютц перечислил в общей сложности 38 явных формул для числа Бернулли. bers (Saalschütz 1893), обычно давая некоторые ссылки в более ранней литературе. Один из них:

B m - = ∑ k = 0 m ∑ v = 0 k (- 1) v (kv) vmk + 1 B m + = ∑ k = 0 m ∑ v = 0 k (- 1) v (кв) (v + 1) mk + 1. {\ displaystyle {\ begin {align} B_ {m} ^ {- {}} = \ sum _ {k = 0} ^ {m} \ sum _ { v = 0} ^ {k} (- 1) ^ {v} {\ binom {k} {v}} {\ frac {v ^ {m}} {k + 1}} \\ B_ {m} ^ { +} = \ sum _ {k = 0} ^ {m} \ sum _ {v = 0} ^ {k} (- 1) ^ {v} {\ binom {k} {v}} {\ frac { (v + 1) ^ {m}} {k + 1}}. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} B_ {m} ^ {- {}} = \ sum _ {k = 0} ^ {m} \ sum _ {v = 0} ^ {k} (- 1) ^ {v } {\ binom {k} {v}} {\ frac {v ^ {m}} {k + 1}} \\ B_ {m} ^ {+} = \ sum _ {k = 0} ^ {m } \ sum _ {v = 0} ^ {k} (- 1) ^ {v} {\ binom {k} {v}} {\ frac {(v + 1) ^ {m}} {k + 1} }. \ end {выравнивается}}}

Производящая функция

Экспоненциальные производящие функции равны

tet - 1 = t 2 (coth ⁡ t 2 - 1) = ∑ m = 0 ∞ Б м - ммм! т 1 - е - т знак равно т 2 (coth ⁡ т 2 + 1) знак равно ∑ м знак равно 0 ∞ Б м + т м м!. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {t} {e ^ {t} -1}} = {\ frac {t} {2}} \ left (\ operatorname {coth} {\ frac {t } {2}} - 1 \ right) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {m} ^ {- {}} t ^ {m}} {m!}} \\ {\ frac {t} {1-e ^ {- t}}} = {\ frac {t} {2}} \ left (\ operatorname {coth} {\ frac {t} {2}} + 1 \ right) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {m} ^ {+} t ^ {m}} {m!}}. \ End {выравнивается}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {t} {e ^ {t} -1}} = {\ frac {t} {2} } \ left (\ operatorname {coth} {\ frac {t} {2}} - 1 \ right) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {m} ^ {- {}} t ^ {m}} {m!}} \\ {\ frac {t} {1-e ^ {- t}}} = {\ frac {t} {2}} \ left (\ operatorname {coth} {\ frac {t} {2}} + 1 \ right) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {m} ^ {+} t ^ {m}} {m!}}. \ end {align}}}

где замена $t → - t {\ displaystyle t \ to -t}$ ${\ displaystyle t \ to -t}$ .

(обычная) производящая функция

z - 1 ψ 1 (z - 1) = ∑ м знак равно 0 ∞ В м + zm {\ displaystyle z ^ {- 1} \ psi _ {1} (z ^ {- 1}) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} B_ {m} ^ {+} z ^ {m}}

{\ displaystyle z ^ {- 1} \ psi _ {1} (z ^ {- 1}) = \ sum _ {м = 0} ^ {\ infty} B_ {m} ^ {+} z ^ {m}}

- это асимптотический ряд . Он содержит тригамма-функцию ψ1.

числа Бернулли и дзета-функцию Римана

Числа Бернулли, заданные дзета-функцию Римана.

Числа Бернулли могут быть выражены с помощью дзета-функции Римана. функция :

B. n= −nζ (1 - n) для n ≥ 1.

Здесь аргумент дзета-функции равенство 0 или отрицателен.

С помощью функционального уравнения дзета и формулы отражения гамма можно получить следующее соотношение (Arfken 1970, стр. 279):

B 2 N знак равно (- 1) N + 1 2 (2 N)! (2 π) 2 N ζ (2 n) {\ Displaystyle B_ {2n} = {\ frac {(-1) ^ {n + 1} 2 (2n)!} {(2 \ pi) ^ {2n}} } \ zeta (2n) \ quad}

{\ displaystyle B_ {2n} = {\ frac {(-1) ^ {n + 1} 2 (2n)!} {(2 \ пи) ^ {2 n }}} \ zeta (2n) \ quad}

для n ≥ 1.

Теперь аргумент дзета-функции положительный.

Тогда из ζ → 1 (n → ∞) и формулы Стирлинга следует, что

| B 2 n | ∼ 4 π N (N π e) 2 n {\ displaystyle | B_ {2n} | \ sim 4 {\ sqrt {\ pi n}} \ left ({\ frac {n} {\ pi e}} \ right) ^ {2n} \ quad}

{\ displaystyle | B_ {2n} | \ sim 4 {\ sqrt {\ pi n}} \ left ({\ frac {n} {\ pi e}} \ right) ^ {2n} \ quad}

для n → ∞.

Эффективное вычисление чисел Бернулли

В некоторых приложениях полезно использовать возможность вычислять числа Бернулли B От 0 до B p - 3 по модулю p, где p - простое число; например, чтобы проверить, верна ли гипотеза Вандивера для p, или даже просто определить, является ли p нерегулярным основным числом . Невозможно выполнить такое вычисление с приведенными выше рекурсивными формул, поскольку потребовалось бы по крайней мере (постоянное кратное) арифметических операций. К счастью, были разработаны более быстрые методы (Buhler et al. 2001), которые требуют только операций O (p (log p)) (см. нотация большого O ).

Дэвид Харви (Харви 2010) алгоритм для вычисления чисел Бернулли, вычисляя B n по модулю p для многих малых простых чисел p, а восстанавливая B n через китайскую теорему об остатках. Харви пишет, что асимптотическая временная сложность этого алгоритма составляет O (n log (n)), и утверждает, что эта реализация значительно быстрее, чем реализация, основанные на других методах. Используя эту работу, Харви вычислил B n для n = 10. Реализация Харви была включена в SageMath, начиная с версии 3.1. До этого Бернд Келлнер (Келлнер 2002) вычислил B n с полной точностью для n = 10 в декабре 2002 года, а Александр Павлык (Павлик 2008) для n = 10 с Mathematica в апреле 2008 года.

Компьютер	Год	n	Цифры *
Дж. Бернулли	~ 1689	10	1
Л. Эйлер	1748	30	8
Дж. К. Адамс	1878	62	36
Д. Э. Кнут, Т. Дж. Бакгольц	1967	1672	3330
Г. Плата, С. Plouffe	1996	10000	27677
G. Плата, С. Плафф	1996	100000	376755
Б. К. Келлнер	2002	1000000	4767529
О. Павлык	2008	10000000	57675260
Д. Харви	2008	100000000	676752569

* Цифры следует понимать как показатель степени 10, когда B n записано как действительное число в нормализованной научной записи.

Применение чисел Бернулли

Асимптотический анализ

Возможно, наиболее важным применением чисел Бернулли в математике является использование их в системе Эйлера. –Формула Маклорена. Предполагаемая, что f является достаточно часто дифференцируемой функцией формулы Эйлера - Маклорена можно записать как (Graham, Knuth Patashnik 1989, 9.67)

∑ k = ab - 1 f (k) = ∫ abf ( Икс) дх + ∑ К знак равно 1 м Б К - К! (f (k - 1) (b) - f (k - 1) (a)) + R - (f, m). {\ Displaystyle \ сумма _ {к = а} ^ {b-1} f (k) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx + \ sum _ {k = 1} ^ { m} {\ frac {B_ {k} ^ {-}} {k!}} (f ^ {(k-1)} (b) -f ^ {(k-1)} (a)) + R _ {-} (f, m).}

{\ displaystyle \ sum _ {k = a} ^ {b-1} f (k) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx + \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {B_ {k} ^ {-}} {k!}} (f ^ {(k-1)} (b) -f ^ { (к-1)} (а)) + R _ {-} (е, м).}

Эта формулировка предполагает соглашение B. 1= −1/2. Используя соглашение B. 1= +1/2, формула принимает вид

k = a + 1 b f (k) = ∫ a b f (x) d x + ∑ k = 1 m B k + k! (е (к - 1) (б) - е (к - 1) (а)) + R + (е, м). {\ Displaystyle \ сумма _ {к = а + 1} ^ {b} е (к) = \ int _ {а} ^ {b} е (х) \, dx + \ сумма _{к = 1} ^ {м} {\ frac {B_ {k} ^ {+}} {k!}} (f ^ {(k-1)} (b) -f ^ {(k-1)} (а)) + R _ {+} (f, m).}

{\ displaystyle \ sum _ {k = a + 1} ^ {b} f (k) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx + \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {B_ {k} ^ {+} } {k!}} (f ^ {(k-1)} (b) -f ^ {(k-1)} (a)) + R _ {+} (f, m).}

Здесь $f (0) = f {\ displaystyle f ^ {(0)} = f}$ ${\ displaystyle f ^ {(0)} = f}$ ( т.е. производная нулевого порядка от $f {\ displaystyle f}$ $f$ - это просто $f {\ displaystyle f}$ $f$ ). Кроме того, пусть $f (- 1) {\ displaystyle f ^ {(- 1)}}$ ${\ displaystyle f ^ {(- 1)}}$ обозначает первообразную из $f {\ displaystyle f}$ $f$ . По теореме исчисления ,

a b f (x) d x = f (- 1) (b) - f (- 1) (a). {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = f ^ {(- 1)} (b) -f ^ {(- 1)} (a).}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} е (х) \, dx = f ^ {(- 1)} (b) -f ^ {( - 1)} (а).}

Таким образом образом образом последнюю формулу можно упростить до следующей краткой формы формулы Эйлера - Маклорена

∑ k = abf (k) = ∑ k = 0 m B kk! (е (к - 1) (б) - е (к - 1) (а)) + R (е, м). {\ displaystyle \ sum _ {k = a} ^ {b} f (k) = \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ frac {B_ {k}} {k!}} (f ^ { (k-1)} (b) -f ^ {(k-1)} (a)) + R (f, m).}

{\ displaystyle \ sum _ {k = a} ^ {b} f (k) = \ sum _ { k = 0} ^ {m} {\ frac {B_ {k}} {k!}} (f ^ {(k-1)} (b) -f ^ {(k-1)} (a)) + R (f, м).}

Эта форма, например, является примером важного разложения Эйлера - Маклорена дзета-функция

ζ (s) знак равно ∑ К знак равно 0 м Б К + К! s К - 1 ¯ + R (s, м) знак равно B 0 0! s - 1 ¯ + B 1 + 1! s 0 ¯ + B 2 2! s 1 ¯ + ⋯ + R (s, m) = 1 s - 1 + 1 2 + 1 12 s + ⋯ + R (s, m). {\ displaystyle {\ begin {align} \ zeta (s) = \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ frac {B_ {k} ^ {+}} {k!}} s ^ {\ overline {k-1}} + R (s, m) \\ = {\ frac {B_ {0}} {0!}} s ^ {\ overline {-1}} + {\ frac {B_ {1))} ^ {+}} {1!}} S ^ {\ overline {0}} + {\ frac {B_ {2}} {2!}} S ^ {\ overline {1}} + \ cdots + R (s, m) \\ = {\ frac {1} {s-1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {12}} s + \ cdots + R ( с, м). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ zeta (s) = \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ frac {B_ {k} ^ {+}} {k!} } s ^ {\ overline {k-1}} + R (s, m) \\ = {\ frac {B_ {0}} {0!}} S ^ {\ overline {-1}} + {\ гидроразрыв {B_ {1} ^ {+}} {1!}} S ^ {\ overline {0}} + {\ frac {B_ {2}} {2!}} S ^ {\ overline {1}} + \ cdots + R (s, m) \\ = {\ frac {1} {s-1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {12}} s + \ cdots + R (s, m). \ End {align}}}

Здесь s обозначает возрастную факторную мощность (Graham, Knuth Patashnik 1989, 2.44 и 2.52).

Числа Бернулли также часто используются в других асимптотических разложений. Следующий пример представляет собой классическое асимптотическое разложение типа Пуанкаре дигамма-функции ψ.

ψ (z) ∼ пер Z - ∑ К знак равно 1 ∞ В к + kzk {\ displaystyle \ psi (z) \ sim \ ln z- \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {k} ^ {+}} {kz ^ {k}}}}

{\ displaystyle \ psi (z) \ sim \ ln z- \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыв {B_ {k} ^ { +}} {kz ^ {k}}}}

Сумма степеней

Числа Бернулли занимают видное место в замкнутой форме выражения m-й степени первых n натуральных чисел. Для m, n ≥ 0 определим

S m (n) = ∑ k = 1 n k m = 1 m + 2 m + ⋯ + n m. {\ displaystyle S_ {m} (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {m} = 1 ^ {m} + 2 ^ {m} + \ cdots + n ^ {m}. }

{\ displaystyle S_ {m} (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {m} = 1 ^ {m} + 2 ^ {m} + \ cdots + n ^ {m}.}

Это выражение всегда можно переписать как многочлен от степени m + 1. Коэффициенты Эти многочленов связаны с числами Бернулли по формуле Бернулли. :

S m (N) = 1 м + 1 ∑ K = 0 м (m + 1 k) B k + nm + 1 - k = m! ∑ К знак равно 0 м Б К + N м + 1 - К К! (м + 1 - к)!, {\ displaystyle S_ {m} (n) = {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ binom {m + 1} {k}} B_ { к} ^ {+} п ^ {м + 1-к} = м! \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ frac {B_ {k} ^ {+} n ^ {m + 1-k}} {k! (m + 1-k)!}},}

{\ displaystyle S_ {m} (n) = {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ binom {m + 1} {k}} B_ {k} ^ {+} n ^ {m + 1-k} = м! \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ frac {B_ {k} ^ {+} n ^ {m + 1-k}} {k! (м + 1-к)!}},}

где (. k)обозначает биномиальный коэффициент.

, размером m равным 1, получаем треугольные числа 0, 1, 3, 6,… OEIS : A000217.

1 + 2 + ⋯ + n = 1 2 (B 0 n 2 + 2 B 1 + n 1) = 1 2 (n 2 + n). {\ displaystyle 1 + 2 + \ cdots + n = {\ frac {1} {2}} (B_ {0} n ^ {2} + 2B_ {1} ^ {+} n ^ {1}) = {\ tfrac {1} {2}} (n ^ {2} + n).}

{\ displaystyle 1 + 2 + \ cdots + n = {\ frac {1} {2}} (B_ {0} n ^ {2} + 2B_ {1} ^ {+} n ^ {1}) = {\ tfrac {1} {2}} (n ^ {2} + n).}

Принятие m равным 2 дает квадратно-пирамидальные числа 0, 1, 5, 14,… OEIS : A000330.

1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 = 1 3 (B 0 n 3 + 3 B 1 + n 2 + 3 B 2 n 1) = 1 3 (n 3 + 3 2 п 2 + 1 2 п). {\ displaystyle 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + \ cdots + n ^ {2} = {\ frac {1} {3}} (B_ {0} n ^ {3} + 3B_ {1} ^ {+} n ^ {2} + 3B_ {2} n ^ {1}) = {\ tfrac {1} {3}} \ left (n ^ {3} + {\ tfrac {3} {2}} n ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} n \ right).}

{\ displaystyle 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + \ cdots + n ^ {2} = {\ frac {1)} {3}} (B_ {0} n ^ {3} + 3B_ {1} ^ {+} n ^ {2} + 3B_ {2} n ^ { 1}) = {\ tfrac {1} {3}} \ left (n ^ {3} + {\ tfrac {3} {2}} n ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} n \ right).}

Некоторые используют альтернативное соглашение для чисел Бернулли и формулируют формулу Бернулли следующим образом:

S m (n) = 1 м + 1 ∑ к знак равно 0 м (- 1) к (м + 1 к) B k - нм + 1 - k. {\ Displaystyle S_ {m} (N) = {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k} {\ binom {m + 1 } {k}} B_ {k} ^ {- {}} n ^ {m + 1-k}.}

{ \ Displaystyle S_ {m} (n) = {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k} {\ binom {m + 1} {k}} B_ {k} ^ {- {}} n ^ {m + 1-k}.}

Формулу Бернулли иногда называют формулой Фаульхабера после Иоганн Фолхабер кто также нашел замечательные вычисления степеней суммы.

Формула Фаульхабера была обобщена В. Го и Дж. Цзэном до q-аналога (Guo Zeng 2005).

Ряд Тейлора

Числа Бернулли появляются в разложении ряда Тейлора многих тригонометрических функций и гиперболических функций.

Тангенс: $загар ⁡ Икс знак равно ∑ N знак равно 1 ∞ (- 1) N - 1 2 2 N (2 2 N - 1) B 2 N (2 N)! х 2 п - 1, | х | < π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\end{aligned}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ tan x = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1} 2 ^ {2n} (2 ^ {2n} - 1) B_ {2n}} {(2n)!}} \; x ^ {2n-1}, \ left | х \ право | <{\ frac {\ pi} {2}} \\\ конец {выровнено}}}$

Котангенс: $детская кроватка ⁡ x = 1 x ∑ n = 0 ∞ (- 1) n B 2 n (2 x) 2 n (2 n)!, 0 < | x | < π. {\displaystyle {\begin{aligned}\cot x{}={\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},\qquad 0<|x|<\pi.\end{aligned}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ cot x {} = {\ frac {1} {x}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} B_ {2n} (2x) ^ {2n}} {(2n)!}}, \ Qquad 0 <| х | <\ пи. \ End {align}}}$

Гиперболический тангенс: $tanh ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ 2 2 n (2 2 n - 1) B 2 n (2 n)! х 2 п - 1, | х | < π 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ tanh x = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n} (2 ^ {2n} -1) B_ {2n}} {(2n)! }} \; x ^ {2n-1}, | х | <{\ frac {\ pi} {2}}. \ end {align}}}$

Гиперболический котангенс: $coth ⁡ x = 1 x ∑ n = 0 ∞ B 2 n (2 x) 2 n (2 n)!, 0 < | x | < π. {\displaystyle {\begin{aligned}\coth x{}={\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},\qquad \qquad 0<|x|<\pi.\end{aligned}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ coth x {} = {\ frac {1} {x}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } {\ frac {B_ {2n} (2x) ^ {2n}} {(2n)!}}, \ qquad \ qquad 0 <| х | <\ пи. \ end {выравнивается}}}$

серия Лорана

Числа Бернулли появились в следующих сериях Лорана (Арфкен 1970, стр. 463):

Функция дигаммы : $ψ (z) знак равно пер Z - ∑ К знак равно 1 ∞ В к + kzk {\ displaystyle \ psi (z) = \ ln z- \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {k} ^ {+ {}}} {kz ^ {k}}}}$ ${\ displaystyle \ psi (z) = \ ln z- \ sum _ {k = 1} ^ { \ infty} {\ гидроразрыв {B_ {k} ^ {+ {}}} {kz ^ {k}}}}$

Использование в топологии

Для порядка циклической группы классов диффеоморфизмов экзотические (4n - 1) - сферы, которые ограничивают параллелизованные многообразия, содержат числа Бернулли. Пусть ES n - количество таких экзотических сфер для n ≥ 2, тогда

ES n = (2 2 n - 2 - 2 4 n - 3) Числитель ⁡ (B 4 n 4 n). {\ displaystyle {\ textit {ES}} _ {n} = (2 ^ {2n-2} -2 ^ {4n-3}) \ operatorname {Numerator} \ left ({\ frac {B_ {4n}} { 4n}} \ right).}

{\ displaystyle {\ textit {ES}} _ {n} = (2 ^ {2n-2} -2 ^ {4n-3}) \ operatorname {Numerator} \ left ({\ frac {B_ {4n }} {4n}} \ right).}

Сигнатурная теорема Хирцебруха для L рода гладкой ориентированной замкнутое многообразие размерности 4n также включает число Бернулли.

Связь с комбинаторными числами

Связь числа Бернулли с различными видами комбинаторных основ на классической теории конечных разностей и на комбинаторной интерпретации чисел Бернулли как пример фундаментальный комбинаторный принцип, принцип включения-исключения.

Связь с числами Ворпицки

Определение, к которому следует приступить, было развито Юлиусом Ворпицки в 1883 году. Помимо элементарной арифметики, только факториальная функция! и используется степенная функция k. Беззнаковые числа Ворпицки определяют как

W n, k = ∑ v = 0 k (- 1) v + k (v + 1) n k! v! (к - в)!. {\ Displaystyle W_ {п, к} = \ сумма _ {v = 0} ^ {k} (- 1) ^ {v + k} (v + 1) ^ {n} {\ frac {k!} {V ! (kv)!}}.}

{\ displaystyle W_ {n, k} = \ sum _ {v = 0} ^ {k} (- 1) ^ {v + k} (v + 1) ^ {n } {\ frac {k!} {v! (кв)!}}.}

Их также можно выразить через числа Стирлинга второго рода

W n, k = k! {n + 1 k + 1}. {\ displaystyle W_ {n, k} = k! \ left \ {{n + 1 \ attop k + 1} \ right \}.}

W_ {n, k} = k! \ left \ {{n + 1 \ на вершине k + 1} \ right \}.

Затем вводится число Бернулли как сумма включения-исключения чисел Ворпицки взвешенной гармонической последовательности 1, 1/2, 1 / 3,…

B n = ∑ k = 0 n (- 1) k W n, kk + 1 = ∑ k = 0 n 1 к + 1 ∑ v знак равно 0 к (- 1) v (v + 1) п (кв). {\ displaystyle B_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ frac {W_ {n, k}} {k + 1}} \ = \ \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {1} {k + 1}} \ sum _ {v = 0} ^ {k} (- 1) ^ {v} (v + 1) ^ {n } {k \ choose v} \.}

{\ displaystyle B_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ frac {W_ {n, k}} {k + 1}} \ = \ \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {1} { k + 1}} \ sum _ {v = 0} ^ {k} (- 1) ^ {v} (v + 1) ^ {n} {k \ choose v} \.}

B0= 1

B1= 1 - 1/2

B2= 1 - 3/2 + 2/3

B3= 1 - 7/2 + 12/3 - 6/4

B4= 1 - 15/2 + 50/3 - 60/4 + 24/5

B5= 1 - 31/2 + 180/3 - 390/4 + 360/5 - 120/6

B6= 1 - 63/2 + 602/3 - 2100/4 + 3360/5 - 2520/6 + 720/7

В этом представлении B. 1= +1/2.

Рассмотрим последовательность s n, n ≥ 0. Из чисел Ворпицки OEIS : A028246, OEIS : A163626 имеет к s 0, s 0, s 1, s 0, s 1, s 2, s 0, s 1, s 2, s 3,… идентично преобразованию Акияма-Танигава, примененному к s n (см. Связь с числами Стирлинга первого рода ). Это можно увидеть в таблице:

Идентичность представлений. Ворпицки и преобразования Акияма-Танигава
1					0	1				0	0	1			0	0	0	1		0	0	0	0	1
1	−1				0	2	−2			0	0	3	−3		0	0	0	4	−4
1	−3	2			0	4	−10	6		0	0	9	−21	12
1	−7	12	−6		0	8	−38	54	−24
1	−15	50	−60	24

Первая строка представляет s 0, s 1, s 2, s 3, s 4.

Следовательно, для второго дробных чисел Эйлера OEIS : A198631 (n) / OEIS : A006519 (n + 1):

E0= 1

E1= 1 - 1/2

E2= 1 - 3/2 + 2/4

E3= 1 - 7/2 + 12/4 - 6/8

E4= 1 - 15/2 + 50/4 - 60/8 + 24/16

E5= 1 - 31/2 + 180/4 - 390/8 + 360/16 - 120/32

E6= 1 - 63/2 + 602/4 - 2100/8 + 3360/16 - 2520/32 + 720/64

Вторая формула, представляющая числа Бернулли числами Ворпицки, предназначенная для n ≥ 1

B n = n 2 n + 1-2 k = 0 n - 1 (- 2) - к Вт н - 1, к. {\ displaystyle B_ {n} = {\ frac {n} {2 ^ {n + 1} -2}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} (- 2) ^ {- k} \, W_ {n-1, k}.}

{\ displaystyle B_ {n} = {\ frac {n} {2 ^ {n + 1} -2}} \ sum _ { к = 0} ^ {n-1} (- 2) ^ {- k} \, W_ {n-1, k}.}

Упрощенное второе представление Ворпицкого Второго чисел Бернулли:

OEIS : A164555 (n + 1) / OEIS : A027642 (n + 1) = n + 1/2 - 2 × OEIS : A198631 (n) / OEIS : A006519 (n + 1)

, который связывает вторые числа Бернулли со вторыми дробными числами Эйлера. Начало:

1/2, 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42,… = (1/2, 1/3, 3/14, 2/15, 5/62, 1 / 21,…) × (1, 1/2, 0, −1/4, 0, 1/2,…)

Числители скобок: OEIS : A111701 (см. Связь с числами Стирлинга первого рода ).

Связь с числами Стирлинга второго

Если S (k, m) обозначает числа Стирлинга второго рода (Comtet 1974) тогда имеем:

jk = ∑ м знак равно 0 kjm _ S (к, м) {\ displaystyle j ^ {k} = \ sum _ {m = 0} ^ {k} {j ^ {\ underline {m}}} S ( k, m)}

{\ displaystyle j ^ {k} = \ sum _ {m = 0} ^ {k} {j ^ { \ underline {m}}} S (k, m)}

где j обозначает падающий факториал.

Если определить полиномы Бернулли Bk(j) как (Rademacher 1973):

B k ( j) знак равно k ∑ m знак равно 0 k - 1 (jm + 1) S (k - 1, m) m! + В К {\ Displaystyle В_ {к} (J) = к \ сумма _ {м = 0} ^ {к-1} {\ binom {j} {м + 1}} S (к-1, м) м ! + B_ {k}}

{\ displaystyle B_ {k} (j) = k \ sum _ {m = 0} ^ {k-1} {\ binom {j} {m + 1}} S (k-1, м) м! + B_ {k}}

где B k для k = 0, 1, 2,… - число Бернулли.

Тогда после следующих свойств биномиального коэффициента :

(jm) = (j + 1 m + 1) - (jm + 1) {\ displaystyle {\ binom {j} {m}} = {\ binom {j + 1} {m + 1}} - {\ binom {j} {m + 1}}}

{\ displaystyle {\ binom {j} {m}} = {\ binom {j + 1 } {m + 1}} - {\ binom {j} {m + 1}}}

один имеет,

jk = B k + 1 (j + 1) - B к + 1 (j) к + 1. {\ displaystyle j ^ {k} = {\ frac {B_ {k + 1} (j + 1) -B_ {k + 1} (j)} {k + 1} }.}

{\ displaystyle j ^ {k} = {\ frac {B_ {k + 1} (j + 1) -B_ {k + 1} (j)} {k + 1}}.}

Также есть следующее для полиномов Бернулли (Rademacher 1973),

B k (j) = ∑ n = 0 k (kn) B njk - n. {\ displaystyle B_ {k} (j) = \ sum _ {n = 0} ^ {k} {\ binom {k} {n}} B_ {n} j ^ {kn}.}

{\ displaystyle B_ {k} (j) = \ sum _ {n = 0} ^ {k} {\ binom {k} {n}} B_ {n} j ^ {kn}.}

Коэффициент при j в (. m + 1)равно (−1) / m + 1.

Сравнивая коэффициент при j в двух выражениях полиномов Бернулли, мы получаем:

B k = ∑ m = 0 k (- 1) мм! м + 1 S (к, м) {\ displaystyle B_ {k} = \ sum _ {m = 0} ^ {k} (- 1) ^ {m} {\ frac {m!} {m + 1}} S (k, m)}

{\ displaystyle B_ {k} = \ sum _ {m = 0} ^ {k} (-1) ^ {m} {\ frac {m! } {M + 1}} S (k, m)}

(в результате получается B 1 = +1/2), которая является явной формулой для чисел Бернулли и может обозначить доказательства теоремы Фон-Штаудта Клаузена (Лог 1880 ; Гулд 1972 ; Апостол, стр. 197).

Связь с числами Стирлинга первого рода

Две основные формулы, связывающие беззнаковые числа Стирлинга первого рода [. m]с числами Бернулли (с B 1 = +1 / 2) равны

1 м! ∑ К знак равно 0 м (- 1) К [м + 1 К + 1] В К = 1 м + 1, {\ Displaystyle {\ frac {1} {м!}} \ Sum _ {k = 0} ^ { m} (- 1) ^ {k} \ left [{m + 1 \ atop k + 1} \ right] B_ {k} = {\ frac {1} {m + 1}},}

\ frac {1} {m!} \ Sum_ {k = 0} ^ m (-1) ^ {k} \ left [{m + 1 \ поверх k + 1} \ right] B_k = \ frac {1} {m + 1},

и обращение этой суммы (при n ≥ 0, m ≥ 0)

1 m! ∑ k = 0 m (- 1) k [m + 1 k + 1] B n + k = A n, m. {\ displaystyle {\ frac {1} {m!}} \ sum _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k} \ left [{m + 1 \ attop k + 1} \ right] B_ {n + k} = A_ {n, m}.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {m!}} \ Sum _ {k = 0} ^ {m} (-1) ^ {k} \ влево [{m + 1 \ на k + 1} \ right] B_ {n + k} = A_ {n, m}.}

Здесь числа A n, m - это рациональные числа Акияма – Танигава, первые несколько из которых показаны в следующей таблице.

Число Акияма – Танигава
mn	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/3	1/4	1/5
1	1/2	1/3	1/4	1/5	…
2	1/6	1/6	3/20	…	…
3	0	1/30	…	…	…
4	−1/30	…	…	…	…

Числа Акиямы – Танигавы удовлетворяют простому рекуррентному соотношению, которое можно использовать для итеративного вычисления чисел Бернулли. Это приводит к алгоритму, показанному в разделе «алгоритмическое описание» выше. См. OEIS : A051714 / OEIS : A051715.

Автопоследовательность - это последовательность, обратное биномиальное преобразование которой равно подписанной последовательности. Если главная диагональ нули = OEIS : A000004, автопоследовательность относится к первому виду. Пример: OEIS : A000045, числа Фибоначчи. Если главная диагональ - это первая верхняя диагональ, умноженная на 2, это второй вид. Пример: OEIS : A164555 / OEIS : A027642, вторые числа Бернулли (см. OEIS : A190339 ). Преобразование Акияма-Танигава, примененное к 2 = 1 / OEIS : A000079, приводит к OEIS : A198631 (n) / OEIS : A06519 (n + 1). Следовательно:

преобразование Акияма – Танигава для вторых чисел Эйлера
mn	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/4	1/8	1/16
1	1/2	1/2	3/8	1/4	…
2	0	1/4	3/8	…	…
3	-1 / 4	-1/4	…	…	…
4	0	…	…	…	…

См. OEIS : A209308 и OEIS : A227577. OEIS : A198631 (n) / OEIS : A006519 (n + 1) - вторые (дробные) числа Эйлера и автопоследовательность второго рода.

(OEIS : A164555 (n + 2) / OEIS : A027642 (n + 2) = 1/6, 0, −1 / 30, 0, 1/42,…) × (2 - 2 / n + 2 = 3, 14/3, 15/2, 62/5, 21,…) = OEIS : A198631 (n + 1) / OEIS : A006519 (n + 2) = 1/2, 0, −1/4, 0, 1/2,….

Также ценно для OEIS : A027641 / OEIS : A027642 (см. Связь с числами Ворпицки ).

Связь с треугольником Паскаля

Существуют формулы, соединяющие треугольник Паскаля с числами Бернулли

B n + = | A n | (п + 1)! {\ displaystyle B_ {n} ^ {+} = {\ frac {| A_ {n} |} {(n + 1)!}} ~~~}

{\ displaystyle B_ {n} ^ {+} = {\ frac {| A_ {n} |} {(n + 1)!}} ~~~}

где $| A n | {\ displaystyle | A_ {n} |}$ ${\ displaystyle | A_ {n} |}$ - это определитель квадратной матричной части треугольника Паскаля размером n на n, элементы которой: $ai, k = {0, если k>1 + я (я + 1 к - 1) в противном случае {\ displaystyle a_ {i, k} = {\ begin {cases} 0 {\ text {if}} k>1 + i \\ {i + 1 \ choose k-1 } {\ text {else}} \ end {cases}}}$ $a_{i,k}={\begin{cases}0{\text{if }}k>1 + i \\ {i + 1 \ choose k-1} {\ text {else}} \ end {cases} }$

Пример:

B 6 + = det (1 2 0 0 0 0 1 3 3 0 0 0 1 4 6 4 0 0 1 5 10 10 5 0 1 6 15 20 15 6 1 7 21 35 35 21) 7! = 120 5040 = 1 42 {\ Displaystyle B_ {6} ^ {+} = {\ frac {\ det {\ begin {pmatrix} 1 2 0 0 0 0 \\ 1 3 3 0 0 0 \\ 1 4 6 4 0 0 \\ 1 5 10 10 5 0 \\ 1 6 15 20 15 6 \\ 1 7 21 35 amp; 120} {5040}} = {\ frac {1} {42}}}

{\ displaystyle B_ {6} ^ {+} = {\ frac {\ det {\ begin {pmatrix) } 1 2 0 0 0 0 \\ 1 3 3 0 0 0 \\ 1 4 6 4 0 0 \\ 1 5 10 10 5 0 \\ 1 6 15 20 15 21 amp; = {\ frac {120} {5040}} = {\ frac {1} {42}}}

Связь с числами Эйлера

Существуют формулы, связывающие числа Эйлера ⟨. m⟩с числами Б ернулли:

∑ m = 0 n (- 1) m ⟨nm⟩ = 2 n + 1 (2 n + 1 - 1) B n + 1 n + 1, ∑ m = 0 n (- 1) m ⟨ нм⟩ (нм) - 1 = (n + 1) B n. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {m = 0} ^ {n} (- 1) ^ {m} \ left \ langle {n \ atop m} \ right \ rangle = 2 ^ {n + 1} (2 ^ {n + 1} -1) {\ frac {B_ {n + 1}} {n + 1}}, \\\ сумма _ {m = 0} ^ {n} (- 1) ^ {m} \ left \ langle {n \ attop m} \ right \ rangle {\ binom {n} {m}} ^ {- 1} = (n + 1) B_ {n}. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {m = 0} ^ {n} (- 1) ^ {m} \ left \ langle {n \ atop m} \ right \ rangle = 2 ^ {n + 1} (2 ^ { n + 1} -1) {\ frac {B_ {n + 1}} {n + 1}}, \\\ sum _ {m = 0} ^ {n} (- 1) ^ {m} \ left \ langle {n \ atop m} \ right \ rangle {\ binom {n} {m}} ^ {- 1} = (n + 1) B_ {n}. \ end {align}}}

Обе формулы действительны для n ≥ 0, если B 1 установлен на 1/2. Если B 1 установлен на -1/2, они действительны только для n ≥ 1 и n ≥ 2 соответственно.

Представление двоичного дерева

Многочлены Стирлинга σ n (x) связаны с числами Бернулли сословием B n = n! Σ п (1). SC Woon (Woon 1997) описал алгоритм вычислений σ n (1) в виде двоичного дерева:

Рекурсивный алгоритм Вуна (для n ≥ 1) начинается с присвоения корневого узлу N = [1,2]. Дан узел N = [a 1, a 2,…, a k ] дерево, левым дочерним узлом Элемент является L (N) = [−a 1, a 2 + 1, a 3,…, a k ] и правый дочерний элементний R (N) = [a 1, 2, a 2,…, a k ]. Узел N = [a 1, a 2,…, a k ] записывается как ± [a 2,…, a k ] в начальной части дерева, представленного выше, где ± обозначает знак a 1.

Для данного узла N факториал N определяется как

N! = а 1 ∏ к = 2 длина ⁡ (Н) а к!. {\ displaystyle N! = a_ {1} \ prod _ {k = 2} ^ {\ operatorname {length} (N)} a_ {k} !.}

{\ displaystyle N! = а_ {1} \ prod _ {k = 2} ^ {\ oper atorname {длина} (N)} a_ {k}!.}

Ограничено узлами N фиксированного уровня дерева в сумме 1 / N! является σ n (1), таким образом,

B n = ∑ узел n N уровня дерева n! N!. {\ displaystyle B_ {n} = \ sum _ {\ stackrel {N {\ text {node of}}} {{\ text {tree-level}} n}} {\ frac {n!} {N!}}.}

{\ displaystyle B_ { n} = \ сумма _ {\ стек rel {N {\ text {узел}}} {{\ text {tree-level}} n}} {\ frac {n!} {N!}}.}

Например:

B1= 1! (1/2!)

B2= 2! (- 1/3! + 1/2! 2!)

B3= 3! (1/4! - 1/2! 3! - 1/3! 2! + 1/2! 2! 2!)

Интегральное представление и продолжение

Интеграл

b (s) Знак равно 2 esi π / 2 ∫ 0 ∞ sts 1 - e 2 π tdtt {\ displaystyle b (s) = 2e ^ {si \ pi / 2} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {st ^ {s}} {1-e ^ {2 \ pi t}}} {\ frac {dt} {t}}}

{\ displaystyle b (s) = 2e ^ {si \ pi / 2} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ fra c {st ^ {s}} {1-e ^ { 2 \ pi t}}} {\ frac {dt} {t}}}

имеет специальные значения b (2n) = B 2n для п>0.

Например, b (3) = 3 / 2ζ (3) πi и b (5) = −15 / 2ζ (5) πi. Здесь ζ - дзета-функция Римана, а i - мнимая единица. Леонард Эйлер (Opera Omnia, Ser. 1, Vol. 10, p. 351) рассмотрел эти числа и вычислил

p = 3 2 π 3 (1 + 1 2 3 + 1 3 3 + ⋯) = 0,0581522… q = 15 2 π 5 (1 + 1 2 5 + 1 3 5 + ⋯) = 0,0254132… {\ displaystyle {\ begin {align} p = {\ frac {3} {2 \ pi ^ {3} }} \ left (1 + {\ frac {1} {2 ^ {3}}} + {\ frac {1} {3 ^ {3}}} + \ cdots \ right) = 0,0581522 \ ldots \\ q = {\ frac {15} {2 \ pi ^ {5}}} \ left (1 + {\ frac {1} {2 ^ {5}}} + {\ frac {1} {3 ^ {5 }}} + \ cdots \ right) = 0,0254132 \ ldots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} p = {\ frac {3} {2 \ pi ^ {3}}} \ left (1 + {\ frac {1} {2 ^ {3}}} + {\ frac { 1} {3 ^ {3}}} + \ cdots \ right) = 0,0581522 \ ldots \\ q = {\ frac {15} {2 \ pi ^ {5}}} \ left (1 + {\ frac {1} {2 ^ {5}}} + {\ frac {1} {3 ^ {5}}} + \ cdots \ right) = 0,0254132 \ ldots \ end {align}}}

Связь с числами Эйлера и π

Числа Эйлера представляют собой последовательность целых чисел, связанном с числом Бернулли. Сравнение асимптотических разложений чисел Бернулли и Эйлера показывает, что числа Эйлера E 2n по величине примерно в 2 / π (4–2) раза больше, чем числа Бернулли B 2n. Следовательно:

π ∼ 2 (2 2 n - 4 2 n) B 2 n E 2 n. {\ displaystyle \ pi \ sim 2 (2 ^ {2n} -4 ^ {2n}) {\ frac {B_ {2n}} {E_ {2n}}}.}

{\ displaystyle \ pi \ sim 2 (2 ^ {2n} -4 ^ {2n}) {\ frac {B_ {2n}} {E_ {2n}}}.}

Это асимптотическое уравнение показывает, что π лежит в общий корень чисел Бернулли и Эйлера. Фактически, π может быть вычислено из этих рациональных приближений.

Числа Бернулли можно выразить через числа Эйлера и наоборот. Для нечетного n B n = E n = 0 (за исключением B 1), достаточно рассмотреть, когда n четно.

B n = ∑ k = 0 n - 1 (n - 1 k) n 4 n - 2 n E kn = 2, 4, 6,… E n = ∑ k = 1 n (nk - 1) 2 k - 4 kk B kn = 2, 4, 6,… {\ displaystyle {\ begin {align} B_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {\ binom {n-1} {k}} {\ frac {n} {4 ^ {n} -2 ^ {n}}} E_ {k} n = 2,4,6, \ ldots \\ E_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ binom {n} {k-1}} {\ frac {2 ^ {k} -4 ^ {k}} {k}} B_ {k} n = 2,4, 6, \ ldots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} B_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n -1} {\ binom {n-1} {k}} {\ frac {n} {4 ^ {n} -2 ^ {n}}} E_ {k} n = 2,4,6, \ ldots \\ E_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ binom {n} {k-1}} {\ frac {2 ^ {k} -4 ^ {k}} { k}} B_ {k} n = 2,4,6, \ ldots \ end {align}}}

Эти формулы преобразования выражают обратную связь между числами Бернулли и числами Эйлера. Но что более важно, есть глубокий арифметический корень, общий для обоих видов чисел, который может быть выражен через более фундаментальную последовательность чисел, также связанный с π. Эти числовые числа для n>1 как

S n = 2 (2 π) n ∑ k = - ∞ ∞ (4 k + 1) - nk = 0, - 1, 1, - 2, 2,… {\ стиль отображения S_ {n} = 2 \ left ({\ frac {2} {\ pi}} \ right) ^ {n} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (4k + 1) ^ { -n} \ qquad k = 0, -1,1, -2,2, \ ldots}

{\ displaystyle S_ {n} = 2 \ left ( {\ frac {2} {\ pi}} \ right) ^ {n} \ sum _ {к = - \ infty} ^ {\ infty} (4k + 1) ^ {- n} \ qquad k = 0, - 1,1, -2,2, \ ldots}

и S 1 = 1 условно (Elkies 2003). Магия этих чисел заключается в том, что они оказываются рациональными числами. Впервые это было доказано Леонардом Эйлером в знаменательной статье (Euler 1735) «De summis serierum reciprocarum» (О суммах рядов обратных величин) и с тех пор очаровывает математиков. Первые несколько из этих чисел:

S n = 1, 1, 1 2, 1 3, 5 24, 2 15, 61 720, 17 315, 277 8064, 62 2835,… {\ displaystyle S_ {n} = 1, 1, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {5} {24}}, {\ frac {2} {15}}, {\ frac {61} {720}}, {\ frac {17} {315}}, {\ frac {277} {8064}}, {\ frac {62} {2835}}, \ ldots}

S_n = 1,1, \ frac {1} {2}, \ frac {1} {3}, \ frac {5} {24}, \ frac { 2} {15}, \ frac {61} {720}, \ frac {17} {315}, \ frac {277} {8064}, \ frac {62} {2835}, \ ldots

(OEIS : A099612 / OEIS : A099617 )

Это коэффициенты в разложении sec x + tan x.

Числа Бернулли и числа Эйлера лучше понимать как особые виды этих чисел, выбранные из следующих S n и масштабированные для использования в специальных приложениях.

B n = (- 1) ⌊ n 2 ⌋ [n даже] n! 2 n - 4 n S n, n = 2, 3,… E n = (- 1) ⌊ n 2 ⌋ [n даже] n! S n + 1 n = 0, 1,… {\ displaystyle {\ begin {align} B_ {n} = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor } [n {\ text {even}}] {\ frac {n!} {2 ^ {n} -4 ^ {n}}} \, S_ {n} \, n = 2,3, \ ldots \\ E_ {n} = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} [n {\ text {even}}] n! \, S_ {n + 1} n = 0,1, \ ldots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} B_ {n } = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} [n {\ text {even}}] {\ frac {n!} {2 ^ {n } -4 ^ {n}}} \, S_ {n} \, n = 2,3, \ ldots \\ E_ {n} = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n } {2}} \ right \ rfloor} [n {\ text {even}}] n! \, S_ {n + 1} n = 0,1, \ ldots \ end {выровнено}}}

Выражение [n even] имеет значение 1, если n четно, и 0 в случае потери (скобка Айверсона ).

Эти тождества показывают, что частное число Бернулли и Эйлера в начале этого раздела является просто частным случаем R n = 2S n/Sn + 1, когда n даже. R n являются рациональными приближениями к π, и два последовательных члена всегда включают истинное значение π. Начало с n = 1, последовательность начинается (OEIS : A132049 / OEIS : A132050 ):

2, 4, 3, 16 5, 25 8, 192 61, 427 136, 4352 1385, 12465 3968, 158720 50521,… ⟶ π. {\ displaystyle 2,4,3, {\ frac {16} {5}}, {\ frac {25} {8}}, {\ frac {192} {61}}, {\ frac {427} {136 }}, {\ frac {4352} {1385}}, {\ frac {12465} {3968}}, {\ frac {158720} {50521}}, \ ldots \ quad \ longrightarrow \ pi.}

2, 4, 3, \ fr ac {16} {5}, \ frac {25} {8}, \ frac {192 } {61}, \ frac {427} {136}, \ frac {4352} {1385}, \ frac {12465} {3968}, \ frac {158720} {50521}, \ ldots \ quad \ longrightarrow \ pi.

Эти рациональные числа также появляются в последнем абзаце цитированной статьи Эйлера.

Рассмотрим преобразование Акиямы-Танигавы для отслеживания OEIS : A046978 (n + 2) / OEIS : A016116 ( n + 1):

0	1	1/2	0	−1/4	−1/4	−1/8	0
1	1/2	1	3/4	0	−5/8	−3/4
2	−1/2	1/2	9/4	5 / 2	5/8
3	−1	−7/2	−3/4	15/2
4	5/2	−11 / 2	−99/4
5	8	77/2
6	−61/2

Начало со второго, числители первого столбца являются знаменателями формулы Эйлера. Первый столбец - -1/2 × OEIS : A163982.

Алгоритмическое представление: треугольник Зейделя

Последовательность S n имеет еще одно неожиданное но важное свойство : знаменатели S n делят факториал (n - 1)!. Другими словами: числа T n = S n (n - 1)!, Иногда называемые числами зигзага Эйлера, являются целыми числами.

T n = 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792,… n = 0, 1, 2, 3,… {\ displaystyle T_ {n} = 1, \, 1, \, 1, \, 2, \, 5, \, 16, \, 61, \, 272, \, 1385, \, 7936, \, 50521, \, 353792, \ ldots \ quad n = 0,1,2,3, \ ldots}

{\ displaystyle T_ {n} = 1, \, 1, \, 1, \, 2, \, 5, \, 16, \, 61, \, 272, \, 1385, \, 7936, \, 50521, \, 353792, \ ldots \ quad n = 0,1,2,3, \ ldots}

(OEIS : A000111 ). См. (OEIS : A253671 ).

Таким образом, приведенные выше представления чисел Бернулли и Эйлера могут быть переписаны в терминах этой последовательности как

B n = (- 1) ⌊ n 2 ⌋ [n четный] n 2 n - 4 n T n - 1 n = 2, 3,… E n = (- 1) ⌊ n 2 ⌋ [n четный] T n + 1 n = 0, 1,… {\ displaystyle {\ begin {align} B_ {n} = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} [n {\ text {even}}] {\ frac {n } {2 ^ {n} -4 ^ {n}}} \, T_ {n-1} \ n = 2,3, \ ldots \\ E_ {n} = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} [n {\ text {even}}] T_ {n + 1} n = 0,1, \ ldots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} B_ {n} = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} [n {\ text {even}}] {\ frac {n} {2 ^ {n} -4 ^ {n}}} \, T_ {n-1} \ n = 2,3, \ ldots \\ E_ {n} = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} [n {\ text {even}}] T_ {n + 1 } n = 0,1, \ ldots \ end {align}}}

Эти тождества упрощают вычисление чисел Бернулли и Эйлера: сразу числа Эйлера E n задаются T 2n + 1, а числа Бернулли B 2n определяются из T 2n путем некоторого простого сдвига, рациональной рациональной арифметики.

Остается найти удобный способ вычисления чисел T n. Уже в 1877 г. опубликовал Людви г фон Зайдель (Зайдель 1877) гениальный алгоритм, который упрощает вычисление T n.

1 → 1 1 2 2 1 ← → 2 4 5 5 16 16 14 10 5 ← {\ displaystyle {\ begin {array} {crrrcc} {} {} {\ color {красный} 1} {} {} {} \\ {} {\ rightarrow} {\ color {blue} 1} { \ color {red} 1} {} \\ {} {\ color {red} 2} {\ color {blue} 2} {\ color {blue} 1} {\ leftarrow} \\ {\ rightarrow} {\ color {blue} 2} {\ color {blue} 4} {\ color {blue} 5} {\ color {red} 5} \\ {\ color {red} 16} { \ color {blue} 16} {\ color {blue} 14} {\ color {blue} 10} {\ color {blue} 5} {\ leftarrow} \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {crrrcc} {} {} {\ color {красный} 1} {} {} {} \\ {} {\ rightarrow} {\ color {blue} 1} {\ color {red} 1} {} \\ {} {\ color { красный} 2} {\ color {blue} 2} {\ color {blue} 1} {\ leftarrow} \\ {\ rightarrow} {\ color {blue} 2} {\ color {blue} 4 } {\ color {blue} 5} {\ color {red} 5} \\ {\ color {red} 16} {\ color {blue} 16} {\ color {blue} 14} {\ цвет {синий} 10} {\ цвет {синий} 5} {\ leftarrow} \ end {array}}}

Алгоритм Зейделя для T n

Начните с размещения 1 в строке 0 и пусть k обозначает номер строки, которая в данный момент заполняется
Если k нечетное, то поместите число на левый конец строки k - 1 в первую позицию строки k и заполните строку слева направо, где каждая запись представляет собой сумму числа слева и сверху
В конце строки прод. ублируйте последнее число.
Если к четно, действуйте аналогично в другом направлении.

На самом деле алгоритм является гораздо более общим (см. Описание Доминика Дюмона (Дюмон 1981)) и имел несколько раз переоткрывался.

Подобно подходу Зайделя, DE Knuth и TJ Buckholtz (Knuth Buckholtz 1967) дали рекуррентное уравнение для чисел T 2n и рекомендовали этот метод для вычисления B 2n и E 2n «на электронных компьютерах, использующих только простые операции с целыми числами».

В. И. Арнольд заново создал алгоритм Зейделя в (Arnold 1991), а позже Миллар, Слоан и Янг популяризировали алгоритм Зайделя под названием преобразование бустрофедона.

Треугольная форма:

						1
					1		1
				2		2		1
			2		4		5		5
		16		16		14		10		5
	16		32		46		56		61		61
272		272		256		224		178		122		61

Только OEIS : A000657 с одной 1 и OEIS : A214267, с двумя единицами, находятся в OEIS.

Распределение с дополнительной 1 и одним 0 в следующих строках:

						1
					0		1
				−1		−1		0
			0		−1		−2		−2
		5		5		4		2		0
	0		5		10		14		16		16
−61		−61		−56		−46		−32		−16		0

Это OEIS : A239005, подписанная версия OEIS : A008280. Основной диагональ - OEIS : A122045. Основной диагональ - OEIS : A155585. Центральная колонка - OEIS : A099023. Суммы строк: 1, 1, −2, −5, 16, 61…. См. OEIS : A163747. См. Массив, начинающийся с 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 ниже.

Алгоритм Акияма-Танигава, примененный к OEIS : A046978 (n + 1) / OEIS : A016116 ( n) дает:

1	1	1/2	0	−1/4	−1/4	−1/8
0	1	3/2	1	0	−3/4
−1	−1	3/2	4	15/4
0	−5	−15/2	1
5	5	−51/2
0	61
−61

1.Первый столбец: OEIS : A122045. Его биномиальное преобразование приводит к:

1	1	0	−2	0	16	0
0	−1	−2	2	16	-16
−1	−1	4	14	-32
0	5	10	-46
5	5	-56
0	-61
-61

Первая строка этого массива - OEIS : A155585. Абсолютные значения нарастающих антидиагоналей равны OEIS : A008280. Сумма антидиагоналей - OEIS : A163747 (n + 1).

2.Второй столбец: 1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385…. Его биномиальное преобразование дает:

1	2	2	−4	−16	32	272
1	0	−6	−12	48	240
−1	−6	−6	60	192
−5	0	66	32
5	66	66
61	0
−61

Первая строка этого ряда 1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584…. Абсолютные значения второго деления пополам - это удвоение абсолютных значений первого деления пополам.

Рассмотрим алгоритм Акияма-Танигава, примененный к OEIS : A046978 (n) / (OEIS : A158780 ( n + 1) = абс (OEIS : A117575 (n)) + 1 = 1, 2, 2, 3/2, 1, 3/4, 3/4, 7 / 8, 1, 17/16, 17/16, 33/32….

1	2	2	3/2	1	3/4	3/4
−1	0	3/2	2	5 / 4	0
−1	−3	−3/2	3	25/4
2	−3	−27/2	−13
5	21	−3/2
−16	45
−61

Первый столбец с абсолютными значениями OEIS : A000111 может быть числителем тригонометрической функции.

OEIS : A163747 - автопоследовательность первого типа (главный диагональ OEIS : A000004 ). Соответствующий массив:

0	−1	−1	2	5	−16	−61
−1	0	3	3	−21	−45
1	3	0	−24	−24
2	−3	−24	0
−5	−21	24
−16	45
−61

Первые две верхние диагонали равны −1 3 −24 402… = (−1) × OEIS : A002832. Сумма антидиагоналей равно 0 −2 0 10… = 2 × OEIS : A122045 (n + 1).

−OE IS : A163982 - это автопоследовательность второго типа, OEIS : A164555 / OEIS : A027642. Следовательно, массив:

2	1	−1	−2	5	16	−61
−1	−2	−1	7	11	−77
−1	1	8	4	−88
2	7	−4	−92
5	−11	−88
−16	−77
−61

Главная диагональ, здесь 2 −2 8 −92…, является двойной верхней диагонали, здесь OEIS : A099023. Сумма антидиагоналей равна 2 0 −4 0… = 2 × OEIS : A155585 (n + 1). OEIS : A163747 - OEIS : A163982 = 2 × OEIS : A122045.

A комбинаторный взгляд: чередующиеся перестановки

Примерно в 1880 году, через три года после публикации алгоритма Зейделя, Дезире Андре доказал теперь классический результат комбинаторного анализа (André 1879) ( Андре 1881). Глядя на первые члены разложения Тейлора тригонометрические функции tan x и sec x, Андре сделал поразительное открытие.

загар ⁡ х = х + 2 х 3 3! + 16 х 5 5! + 272 х 7 7! + 7936 х 9 9! + ⋯ секунд ⁡ х знак равно 1 + х 2 2! + 5 х 4 4! + 61 х 6 6! + 1385 х 8 8! + 50521 х 10 10! + ⋯ {\ displaystyle {\ begin {align} \ tan x = x + {\ frac {2x ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {16x ^ {5}} {5!}} + {\ frac {272x ^ {7}} {7!}} + {\ frac {7936x ^ {9}} {9!}} + \ cdots \\ [6pt] \ sec x = 1 + {\ frac { x ^ {2}} {2!}} + {\ Frac {5x ^ {4}} {4!}} + {\ Frac {61x ^ {6}} {6!}} + {\ Frac {1385x ^ {8}} {8!}} + {\ Frac {50521x ^ {10}} {10!}} + \ Cdots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ tan x = x + {\ frac {2x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {16x ^ {5}} {5!}} + {\ frac {272x ^ {7}} {7!}} + {\ frac {7936x ^ {9}} {9!}} + \ cdots \\ [6pt] \ sec x = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {5x ^ {4}} {4!}} + {\ Frac {61x ^ {6}} {6!}} + {\ Frac {1385x ^ {8}} {8!}} + {\ Frac {50521x ^ { 10}} {10!}} + \ Cdots \ end {align}}}

коэффициенты - это числа Эйлера нечетных и четный индекс соответственно. Следовательно, обычное разложение tan x + sec x имеет в качестве коэффициентов рациональные числа S n.

tan ⁡ x + sec ⁡ x = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + 5 24 x 4 + 2 15 x 5 + 61 720 x 6 + ⋯ {\ displaystyle \ tan x + \ sec x = 1 + x + {\ tfrac {1} {2}} x ^ {2} + {\ tfrac {1} {3}} x ^ {3} + {\ tfrac {5} {24}} x ^ {4} + {\ tfrac {2} {15}} x ^ {5} + {\ tfrac {61} {720}} x ^ {6 } + \ cdots}

{\ displaystyle \ tan x + \ сек x = 1 + x + {\ tfrac {1} {2}} x ^ {2} + {\ tfrac {1} {3}} x ^ {3} + {\ tfrac {5} {24}} x ^ {4} + {\ tfrac {2} {15}} x ^ {5} + {\ tfrac {61} {720}} x ^ {6} + \ cdots}

Затем Андре с помощью аргумента повторения смог показать, что чередующиеся перестановки нечетного размера пронумерованы числами Эйлера нечетный индекс (также называемые касательными числами) и чередующиеся перестановки четного размера числа Эйлера четного показателя (также называемые секущими числами).

Связанные использовать

Среднее арифметическое первое и второе числа Бернулли является ассоциированными числами Бернулли: B 0 = 1, B 1 = 0, B 2 = 1/6, B 3 = 0, B 4 = −1/30, OEIS : A176327 / OEIS : A027642. Через вторую обратную трансформацию Акияма-Танигава OEIS : A177427 они приводят к ряду Бальмера OEIS : A061037 / OEIS : A061038.

Алгоритм Акияма - Танигава, примененный к OEIS : A060819 (n + 4) / OEIS : A145979 (n) приводит к числу Бернулли OEIS : A027641 / OEIS : A027642, OEIS : A164555 / OEIS : A027642 или OEIS : A176327 OEIS : A176289 без B 1, названные внутренние числа Бернулли B i (n).

1	5/6	3/4	7/10	2/3
1/6	1/6	3/20	2/15	5/42
0	1/30	1/20	2/35	5/84
−1/30	−1/30	−3/140	-1/105	0
0	-1 / 42	−1/28	−4/105	−1/28

Отсюда еще одна связь между внутренними числами Бернулли и рядом Бальмера через OEIS : A145979 (n).

OEIS : A145979 (n - 2) = 0, 2, 1, 6,… - это перестановка неотрицательных чисел.

Члены первой строки: f (n) = 1/2 + 1 / n + 2. 2, f (n) - автопоследовательность второго типа. 3/2, f (n) своим обратным биномиальным преобразователем приводит к 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5... = 1/2 + log 2.

Рассмотрим г (п) = 1/2 - 1 / (п + 2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3. Преобразование Акияма-Танагива дает:

0	1/6	1/4	3/10	1/3	5/14	...
−1/6	−1/6	−3/20	−2/15	−5/42	−3/28	...
0	−1/30	−1/20	−2 / 35	−5/84	−5/84	...
1/30	1/30	3/140	1/105	0	-1/140	...

0, g (n), является автопоследовательностью второго рода.

Эйлер OEIS : A198631 (n) / OEIS : A006519 (n + 1) без второго члена ( 1/2) - дробные внутренние числа Эйлера E i (n) = 1, 0, −1/4, 0, 1/2, 0, −17/8, 0,… Соответствующие Преобразование Акиямы:

1	1	7/8	3/4	21/32
0	1/4	3/8	3/8	5/16
−1/4	−1/4	0	1/4	25/64
0	-1/2	−3/4	−9/16	−5/32
1/2	1/2	−9 / 16	−13/8	−125/64

Первая строка - Eu (n). Eu (n), ту, которая предшествует ноль, является автопоследовательностью первого рода. Он связан с числами Орем. Числители второй строки: OEIS : A069834, которому предшествует 0. Таблица различий:

0	1	1	7/8	3/4	21 / 32	19/32
1	0	−1/8	−1/8	−3/32	-1 / 16	−5/128
−1	−1/8	0	1/32	1/32	3/128	1/64

Арифметические числа Бернулли

Числа Бернулли могут быть выражены с помощью дзета-функций Римана как B n = −nζ (1 - n) для целых чисел n ≥ 0 при n = 0 выражение - nζ (1 - n) используется как предельное значение, и используется в соглашении B 1 = 1/2. Это связывает их со значениями дзета-функции при отрицательных целых числах. Таким образом, можно ожидать, что они будут обладать глубокими арифметическими свойствами. Например, гипотеза Аго - Джуги постулирует, что p является основным тогда и только тогда, когда pB p - 1 сравнимо с −1 по модулю p. Свойства делимости чисел Бернулли связаны с группами классов идеалов круговых полей по теореме Кумма и ее усилению в теореме Эрбранда-Рибета, и к числам классов вещественных полей по Анкени - Артина - Чоула.

Теоремы Куммера

Числа Бернулли связаны с Великой теоремой Ферма (FLT) по Теорема Куммера (Куммер 1850), которая гласит:

Если нечетное простое число p не делит ни один из числителей чисел Бернулли B 2, B 4,…, B p - 3, тогда x + y + z = 0 не имеет решений в ненулевых целых числах.

Простые числа с этим своим именем называются обычными простыми числами. Другой классический результат Куммера (Kummer 1851) - следующее сравнение.

Пусть p - нечетное простое число, а b - четное число, такое, что p - 1 не делит b. Тогда для любого неотрицательного целого числа k

B k (p - 1) + b k (p - 1) + b ≡ B b b (mod p). {\ displaystyle {\ frac {B_ {k (p-1) + b}} {k (p-1) + b}} \ Equ {\ frac {B_ {b}} {b}} {\ pmod {p }}.}

{\ displaystyle {\ frac {B_ {k (p-1) + b}} {k ( p-1) + b}} \ eq uiv {\ frac {B_ {b}} {b}} {\ pmod {p}}.}

Обобщение этих сравнений называется p-адической непрерывностью.

p-адическая непрерывность

Если b, m и n - положительные целые числа такие, что m и n не делятся на p - 1 и m ≡ n (mod p (p - 1)), то

(1 - pm - 1) B мм ≡ (1 - pn - 1) B nn (mod pb). {\ displaystyle (1-p ^ {m-1}) {\ frac {B_ {m}} {m}} \ Equiv (1-p ^ {n-1}) {\ frac {B_ {n}} { n}} {\ pmod {p ^ {b}}}.}

{\ displaystyle (1-p ^ {m-1}) {\ frac {B_ {m}} {m} } \ Equiv (1-p ^ {n-1}) {\ frac {B_ { n}} {n}} {\ pmod {p ^ {b}}}.}

Буквально B n = −nζ (1 - n), это также можно записать как

(1 - p - u) ζ (U) ≡ (1 - п - v) ζ (v) (mod pb), {\ displaystyle \ left (1-p ^ {- u} \ right) \ zeta (u) \ Equiv \ left ( 1-p ^ {- v} \ right) \ zeta (v) {\ pmod {p ^ {b}}},}

{\ displaystyle \ left (1-p ^ {- u} \ right) \ zeta (u) \ Equiv \ left (1-p ^ {- v } \ вправо) \ zeta (v) {\ pmod {p ^ {b}}},}

где u = 1 - m и v = 1 - n, так что u и v неположительны и не конгруэнтны 1 по модулю p - 1. Это говорит нам о том, что дзета-функция Римана с 1 - p, взятым из формулы произведения Эйлера, непрерывной в p-адических числах на нечетных отрицательных целых числа, сравнимые по модулю p - 1 с конкретным a ≢ 1 mod (p - 1), и поэтому могут быть расширены до непрерывной функции ζ p (s) для всех целых p-адических чисел ℤp, p-адическая дзета-функция.

сравнения Рамануджана

Следующие соотношения, из-за Рамануджана, предоставляют метод для вычисления чисел Бернулли, который более эффективен, чем тот, который дан их исходное рекурсивное определение начало:

(m + 3 m) B m = {m + 3 3 - j = 1 m 6 (m + 3 m - 6 j) B m - 6 j, если m 0 (mod 6); m + 3 3 - ∑ j = 1 m - 2 6 (m + 3 m - 6 j) B m - 6 j, если m 2 (mod 6); - m + 3 6 - ∑ j = 1 m - 4 6 (m + 3 m - 6 j) B m - 6 j, если m ≡ 4 (mod 6). {\ displaystyle {\ binom {m + 3} {m}} B_ {m} = {\ begin {cases} {\ frac {m + 3} {3}} - \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {\ frac {m} {6}} {\ binom {m + 3} {m-6j}} B_ {m-6j}, {\ text {if}} m \ Equiv 0 {\ pmod {6}} ; \\ {\ frac {m + 3} {3}} - \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {\ frac {m-2} {6}} {\ binom {m + 3} {m- 6j}} B_ {m-6j}, {\ text {if}} m \ Equiv 2 {\ pmod {6}}; \\ - {\ frac {m + 3} {6}} - \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {\ frac {m-4} {6}} {\ binom {m + 3} {m-6j}} B_ {m-6j}, {\ text {if}} m \ Equiv 4 {\ pmod {6}}. \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ binom { m + 3} {m}} B_ {m} = {\ begin {cases} {\ гидроразрыв {m + 3} {3}} - \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {\ frac {m} { 6}} {\ binom {m + 3} {m-6j}} B_ {m- 6j}, {\ text {if}} m \ Equiv 0 {\ pm od {6}}; \\ {\ frac {m + 3} {3}} - \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {\ frac {m-2} {6}} {\ binom {m + 3} {m-6j }} B_ {m-6j}, {\ text {if}} m \ Equiv 2 {\ pmod {6}}; \\ - {\ frac {m + 3} {6}} - \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {\ frac {m-4} {6}} {\ binom {m + 3} {m- 6j}} B_ {m-6j}, {\ text {если}} м \ экв 4 {\ pmod {6}}. \ end {case}}}

Теорема фон Штаудта – Клаузена

Теорема фон Штаудта – Клаузена была дана Карлом Георгом Кристианом фон Штаудтом (von Staudt 1840) и Thomas Clausen (Clausen 1840) независимо друг от друга в 1840 году. Теорема утверждает, что для каждого n>0

B 2 п + ∑ (п - 1) ∣ 2 N 1 п {\ displaystyle B_ {2n} + \ sum _ {(p-1) \, \ mid \, 2n} {\ frac {1} {p}}}

{\ Displaystyle B_ {2n} + \ sum _ {(p-1) \, \ mid \, 2n} {\ frac {1} {p}}}

- целое число. Сумма распространяется на все простые числа p, для которых p - 1 делит 2n.

Следствием этого является то, что знаменатель B 2n дается произведением всех простых чисел p, для которых p - 1 делит 2n. В частности, эти знаменатели бесквадратные и делятся на 6.

Почему нечетные числа Бернулли исчезают?

Сумма

φ k (n) = ∑ i = 0 nik - nk 2 {\ displaystyle \ varphi _ {k} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {k} - {\ frac {n ^ {k}} {2}}}

{\ displaystyle \ varphi _ {k} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {k} - {\ frac {n ^ {k}} { 2}}}

можно вычислить для отрицательных значений индекса n. Это покажет, что это нечетная функция для четных значений k, что означает, что сумма имеет только члены нечетного индекса. Отсюда и из формулы суммы Бернулли следует, что B 2k + 1 - m равно 0 для четных m и 2k + 1 - m>1; и что член для B 1 отменяется вычитанием. Теорема фон Штаудта – Клаузена в сочетании с представлением Ворпицки также дает комбинаторный ответ на этот вопрос (справедливый для n>1).

Из теоремы фон Штаудта – Клаузена известно, что для нечетного n>1 число 2B n являетсяцелым номером. Это кажется тривиальным, если заранее известно, рассматриваемое целое число равно нулю. Однако, применяя представление Верпицки, получаем

2 B n = ∑ m = 0 n (- 1) m 2 m + 1 m! {n + 1 m + 1} = 0 (n>1 нечетно) {\ displaystyle 2B_ {n} = \ sum _ {m = 0} ^ {n} (- 1) ^ {m} {\ frac {2} {м + 1}} м! \ left \ {{n + 1 \ на вершине m + 1} \ right \} = 0 \ quad (n>1 {\ text {нечетное}})}

2B_{n}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\frac {2}{m+1}}m!\left\{{n+1 \atop m+1}\right\}=0\quad (n>1 {\ text {нечетное}})

в виде суммы целых чисел Пусть S n, m будет численностью сюръективных отображений из {1, 2,…, n} в {1, 2,…, где всплывает комбинаторный факт, объясняющий исчезновение чисел Бернулли при счетном индексе. m}, то S n, m = m! {. m}. Последнее уравнение может работать, только если

∑ нечетный m = 1 n - 1 2 m 2 S n, m = ∑ четный m Знак равно 2 N 2 м 2 S n, м (n>2 - четное). {\ Displaystyle \ sum _ {{\ text {odd}} m = 1} ^ {n-1} {\ frac {2} {m ^ {2}}} S_ {n, m} = \ sum _ {{\ text {even}} m = 2} ^ {n} {\ frac {2} {m ^ {2}}} S_ {n, m} \ quad (n>2 {\ text {четно}}).}

\sum _{{\text{odd }}m=1}^{n-1}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}=\sum _{{\text{even }}m=2}^{n}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}\quad (n>2 {\ text {четно}}).

Это уравнение можно проверить по индукции. Первые два примера этого уравнения:

n = 4: 2 + 8 = 7 + 3,

n = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40.

Таким образом, Числа Бернулли исчезают причетном индексе, поскольку некоторые неочевидные комбинаторные тождества воплощены в числах Бернулли.

Повторное изложение гипотезы Римана

Связь между числами Бернулли и дзета-функцией Римана достаточно сильна, чтобы использовать альтернативную формулировку гипотезы Римана (RH) в котором используется только число Бернулли. Фактически Марсель Рис (Riesz 1916) доказал, что RH эквивалентно следующему утверждению:

Для любого ε>1/4 существует константа C ε>0 ( в зависимости от ε) такое, что | R (x) | < Cεx при x → ∞.

Здесь R (x) - функция Рисса

R (x) = 2 ∑ k = 1 ∞ kk ¯ xk (2 π) 2 k (B 2 k 2 k) = 2 ∑ k = 1 ∞ kk ¯ xk (2 π) 2 k β 2 k. {\ Displaystyle R (x) = 2 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {k ^ {\ overline {k}} x ^ {k}} {(2 \ pi) ^ {2k } \ left ({\ frac {B_ {2k}} {2k}} \ right)}} = 2 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {k ^ {\ overline {k}} x ^ {k}} {(2 \ pi) ^ {2k} \ beta _ {2k}}}.}

{\ displaystyle R (x) = 2 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {k ^ {\ overline {k}} x ^ {k}} {(2 \ pi) ^ {2k} \ left ({\ frac {B_ {2k}} {2k}}) \ right)}} = 2 \ sum _ {k = 1} ^ {\ inft y} {\ frac {k ^ {\ overline {k}} x ^ {k}} {(2 \ pi) ^ {2k} \ beta _ {2k}}}.}

n обозначает возрастающую факториальную степень в обозначениях D. Э. Кнут. Числа β n = B n / n встречаются при изучении дзета-функций и являются значимыми, поскольку β n является p-целым числом для простых чисел p. где p - 1 не делит n. Β n называются разделенными числами Бернулли.

Обобщенные числа Бернулли

Обобщенные числа Бернулли - это верх алгебраические числа, отлично аналогично числам Бернулли, которые связаны с специальными значениями L-функции Дирихле точно так же, как числа Бернулли связаны со специальными значениями дзета-функции Римана.

Пусть χ - символ Дирихле по модулю f. Обобщенные числа Бернулли, связанные с χ, определяют как

a = 1 f χ (a) t e a t e f t - 1 = ∑ k = 0 ∞ B k, χ t k k!. {\ displaystyle \ sum _ {a = 1} ^ {f} \ chi (a) {\ frac {te ^ {at}} {e ^ {ft} -1}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} B_ {k, \ chi} {\ frac {t ^ {k}} {k!}}.}

{\ displaystyle \ sum _ {a = 1} ^ {f} \ chi (a) {\ frac {te ^ {at} } {e ^ {ft} -1}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} B_ {k, \ chi} {\ frac {t ^ {k}} {k!}}.}

Помимо исключительного B 1,1 = 1/2, для любого характера Дирихле χ имеет B k, χ = 0, если χ (−1) ≠ (−1).

Обобщая связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана при неположительных целых числах, для всех целых чисел k ≥ 1 имеем:

L (1 - k, χ) = - B k, χ K, {\ Displaystyle L (1-k, \ chi) = - {\ frac {B_ {k, \ chi}} {k}},}

{\ displaystyle L (1-k, \ chi) = - {\ гидроразрыва {B_ {k, \ chi}} {k}},}

где L (s, χ) - L Дирихле -функция χ (Нойкирх 1999, §VII.2).

Приложение

Различные тождества

Исчисление тьмы дает формулу формулы Бернулли с использованием абстрактного символа B:
$S m (n) = 1 m + 1 ((B + N) m + 1 - B m + 1) {\ displaystyle S_ {m} (n) = {\ frac {1} {m + 1}} ((\ mathbf {B} + n) ^ {m + 1} - B_ {m + 1})}$ ${\ displaystyle S_ {m} (n) = {\ frac {1} {m + 1}} ((\ mathbf {B} + n) ^ {m + 1} -B_ {m + 1}) }$
где символ B, появляется который во время биномиального раскрытия заключенного в скобки члена, должен быть заменен числом Бернулли B k (и B 1 = +1/2). Более наглядно и мнемонически это можно записать в виде определенного интеграла:
$S m (n) = ∫ 0 n (B + x) mdx {\ displaystyle S_ {m} (n) = \ int _ {0} ^ {n } (\ mathbf {B} + x) ^ {m} \, dx}$ $S_m (n) = \ int_0 ^ n (\ mathbf {B} + x) ^ m \, dx$
Многие другие тождества Бернулли можно записать компактно с этим символом, например
$(1-2 В) м = (2-2 м) В м {\ displaystyle (1-2 \ mathbf {B}) ^ {m} = (2-2 ^ {m}) B_ {m}}$ ${\ displaystyle (1-2 \ mathbf {B}) ^ {m} = (2-2 ^ {m}) B_ {m}}$
Пусть n неотрицательно и даже
$ζ (n) = (- 1) n 2 - 1 В n (2 π) n 2 (n!) {\ Displaystyle \ zeta (n) = {\ frac {(-1) ^ {{\ frac {n} {2}} - 1} B_ {n} (2 \ pi) ^ {n}} {2 (n!)}}}$ ${\ displaystyle \ zeta (n) = {\ frac {(-1) ^ {{\ frac {n} {2}} - 1} B_ {n} (2 \ pi) ^ {n}} {2 (п!)}}}$
n-й кумулянт равномерного распределения вероятностей на интервале [-1, 0] равенство B n / n.
Пусть? = 1 / п! и n ≥ 1. Тогда B n является следующим определителем (n + 1) × (n + 1) (Malenfant 2011):
$B n = n! | 1 0 ⋯ 0 1 2? 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ п? (n - 1)? ⋯ 1 0 (п + 1)? п? ⋯ 2? 0 | = п! | 1 0 ⋯ 0 1 1 2! 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 п! 1 (п - 1)! ⋯ 1 0 1 (п + 1)! 1 п! ⋯ 1 2! 0 | {\ displaystyle {\ begin {align} B_ {n} = n! {\ begin {vmatrix} 1 0 \ cdots 0 1 \\ 2? 1 \ cdots 0 0 \\\ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\ n? (n-1)? \ cdots 1 0 \\ (n + 1)? n? \ cdots 2? 0 \ end {vmatrix}} \\ [8pt] = n! {\ begin {vmatrix} 1 0 \ cdots 0 1 \\ {\ frac {1} {2!}} 1 \ cdots 0 0 \\\ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\ {\ frac {1} {n!}} {\ frac {1} {(n-1)!}} \ cdots 1 0 \\ {\ frac {1} {(n + 1)!}} {\ frac {1} {n!}} \ cdots {\ frac {1} {2!}} 0 \ end {vmatrix}} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} B_ {n} = n! {\ begin {vmatrix} 1 0 \ cdots 0 1 \\ 2? 1 \ cdots 0 0 \\\ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\ n? (n-1)? \ cdots 1 0 \\ (n + 1)? n? \ cdots 2? 0 \ end {vmatrix}} \\ [8pt] = n! {\ begin {vmatrix} 1 0 \ cdots 0 1 \\ {\ frac {1} {2!}} 1 \ cdots 0 0 \\\ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\ {\ frac {1} {n!}} {\ frac {1} {(n-1)!}} \ cdots 1 0 \\ {\ frac {1} {(n + 1)!}} {\ frac {1} {n!}} \ cdots {\ frac {1} {2!}} 0 \ end {vmat rix}} \ конец {выровненный}}}$
Таким образом образом, определителем является σ n (1), многочлен Стирлинга при x = 1.
Для четных чисел Бернулли B 2p задается определителем ( p + 1) × (p + 1) (Malenfant 2011):
$B 2 p = - (2 p)! 2 2 п. - 2 | 1 0 0 ⋯ 0 1 1 3! 1 0 ⋯ 0 0 1 5! 1 3! 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 (2 п + 1)! 1 (2 п - 1)! 1 (2 п - 3)! ⋯ 1 3! 0 | {\ displaystyle B_ {2p} = - {\ frac {(2p)!} {2 ^ {2p} -2}} {\ begin {vmatrix} 1 0 0 \ cdots 0 1 \\ {\ frac {1} {3!}} 1 0 \ cdots 0 0 \\ {\ frac {1} {5!}} {\ Frac {1} {3!}} 1 \ cdots 0 0 \\\ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\ {\ frac {1} {(2p + 1)!}} {\ Frac {1} {(2p-1) !}} {\ frac {1} {(2p-3)!}} \ cdots {\ frac {1} {3!}} 0 \ end {vmatrix}}}$ ${\ displaystyle B_ {2p} = - {\ frac {(2p)!} {2 ^ {2p} -2}} {\ begin {vmatrix} 1 0 0 \ cdots 0 1 \\ {\ frac {1} {3!}} 1 0 \ cdots 0 0 \\ {\ frac {1} {5!}} { \ Frac {1} {3!}} 1 \ cdots 0 0 \\\ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\ {\ frac {1} {(2p + 1)! }} {\ frac {1} {(2p-1)!}} {\ frac {1} {(2p-3)!}} \ cdots {\ frac {1} {3!}} 0 \ end {vmatrix}}}$
Пусть n ≥ 1 Тогда (Леонард Эйлер )
$1 n ∑ k = 1 n (nk) В К В N - К + В N - 1 = - В N {\ Displaystyle {\ frac {1} {n}} \ сумма _ {k = 1} ^ {n} {\ binom {n} {k}} B_ {k} B_ {nk} + B_ {n-1} = - B_ {n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ binom {n} {k}} B_ {k} B_ {nk} + B_ {n-1} = - B_ {n}}$
Пусть n ≥ 1. Тогда (фон Эттингсгаузен 1827)
$∑ k = 0 n (n + 1 к) (N + К + 1) В N + К знак равно 0 {\ Displaystyle \ sum _ {к = 0} ^ { n} {\ binom {n + 1} {k}} (n + k + 1) B_ {n + k} = 0}$ ${\ displaystyle \ sum _ { к = 0} ^ {n} {\ binom {n + 1} {k}} (n + k + 1) B_ {n + k} = 0}$
Пусть n ≥ 0. Тогда (Леопольд Кронекер 1883)
$В N знак равно - ∑ К знак равно 1 N + 1 (- 1) kk (N + 1 к) ∑ J = 1 kjn {\ Displaystyle B_ {п} = - \ сумма _ {к = 1} ^ {п + 1} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} {\ binom {n + 1} {k}} \ sum _ {j = 1} ^ {k} j ^ {n}}$ ${\ displaystyle B_ {n} = - \ sum _ {k = 1} ^ {n + 1} {\ гидроразрыв {(-1) ^ {k}} {k}} {\ binom { п + 1} {к}} \ сумма _ {j = 1} ^ {k} j ^ {n}}$
Пусть n ≥ 1 и m ≥ 1. Тогда (Карлитц 1968)
$(- 1) м ∑ р знак равно 0 м (мр) В n + r = (- 1) n ∑ s = 0 n (нс) В м + s {\ displaystyle (-1) ^ { m} \ sum _ {r = 0} ^ {m} {\ binom {m} {r}} B_ {n + r} = (- 1) ^ {n} \ sum _ {s = 0} ^ {n } {\ binom {n} {s}} B_ {m + s}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {m} \ sum _ {r = 0} ^ {m} {\ binom {m} {r}} B_ {n + r} = (- 1) ^ {n} \ sum _ {s = 0} ^ {n} { \ binom {n} {s}} B_ {m + s}}$
Пусть n ≥ 4 и
$H n = ∑ k = 1 nk - 1 {\ displaystyle H_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle H_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {- 1}}$
номер гармоники. Тогда (Х. Мики 1978)
$n 2 ∑ k = 2 n - 2 B n - kn - k B kk - ∑ k = 2 n - 2 (nk) B n - kn - k B k = H n B п {\ displaystyle {\ frac {n} {2}} \ sum _ {k = 2} ^ {n-2} {\ frac {B_ {nk}} {nk}} {\ frac {B_ {k}} {k}} - \ sum _ {k = 2} ^ {n-2} {\ binom {n} {k}} {\ frac {B_ {nk}} {nk}} B_ {k} = H_ {n } B_ {n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {2}} \ sum _ {k = 2} ^ {n-2} {\ frac {B_ {nk}} {nk}} {\ frac {B_ {k}} {k}} - \ sum _ {k = 2} ^ {n-2} {\ binom {n} {k}} {\ frac {B_ {nk}} {nk}} B_ {k} = H_ {n} B_ {n }}$
Пусть n ≥ 4. Юрий Матиясевич найдено (1997)
$(n + 2) ∑ k = 2 n - 2 B k B n - k - 2 ∑ l знак равно 2 N - 2 (N + 2 L) B L B N - L = N (N + 1) B N {\ Displaystyle (N + 2) \ sum _ {k = 2} ^ {n-2} B_ {k} B_ {nk} -2 \ sum _ {l = 2} ^ {n-2} {\ binom {n + 2} {l}} B_ {l} B_ {nl} = n (n + 1) B_ {n}}$ $(n + 2) \ sum_ {k = 2} ^ {n-2} B_k B_ {nk} -2 \ sum_ {l = 2} ^ {n-2} \ binom {n + 2} {l} B_l B_ {nl} = n (n + 1) B_n$
Фабер– Пандхарипанде - Загье - тождество Гесселя: для n ≥ 1,
$n 2 (B n - 1 (x) + ∑ k = 1 n - 1 B k (x) k B n - k (x) n - k) - ∑ k = 0 n - 1 (nk) B n - kn - k B k (x) = H n - 1 B п (х). {\ displaystyle {\ frac {n} {2}} \ left (B_ {n-1} (x) + \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} {\ frac {B_ {k} (x)} {k}} {\ frac {B_ {nk} (x)} {nk}} \ right) - \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {\ binom {n} {k}} {\ frac {B_ {nk}} {nk}} B_ {k} (x) = H_ {n-1} B_ {n} (x).}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {2}} \ left (B_ {n-1} (x) + \ sum _ {k = 1} ^ {n -1} {\ frac {B_ {k} (x)} {k}} {\ frac {B_ {nk} (x)} {nk}} \ right) - \ sum _ {k = 0} ^ {n -1} {\ binom {n} {k}} {\ frac {B_ {nk}} {nk}} B_ {k} (x) = H_ {n-1} B_ {n} (x).}$
Выбор x = 0 или x = 1 приводит к Тождество числа Бернулли в том или ином соглашении.
Следующая формула верна для n ≥ 0, если B 1 = B 1 (1) = 1/2, но только для n ≥ 1, если B 1 = B 1 (0) = −1/2.
$∑ К знак равно 0 N (NK) В Kn - К + 2 = В N + 1 N + 1 {\ Displaystyle \ sum _ {к = 0} ^ {п} {\ binom {п} {к}} {\ frac {B_ {k}} {n-k + 2}} = {\ frac {B_ {n + 1}} {n + 1}}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ { п} {\ binom {n} {k}} {\ гидроразрыв {B_ {k}} {nk + 2}} = {\ frac {B_ {n +1}} {n + 1}}}$
Пусть n ≥ 0. Тогда
$- 1 + ∑ К знак равно 0 N (NK) 2 N - К + 1 N - К + 1 В К (1) = 2 N {\ Displaystyle -1+ \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom { n} {k}} {\ frac {2 ^ {n-k + 1}} {n-k + 1}} B_ {k} (1) = 2 ^ {n}}$ ${\ displaystyle -1+ \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {2 ^ {nk + 1} } {nk + 1}} B_ {k} (1) = 2 ^ {n}}$
и
$- 1 + ∑ К знак равно 0 N (NK) 2 N - К + 1 N - К + 1 В К (0) = δ N, 0 {\ Displaystyle -1+ \ сумма _ {к = 0} ^ {п} { \ binom {n} {k}} {\ frac {2 ^ {n-k + 1}} {n-k + 1}} B_ {k} (0) = \ delta _ {n, 0}}$ ${\ displaystyle -1+ \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {2 ^ {nk + 1}} {nk + 1}} B_ {k} (0) = \ delta _ {n, 0}}$
Отношение взаимности М.Б. Гельфанда (Agoh Dilcher 2008):
$(- 1) m + 1 ∑ j = 0 k (kj) B m + 1 + jm + 1 + j + ( - 1) К + 1 ∑ J знак равно 0 м (МДж) Б К + 1 + JK + 1 + J знак равно К! м! (к + м + 1)! {\ displaystyle (-1) ^ {m + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {k} {\ binom {k} {j}} {\ frac {B_ {m + 1 + j}} {m + 1 + j}} + (- 1) ^ {k + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {m} {\ binom {m} {j}} {\ frac {B_ {k + 1 + j))}} {k + 1 + j}} = {\ frac {k! m!} {(k + m + 1)!}}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {m + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {k} {\ binom {k} {j}} {\ frac {B_ {m + 1 + j}} {m + 1 + j}} + (- 1) ^ {k + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {m} {\ binom {m} {j}} {\ frac {B_ {k + 1 + j}} {k + 1 + j}} = {\ frac {k! m!} {(k + m + 1)!}}}$

См. Также

Примечания

Ссылки

Abramowitz, M.; Стегун, И.А. (1972), «§23.1: Многочлены Бернулли и Эйлера и формула Эйлера-Маклорена», Справочник по математическим функциям с формулами, графики и математическими таблицами (9-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 804–806.
Арфкен, Джордж (1970), Математические методы для физиков (2-е изд.), Academic Press, Inc., ISBN 978-0120598519.
Аго, Такаши ; Дилчер, Карл (2008), «Отношения взаимности для чисел Бернулли», American Mathematical Monthly, 115 (3): 237–244, doi : 10.1080 / 00029890.2008.11920520, JSTOR 27642447, S2CID 43614118
Андре, Д. (1879), «Разработки в сфере сек и др.», Comptes Rendus Acad. Наук, 88 : 965–967.
Андре, Д. (1881), «Mémoire sur les permutations alternées», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 7 : 167– 184.
Арлеттаз, Д. (1998), "Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie", Math. Семестр, 45 : 61–75, doi : 10.1007 / s005910050037, S2CID 121753654.
Апостол, TM, Введение в аналитическую теорию чисел, Springer-Verlag.
Арнольд В.И. (1991), «Восходящие числа Бернул-Эйлера, связанные с особенностями функций, их комбинаторика и арифметика», Duke Math. J., 63 : 537–555, doi : 10.1215 / s0012-7094-91-06323-4.
Ayoub, A. (1981), "Euler и дзета-функция », Амери. Математика. Ежемесячно, 74 (2): 1067–1086, doi : 10.2307 / 2319041, JSTOR 2319041.
Boole, G. (1880), Трактат по исчислению конечных разностей (3-е изд.), Лондон.
Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Мецанкиля, Т.; Шокроллахи, М. (2001), «Нерегулярные простые числа и циклотомические инварианты до 12 миллионов», Journal of Symbolic Computing, 31 (1-2): 89–96, doi : 10.1006 / jsco.1999.1011.
Карлитц, Л. (1968), «Числа Бернулли», Ежеквартальный отчет Фибоначчи, 6: 71–85.
Клаузен, Томас (1840), «Lehrsatz aus einer Abhandlung über die Bernoullischen Zahlen», Astron. Nachr., 17 (22): 351–352, doi : 10.1002 / asna.18400172205.
Контет, Л. (1974), Высший комбинат орикс. Искусство конечных и бесконечных расширений (Исправленное и дополненное изд.), Дордрехт-Бостон: D. Reidel Publ. Ко..
Конвей, Джон ; Гай, Ричард (1996), Книга чисел, Springer-Verlag.
Дилчер, К.; Skula, L.; Славутский, И.Ш. (1991), «Числа Бернулли. Библиография (1713–1990) », Документы Королевы по чистой и прикладной математике, Кингстон, Онтарио (87).
Dumont, D.; Виеннот, Г. (1980), "Комбинаторная интерпретация поколения Зейделя чисел Дженокки", Ann. Дискретная математика, Анналы дискретной математики, 6 : 77–87, doi : 10.1016 / S0167-5060 (08) 70696-4, ISBN 978-0-444-86048-4.
Dumont, D. (1981), "Matrices d'Euler-Seidel", Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B05c, стр. 25.
Элкис, Н. Д. (2003), «О суммах Sum_ (k = -infinity… infinity) (4k + 1) ^ (- n)», амер. Математика. Ежемесячно, 110 (7): 561–573, arXiv : math.CA/0101168, doi : 10.2307 / 3647742, JSTOR 3647742
Entringer, RC (1966), «Комбинаторная интерпретация чисел Эйлера и Бернулли», Nieuw. Arch. V. Wiskunde, 14 : 241–6.
von Ettingshausen, A. (1827), Vorlesungen über die höhere Mathematik, Bd. 1, Вена: Карл Герольд.
Эйлер, Леонард (1735), «De summis serierum reciprocarum», Opera Omnia, I.14, E 41: 73–86, arXiv : math / 0506415, Bibcode : 2005math...... 6415E
Fee, G.; Плафф, С. (2007). «Эффективный вычисление чисел Бернулли». arXiv : math / 0702300..
Гулд, Генри У. (1972), «Явные формулы для чисел Бернулли», амер. Математика. Ежемесячно, 79 (1): 44–51, doi : 10.2307 / 2978125, JSTOR 2978125
Грэм, R. ; Кнут, Д. Э. ; Паташник, О. (1989), Конкретная математика (2-е изд.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5.
Guo, Victor J.W.; Цзэн, Цзян (2005), «q-Аналог формулы Фаульхабера для сумм степеней», Электронный журнал комбинаторики, 11 (2): 1441, arXiv : math / 0501441, Bibcode : 2005math...... 1441G, doi : 10.37236 / 1876, S2CID 10467873.
Харви, Дэвид (2010), «Мультимодульный алгоритм для вычислений чисел Бернулли», Math. Вычисл., 79 (272): 2361–2370, arXiv : 0807.1347, doi : 10.1090 / S0025-5718 -2010-02367-1, S2CID 11329343, Zbl 1215.11016.
Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-X
Jacobi, CGJ (1834), «De usu законные формулы summatoriae Maclaurinianae», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 12 : 263–272.
Jordan, Charles (1950), Calculus of Finite Differences, Нью-Йорк: Chelsea Publ. Co..
Канеко, М. (2000), «Алгоритм Акияма-Танигава для чисел Бернулли», Журнал целочисленных последовательностей, 12 : 29, Bibcode : 2000JIntS... 3... 29K.
Келлнер, Бернд (2002), Программа Calcbn - программа для вычислений чисел Бернулли.
Knuth, DE ; Бакгольц, Т.Дж. (1967), «Вычисление касательных чисел, чисел Эйлера и Бернулли», «Математика вычислений», Американское математическое общество, 21 (100): 663–688, doi : 10.2307 / 2005010, JSTOR 2005010.
Knuth, DE (1993), «Иоганн Фаульхабер и сумма степеней», «Математика вычислений», Американское математическое общество, 61 (203): 277–294, arXiv : math / 9207222, doi : 10.2307 / 2152953, JSTOR 2152953.
Куммер, EE (1850), "Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x + y = z durch ganze Zahlen unlösbar ist, für all diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3) / 2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen ", J. Reine Angew. Math., 40 : 131–138.
Kummer, EE (1851), «Über eine allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoefficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen», J. Рейн Энгью. Math., 1851 (41): 368–372, doi : 10.1515 / crll.1851.41.368, S2CID 119816941.
Luschny, Peter (2007), Включение чисел Бернулли.
Luschny, Peter (8 октября 2011 г.), «TheLostBernoulliNumbers», OeisWiki, получено 11 мая 2019 г..
Маленфант, Джером (2011). «Конечные, замкнутые выражения для статистической суммы и для чисел Эйлера, Бернулли и Стирлинга». arXiv : 1103.1585 [math.NT ]. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Проект математической генеалогии, Фарго: факультет математики Государственного университета Северной Дакоты, nd, заархивировано из оригинала 10 мая 2019 г., извлечено 11 мая 2019 г..
Menabrea, LF (1842), «Очерк аналитическая машина, изобретенная Чарльзом Бэббиджем, с примечаниями к мемуарам переводчика Ады Августы, графини Лавлейс», Bibliothèque Universelle de Genève, 82.
Миллер, Джефф (23 июня 2017 г.), «Раннее использование символов исчисления», Раннее использование различных математических символов, извлечено 11 мая 2019 г..
Милнор, Джон У. ; Сташефф Джеймс Д. (1974), «Приложение B: Числа Бернулли», Характеристика классов, Анналы математических исследований, 76, Princeton University Press и University of Tokyo Press, стр. 281–287.
Neukirch, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322 . Берлин: Springer-Verla грамм. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
Павлик, Александр (2008), Сегодня мы побили рекорд Бернулли: аналитическая машина к Mathematica, Wolfram Blog.
Пьетрокола, Джорджио (31 октября 2008 г. г.), «Esplorando un antico sentiero: teoremi sulla somma di Potenze di interi successivi (Corollario 2b)», Maecla (на итальянском языке), получено 8 апреля 2017 г..
Радемахер, Х. (1973), Аналитическая теория чисел, Нью-Йорк: Springer-Verlag.
Riesz, M. (1916), «Sur l'hypothèse de Riemann», Acta Mathematica, 40 : 185–90, doi : 10.1007 / BF02418544.
Заальшютц, Луис (1893), Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, ihren Zusammenhang mit den Secanten-Coepfficienten und ihre wichweernd.
. (1877 г.), «Uber eine einfache Entstehungsweise der Bernoullischen Zahlen und einiger verwandten Reihen», Sitzungsber. Жевать. Акад., 4 : 157–187.
Селин, Хелайн, изд. (1997), «Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах», Энциклопедия истории науки, Springer: 819, Bibcode : 2008ehst.book..... S, ISBN 0-7923-4066-3.
Славутский, Илья Ш. (1995), «Штаудт и арифметические свойства чисел Бернулли», Historia Scientiarum, 2 : 69–74.
Смит, Дэвид Юджин; Миками, Йошио (1914), История японской математики, издательство Открытый суд, ISBN 978-0-486-43482-7.
фон Штаудт, KG Гл. (1840), «Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen Betreffend», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 21 : 372–374.
von Staudt, K.G. Гл. (1845), «De numeris Bernoullianis, commentationem alteram», Erlangen.
Sun, Zhi-Wei (2005–2006), Некоторые любопытные результаты по многочленам Бернулли и Эйлера, заархивированные из оригинала 31-10-2001.
Вайсштейн, Эрик У. (4 января 2016 г.), «Число Бернулли», MathWorld, Wolfram, получено 2 июля 2017 г..
Вун, Южная Каролина (1997 г.)), «Дерево для порождения чисел Бернулли», Матем. Маг., 70 (1): 51–56, doi : 10.2307 / 2691054, JSTOR 2691054.
Вун, SC (1998). «Обобщение связи между дзета-функцией Римана и числа Бернулли». arXiv : math.NT / 9812143..
Worpitzky, J. (1883), «Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 94 : 203–232.

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Первые 498 чисел Бернулли из Project Gutenberg
Мультимодульный алгоритм для вычисления чисел Бернулли
Страница чисел Бернулли
Числовые программы Бернулли в LiteratePrograms
Weisstein, Eric W. «Число Бернулли ». MathWorld.
стр. Лущный. «Вычисление неправильных простых чисел».
стр. Лущный. «Вычисление и асимптотика чисел Бернулли».
Готфрид Хелмс. «Числа Бернулли в контексте матрицы Паскаля (биномиальной)» (PDF).
Готфрид Хелмс. «Суммирование одинаковых степеней в контексте с матрицей Паскаля / Бернулли» (PDF).
Готфрид Хелмс. «Некоторые особые свойства, суммы Бернулли и родственные числа» (PDF).